[PDF] L’outil vectoriel et géométrie analytique

Opérations sur les vecteurs

Les vecteurs MAT536 www sylvainlacroix ca Opérations sur les vecteurs Multiplication scalaire de deux vecteurs On note la multiplication scalaire de deux vecteurs à l’aide d’un point • Cela se lit «le produit scalaire de et de » ou « point » Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs

Mémo de cours n°€ Produit scalaire

autre type de multiplication de vecteurs que nous étudierons dans un cours prochain On montre que le produit scalaire de deux vecteurs aÑ{x a, y a,z a} et bÑ{x b, y b,z b} est quantišé par : Ña⋅Ñb = x ax b + y ay b +z az b (€/ò) Fƒ†¶§u € Ô – Deux vecteurs aÑet Ñb Le produit scalaire est le multiple des normes b et a b

PROF Tr : ATMANI NAJIB - AlloSchool

II) L’égalité de deux vecteurs III) Somme de deux vecteurs IV)La multiplication d’un vecteur par un réel V) La colinéarité de deux vecteurs VI) Milieu d’un segment I) Vecteurs du plan Le concept de vecteur remonte à des temps très anciens et fut introduit par les physiciens 1)Notion élémentaire de vecteur : Soient A et B deux

Un rappel sur les matrices

La multiplication de deux vecteurs peut être définie de trois façon différentes, selon que le résultat est un scalaire, un vecteur ou une matrice On les appelle respectivement produit

Calcul vectoriel dans le plan - AlloSchool

II) L’égalité de deux vecteurs III) Somme de deux vecteurs IV) La multiplication d’un vecteur par un réel V) La colinéarité de deux vecteurs VI) Milieu d’un segment I) Vecteurs du plan Soient A et B deux points du plan P Un vecteur AB est défini par trois données : une direction: celle d'une droite AB Un sens de parcours (dans la

L’outil vectoriel et géométrie analytique

2 2Somme de deux vecteurs de même origine Cette configuration se produit lorsqu’on cherche à trouver la résultante de deux forces L’idée pour additionner deux vecteurs de même origine est la confi-guration du parallèlogramme On a : Démonstration : Si ABDC est un parallélogramme, alors AC = BD , on a donc : ~u +~v = AB + AC

Chap1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

Le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux vecteurs 4 2 Propriétés : Anti-commutativité : X Y Y X Distributivité à droite et à gauche : X (Y Z) X Y X Z et (X Y) Z X Z Y Z Multiplication par un réel : (X Y) ( X) Y X ( Y)

Qu’est-ce qu’un tenseur? - École Polytechnique

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS On introduit la multiplication ou produit tensoriel de deux vecteurs (noté U ⊗V) en y associant la forme bi-linéaire telle que : ∀(X,Y)∈E ×E,(U ⊗V)(X,Y)=(U X)(V Y) ∈R Il en découle : - DISTRIBUTIVITE (addition) [U ⊗(V1 +V2)](X,Y)=[U ⊗V1 +U ⊗V2](X,Y) - DISTRIBUTIVITE (multiplication)

Produit scalaire en dimension 3 Norme dun vecteur en dim 2

Produit scalaire de deux vecteurs en dim 3 Par rapport à une base orthonormée, considérons les vecteurs u= u1 u2 u3,v= v1 v2 v3 Ces deux vecteurs de l'espace sont nécessairement dans un même plan On peut donc leur appliquer le théorème du cosinus : þu fi þþv fi þcos HjL= 1 2 Jþu fi þ2+þv fi þ2-þu fi-v fi þ2N = 1 2 Iu1 2

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1

L"outil vectoriel et

géométrie analytiqueTable des matières

1 Définition et théorème

2

1.1 Définition

2

1.2 Egalité entre deux vecteurs

3

2 Addition de deux vecteurs

3

2.1 La relation de Chasles

3

2.2 Somme de deux vecteurs de même origine

4

2.3 Propriétés de l"addition de deux vecteurs

5

2.4 Exemples d"application

6

3 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

7

3.1 Définition

8

3.2 Exercices d"application

8

3.2.1 Exercice 1

8

3.2.2 Exercice 2

9

3.2.3 Exercice 3

10

3.3 Propriétés de la multiplication par un scalaire

11

3.4 Exercice d"application

11

4 Colinéarité de deux vecteurs

12

4.1 Définition

12

4.2 Théorèmes

12

4.3 Exercices d"application

13

4.3.1 Exercice 1 : parallélisme

13

4.3.2 Exercice 2 : l"alignement

13

4.3.3 Exercice 3

14

5 Géométrie analytique

16

5.1 Repère

16

5.1.1 Repère quelconque

16

5.1.2 Repère orthogonal et repère orthonormal

17

5.1.3 Exercices sur un repère quelconque

18

5.2 Coordonnées de vecteurs

18

5.3 Calculs en géométrie analytique

20

5.4 Colinéarité en géométrie analytique

23

5.5 Exercices d"application

24

5.5.1 Exercice 1

24

5.5.2 Exercice 2

25

5.5.3 Exercice 3

26

5.5.4 Exercice 4

27 PAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

1 DÉFINITION ET THÉORÈME

1

Définition et théorème

1.1 Définition Définition 1 :Un vecteur~uest un objet mathématique qui se définit par : êUne direction (pente d"une droite, mais pas une orientation)

