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Lignes de niveaux, continuit´e
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1 Lignes de niveaux, continuité
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Lignes de niveaux, continuit e - Olivier LEY
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Optimisation de formes par la m ethode des lignes de niveaux
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Chapitre 15 : Courbes et surfaces implicites
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Fonctions de plusieurs variables - Université Paris-Saclay
1 5 Lignes de niveau D´efinition 1 8 On appelle lignes de niveau de f les ensembles de la forme L w = {(x,y); f(x,y) = w} Exemple 1 9 Les lignes de niveau de la fonction f(x,y) = x2 +y2 sont des cercles concentriques Celles de la fonction f(x,y) = xy sont des hyperboles, a l’exception de la ligne de niveau 0, qui est la r´eunion de deux
Applications du produit scalaire (II) : Calcul vectoriel
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FrancoisJOUVE
GregoireALLAIRE
Anca-MariaTOADER
Lisboa,Portugal
Abstract
1Introduction
s'yreporter. commelemouvementparcourburemoyenne,les uidesmultiphasiques,letraitementd'image etc.Canum20031
2Positionduprobleme
SoitA=2+TrId;
comprenddeuxparties disjointes =N[D;(1) solutionduproblemed'elasticitelinearisee 8< :div(Ae(u))=fdans u=0surDAe(u)n=gsurN:(2) Comme lescongurationspossiblesde auneuniquesolutiondansH1( )d.Lafonction-objectifestnoteeJ(
J 1( )=Z fudx+ZNguds=Z
Ae(u)e(u)dx;(3)
J 2( Z k(x)juu0jdx 1= ;(4) u et(4),u=u( U ad=nDt.q.j
j=Vo :(5) inf2UadJ(
):(6)Canum20032
dederiveedeforme.3Deriveedeforme
supposeregulier,nousconsiderons desdomainesdutype =Id+( dansRd.Denition3.1LaderiveedeformeJ(
)en estdeniecommeladeriveedeFrechetdans W1;1(Rd;Rd)en0del'application!J(Id+)(
),i.e. J (Id+)( )=J( )+J0( )()+o()aveclim!0ko()k kk=0; ouJ0( )()dependseulementdelatracen surlafrontiere@Lemme3.2Soit
unouvertborneregulieretJ( )unefonctiondierentiableen ,saderivee satisfait J 0( )(1)=J0( )(2)1n=2nsur@
Lemme3.3Soit
J( )=Z (x)dx:AlorsJestdierentiableen
et J 0( )()=Z div(x)(x)dx=Z (x)n(x)(x)ds82W1;1(Rd;Rd).
Canum20033
Lemme3.4Soit
J( )=Z (x)ds:AlorsJestdierentiableen
et J 0( )()=Z n@ @n+H ds; denieparH=divn.Theoreme3.5Soit
)d,g2H2( )d, u2H2( )d).Laderiveedeformede(3)vaut J 01( )()=Z N2@(gu)
@n+Hgu+fuAe(u)e(u)
nds ZDAe(u)e(u)nds:(7)
Laderiveedeformede(4)vaut
J 02( )()=Z N C0 kjuu0j+Ae(p)e(u)fp@(gp)@nHgp nds Z D C0 kjuu0jAe(u)e(p) nds:(8) )d,denicommelasolutionde 8< :div(Ae(p))=C0k(x)juu0j2(uu0)dans p=0surDAe(p)n=0surN;(9) ouC0estlaconstante C 0= Z k(x)ju(x)u0(x)jdx 1=1 etquen'importequelleautrefonction-co^ut.Preuve:cf.[4]
objectifJ( ).L'expressiondeladeriveedeformeest J 0( )()=Z vnds; =vn;(10)Canum20034
etenactualisantlaforme par t=(Id+t) J( t)=J( )tZ v2ds+O(t2) niveauxIlsutdemailler
evitantainsicesinconvenients.Nousparametronslafrontierede
8< : (x)=0,x2@ \D; (x)<0,x2 (x)>0,x2DnLanormalenalaforme
estcalculeeparr =jr jetlacourbureHestdonneeparla trousDn etd'unmateriaumoumodelisantles trousdansDn A (x)=(x)Aavec=1dans 103dansDn
:(11) faconadequatedanslescellulescontenantlacourbedeniveau =0. decomposeeentroisparties @D=@DD[@DN[@D0;Canum20035
=D[N.Les formesadmissibles doiventsatisfaireD@DD;N=@DN[0;(12)
uestsolutionde8>>< >:div(Ae(u))=0dansD d'Hamilton-Jacobi.Plusprecisement,si (t)varieentempst2R+aveclavitessenormaleV(t;x),alors
t;x(t) =08x(t)2@ (t):Unedierenciationentdonne
@t+_x(t)r =@ @t+Vnr =0:Commen=r =jr jonobtient
@t+Vjr j=0: frontiere@5Algorithmed'optimisation
Pourleproblemedeminimisation
inf2UadJ(
nousavonscalculeunederiveedeforme J 0( )()=Z vnds; frontiere@ =vn:Canum20036
Jacobi@
@tvjr j=0:(14) Transporter par(14)estequivalentabougerlafrontierede (lacourbedeniveau0de ) suivantladirectiondedescenteJ0( faconsuivante:1.Initialisationdelafonctionlevel-set 0correspondantauneformeinitiale
0.2.Iterationjusqu'aconvergence,pourk0:
lineariseeposessur k,approchespar(13); (b)deformationde forme k+1estcaracteriseeparlafonctioncourbedeniveaux k+1solutionde(14) apresunpasdetempstkenpartantdelaconditioninitiale k(x)aveclavitesse J( k+1)J( k).3.Detempsentemps,pourdesraisonsdestabilite,lafonction estreinitialiseeenresolvant
(15). n+1i ni t+min(Vni;0)g(D+x ni;Dx ni)+max(Vni;0)g+(D+x ni;Dx ni)=0 avecD+x ni= ni+1 ni x,Dx ni= ni ni1x,et g +(d+;d)=p min(d+;0)2+max(d;0)2; g (d+;d)=p max(d+;0)2+min(d;0)2: Lesconditionsauxlimitespour sontdutypeNeumann.Ceschemaetantexpliciteentemps, minimisationdeJ( l'equationd'Hamilton-Jacobi(14). (cf.Figure1).Canum20037
Anderegulariserlafonction ,quipeutdevenirtropplateoutropraideaucoursdesiterations, @t+sign( 0) jr j1 =0dansDR+; (t=0;x)= 0(x)dansD;(15) quiadmetcommesolutionstationnaireladistancesigneeal'interfacef 0(x)=0g.Enpratique cettereinitialisationesttresimportantecarlafonction devientsouventtropraideautourde lacourbedeniveau =0,entra^nantunemauvaiseapproximationdelanormalen.6Exemplesnumeriques
delacomplianceetdupoidsdelastructure J( )=Z @DNguds+`Z dx;(16)Canum20038
(16)est J 0( )()=Z 0 `Ae(u)e(u) nds;(17) carn=0surDet@DNoug6=0. ainsiqu'unresultatintermediaire.1020304050515253545
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