êUn sens (orientation : la flèche)

êUne norme : longueur du vecteur notéé :jj~ujjRemarque :: êIl faut faire la différence entre la direction et le sens du vecteur car dans le langage courant les deux mots sont synonyme. êUn vecteur n"a pas de point d"application. On peut donc le placer où l"on veut dans le plan euclidien. En cela il se différentie de la force en physique qui elle a un point d"application. Cependant, il y a bien un rapport très étroit entre la symbolisation d"une force en physique et le vecteur en ma- thématique.êCes " segments munis d"une flèche » représentent le même vecteur~u. On dit que le vecteur ~uest la classe d"équivalence de toutes ces représentations êPour fixer un représentant particulier du vecteur~u, on peut prendre deux pointsAetBdu plan. On note alors ce représentant :!AB. êPar abus de langage, on confond le représentant!ABet le vecteur~u. On a alors : ~u=!AB. On peut donc noter un vecteur avec une seule lettre (minuscule) ou avec deux lettres (majuscule car point).PAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

1.2 EGALITÉ ENTRE DEUX VECTEURSLa flèche sur les pointsAetBest indispensable car, sans flèche, il s"agit

de la distance entre les pointsAetBqui n"est autre que la norme du vecteur. jj !ABjj=AB 1.2 Egalité entre deux vecteurs Théorème 1 :Deux vecteurs~u=!ABet~v=!CDsont égaux, si, et seulement si le quadrilatèreABDCest un parallélogramme.

!AB=!CD,ABDCest un parallélogrammeDémonstration :Un vecteur contient deux informations : une longueur et

une direction. Si deux vecteurs sont égaux, alors le quadrilatèreABDCpossède deux côtés de même longueur et parallèle, ce qui est la définition d"un parallèlo- gramme. Remarque :On peut donc associer un parallélogramme à l"égalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver qu"un quadrilatère est en parallélogramme. 2

Addition de deux vecteurs

Note :Le but avec un nouvel outil mathématique est de pouvoir manier facilement celui-ci. D"où l"idée de créer des opérations avec les vecteurs. L"addi- tion de deux vecteurs reprend l"idée en physique de la résultante de deux forces de direction différentes. Cette opération est connue sous le nom de " relation de

Chasles» (mathématicien du XIX

esiècle. 2.1 La relation de Chasles Propriété 1 :Relation de Chasles

Soit deux vecteurs

!uet~vdont les représentants sont!ABet!BC, on définit l"addition des deux vecteurs!uet~vpar la relation : !AB+!BC=!ACd"où~u+~v=!ACOn a alors le schéma suivant :

PAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

2 ADDITION DE DEUX VECTEURS

Cette opération est toujours possible, car l"on peut toujours déplacer le deuxième vecteur ~vpour qu"il commence à la fin du premier~u. Cette addition de deux vecteurs ne s"applique pas à la norme, en effet : jj ~u+~vjj 6=jj~ujj+jj~vjjmaisjj~u+~vjj6jj~ujj+jj~vjj Remarque :Cette opération est très efficace en géométrie, car l"on peut dé- composer un vecteur quelconque en deux vecteurs plus intéressant. Par exemple, on peut écrire quelque soit les pointsE,FetG:

EF=!EG+!GF

La seule contrainte est donc de commencer le deuxième vecteur par la fin du premier. 2.2

Somme de deux vecteurs de même origine

Cette configuration se produit lorsqu"on cherche à trouver la résultante de deux forces. L"idée pour additionner deux vecteurs de même origine est la confi-

guration du parallèlogramme. On a :Démonstration :SiABDCest un parallélogramme, alors!AC=!BD, on a

donc : u+~v=!AB+!AC=!AB+!BD=!ADPAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

2.3 PROPRIÉTÉS DE L"ADDITION DE DEUX VECTEURS2.3Propriétés de l"addition de deux vecteurs

Propriété 2 :Propriétés de l"addition de deux vecteurs. On retrouve les mêmes propriétés dans l"addition de deux vecteurs que dans l"addition de deux nombres. 1)

L "additionde de uxvecteurs est commutative :

u+~v=~v+~u 2)

L "additionde t roisvecteurs est associative :

~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w 3) L "additionde d euxvecteurs possède un élément neutr e: !0 4)

T outvecte ur

~upossède un opposé, noté~uRemarque : êLa première propriété permet de changer l"ordre dans lequel on effectue l"addition. êLa deuxième propriété signilie que lorsque l"on cherche à additionner deux vecteurs, on peut d"abord additionner les deux premiers, puis additionner ce résultat au troisième ou additionner les deux dernier puis additionner

ce résultat au premier. Voici un exemple de cette propriété :êLe vecteur nul vient du fait que si l"on applique la relation de Chasles à :

!AB+!BA=!AA On décide alors d"appeler un vecteur de longueur nulle par le vecteur nul noté :!0 . êla dernière propriété vient de!AB+!BA=!0 , on décide de noter : !BA=!AB Donc quand on inverse les lettres d"un vecteur on change de signe.PAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

2 ADDITION DE DEUX VECTEURS

2.4

Exemples d"application

1) Simplifier les éc rituressuivantes en utilisant la r elationde Chasles. a) ~u=!AB+!BC+!CA b) ~v=!AB!AC+!BC!BA c) ~w=!MA!MB!AB 2)

Démontr erque pou rtous points A,A,BetC:

!OA!OB+!AC=!BC

3)ABCDest un parallélogramme etMun point quelconque. Démontrer que :

!MA!MB+!MC!MD=!0 1) a) On applique la r elationde Chasles avec les deux pr emiersvecteurs puis avec le résultat et le dernier vecteur. u=!AB+!BC+!CA !AC+!CA !AA !0 b) On enlève les signes en inversant les lettres du vecteur, puis on change l"ordre des vecteurs pour pouvoir utiliser la relation de Chasles : v=!AB!AC+!BC!BA !AB+!CA+!BC+!AB !AB+!BC+!CA+!AB !AC+!CB !AB c) Même pr océdé,puis on r egroupeles vecteurs identiques w=!MA!MB!AB !MA+!BM+!BA !BM+!MA+!BA !BA+!BA =2!ABPAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

2)On part du terme de gauche pour arriver au terme de dr oite.

OA!OB+!AC=!OA+!BO+!AC

!BO+!OA+!AC !BA+!AC !BC 3) On peut fair eun fi gure: On part du terme de gauche, pour arriver au terme de droite :

MA!MB+!MC!MD=!MA+!BM+!MC+!DM

!BM+!MA+!DM+!MC !BA+!DC

CommeABCDest un parallélogramme :!DC=!AB

!BA+!AB !BB !0 3

Multiplication d"un vecteur par un scalaire

Note :Le terme " scalaire » est employé pour désigner un nombre par oppo- sition au mot vecteur.PAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

3 MULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE

3.1

Définition

Définition 2 :Soit un vecteur~uet un réelk.

On définit le produitk~udu scalairekpar le vecteur~upar : êSik>0k~ua la même direction et même sens que~uet sa longueur est multiplier park. On a alors : jjk~ujj=kjj~ujj êSik<0k~ua la même direction et un sens contraire à~uet sa longueur est multiplier park. On a alors : jjk~ujj=kjj~ujj êSik=0 on a alors : 0~u=!0On a ainsi les vecteurs suivants : Quandkesyt positif, il ne joue que sur la longueur du vecteur. Quandk est négatif, il joue sur la longueur et sur le sens. 3.2

Exercices d"application

3.2.1

Exercice 1

Les pointA,B C,DetEsont définis sur la droite graduée ci-dessous. Dans chaque cas, trouver le nombre réelktel que~v=k~u1) ~v=!ABet~u=!AE !ABet!AEsont de sens contraire. Donck<0. CommeAB=6 etAE=2, on a :k=3. v=3~uPAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

3.2 EXERCICES D"APPLICATION2)

~v=!ADet~u=!AE !ADet!AEsont de même sens. Donck>0. CommeAD=5 etAE=2, on a :k=52 v=52 ~u 3) ~v=!ECet~u=!AB !ECet!ABsont de même sens. Donck>0. CommeEC=6 etAB=6, on a :k=1. v=~u 4) ~v=!CDet~u=!AB !CDet!ABsont de sens contraire. Donck<0. CommeCD=9 etAB=6, on a :k=32 v=32 ~u 3.2.2

Exercice 2

ABCest un triangle.

1)

Placer le point DetEtels que :

CD=2!ABet!CE=12

!AB 2)

T rouverle nombr ektel que :!DE=k!AB

On a la figure suivante :Comme les deux vecteurs

!CDet!CEs"expriment à l"aide de!AB, on trace la droite(AB)et on repporte les distances.

DE=!DC+!CErelation de Chasles

=!CD+!CE =2!AB12 !AB =52 !ABPAUL MILAN2 mai 2010 SECONDE

3 MULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE

3.2.3

Exercice 3

ABCest un triangle.

1)

Constr uirele poi ntDtel que :!AD=!AB+!AC

Prouver que[AD]et[BC]ont même milieu.

2)

Constr uirele poin tEtel que :!AE=!BC

Prouver queCest le milieu de[ED].

3) Les dr oites(AD)et(BE)se coupent enI. Que représenteIpour le triangle ABC?

Prouver que :!AI=13

!ADet!BI=13 !BE. 1) On a figur esuivante : Pour déterminer le pointD, comme!ADest la somme de deux vecteurs de même origine, on trace le parallélogrammeABDC. CommeABDCest un parallélogramme, les segments[AD]et[BC]ont même milieuO. 2) Pour constr uirele point C, on trace la parallèle à(BC)passant parA. On re- porte la longueurBC.

CommeABDCest un parallélogramme, on a :!DC=!BA

Comme !AE=!BC, alorsABCEest un parallélogramme. On a alors :!CE=!BA

Conclusion :

!DC=!CE,Cest donc le milieu de[ED]. 3)quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14