[PDF] Chapitre 4 - Limites et Asymptotes GYMNASE DE BURIER 2MSt

E Asymptotes obliques

Remarquons qu’une droite est appelée une droite oblique lorsque le coefficient directeur de cette droite n’est ni nul, ni infini Expliquons intuitivement la notion d’asymptote oblique de manière graphique à l’aide d’un exemple : Soit la fonction f donnée par l’expression: 32 2 2 9 5 2 45 x x x fx xx * : 4 5 0 1 5 1;5 2 ^ `

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes GYMNASE DE BURIER 2MSt

Exemple 3 2 Calculer l'asymptote oblique qu'admet la fonction f (x ) = x 3 +2 x 2 +1 x 2 +1 On fait la division euclidienne : x 3 +2 x 2 +1 x 2 +1 x 3 x x +2 0 2 x 2 x +1 0 2 x 2 2 0 0 x 1 Il y a donc une asymptote oblique d'equation y = x +2 4 Etudes de fonction avec asymptotes Regle des degres Soit f (x ) = N (x ) D (x ) une fonction

1ère S Cours sur limites de fonctions 4 ; asymptotes obliques

On parle de la position relative de la courbe et de l’asymptote ou de la position (tout court) de la 4 On conclut (rédaction-type) La courbe C f admet la droite d’équation y x 2 pour asymptote oblique en + et en On a la même asymptote oblique en + ∞ et en ère; en général, c’est toujours le cas en 1

IIIIII - AlloSchool

Asymptote oblique : a Définition : Soit la courbe représentative d’une fonction définie sur ( tel que dans un plan est rapporté à un repère a a 0 et a et b * Si x lim f x ax b 0 alors la droite d’équation y ax b est une asymptote oblique à au voisinage de b Exemple : Soit (x 7) f(x) x 3

ETUDE DES FONCTIONS - AlloSchool

asymptote oblique à la courbe au voisinage de +∞ si ): lim ????→+∞ ( −( + )=0 Exemple : La courbe de la fonction : ( )=2???? 2−???? ????−1 a pour asymptote oblique au voisinage de +∞, la droite (Δ): =2 +1 Remarque : Si la courbe (admet la droite Δ): = + comme

Branches infinies: Résumé de cours - WordPresscom

Exemple: f(x) = 3x² - 3 Cf admet une branche parabolique de direction celle de (o,j) Cf admet une asymptote oblique d’équation y=ax+b Exemple: f(x) = x+ x² 1 Cf admet une asymptote oblique d’équation y=2x Cf admet une branche parabolique de direction y= ax x Exemple: f(x) = -2x+ 1 2x Cf admet une branche parabolique de direction

Représentation graphique d une fonction

EXEMPLE f x x x x On a f x et f x x x Donc C admet une asymptote horizontale d équation y au de et au de Etudions le signe de f x x f x x 2 2 2 2 3 1 3 6 5 3 0 2 2 2 f ' sin sin x x x x Donc C se trouve en dessous de l asymptote horizontale au voi age de et au voi age de

Comportement asymptotique d’une fonction

asymptote oblique la droite d d’équation au voisinage de +∞ A Notion de limite Déterminer c’est examiner les valeurs f ( x ) lorsque x est proche d’une valeur a , sans pour cela l’atteindre

WordPresscom

b) Montrer que la droite (I)) d'équationy = —x + 1 est une asymptote oblique (Cr) au voislnage de +00 c) Montrer que (Cr) est au-dessus de la droite (D) sur l'intervalle et en dessous de (D) sur I'intervalle — 01 3) a) Montrer que f '(x) = — pour tout x dans R b) Dresser le tableau de vartation de la fonction f

les filtres actifs 2 - Issam Mabrouk enseignant à LISET

C’est une asymptote oblique de pente -20db Pour la tracer on peut prendre deux valeurs de comme par exemple = (et = 10 (Pour k>0 = − ˆ˙˝ (0) = 0 C’est une

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GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

Notes du cours donn´e par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier1. Valeurs interdites et asymptotes verticales

Exemple 1.1Etudier la fonctionf(x) =x3-2x2x-2.La fonction est rationnelle etED(f) =R\{2}. Calculons les z´eros

de cette fonction : x

3-2x2= 0?x2(x-2) = 0

Les solutions de cette ´equation sont 0 et 2, mais 2 n"est pas dans l"ensemble de d´efinition, le seul z´ero est donc 0. On fait le tableau de signes :x x

2x-2x-2f(x)-∞02+∞+0++

+0++GYMNASE DE BURIER2MSt1 xf(x) -39 -24 -11 00 11

2ind´efini

39
xy

1-11xf(x)

1.52.25

1.93.61

1.993.9601

2.0014.004001

2.56.25En r´esum´e, plus on s"approche de 2, plus la

fonction s"approche de 4.On le notera lim x→2x

3-2x2x-2= 4

On dit que la fonction admet un

trou en x= 2.Par calcul, on a lim x→2x

3-2x2x-2=

23-2·222-2= "

00 ind´etermin´e=lim x→2x

2(x-2)x-2= lim

x→2x2= 4GYMNASE DE BURIER2MSt2 La limite `a droite de la valeur interdite n"est pas toujours la mˆeme que celle `a gauche. On distingue donc les deux limites :1.limite ` agauche : lim x→2-x

3-2x2x-2= 42.limite ` adroite :

lim x→2+x

3-2x2x-2= 4Si les limites `a gauche et `a droite sont identiques, on note

simplementlim x→2x

3-2x2x-2= 4Exercice 1.1Calculer les limites suivantes :

1.limx→3(x2-5x+ 2)=3

2-5·3+ 2 =-42.lim

x→-1x2-1x+ 1=(-1)2-1-1+1= " 00 "=lim x→-1(x-1)(x+ 1)x+ 1= lim x→-1(x-1) = (-1-1) =-2?Trou en(-1,-2)3.lim x→-3x2+x-6x+ 3=(-3)2+ (-3)-6-3+3= " 00 "=lim x→-3(x-2)(x+ 3)x+ 3= lim x→-3(x-2) = (-3-2) =-5?Trou en(-3,-5)GYMNASE DE BURIER2MSt3

Exemple 1.2Etudier la fonctionf(x) =xx-3.1.ED(f) =R\{3}2.Z´eros :x= 0?Z(0;0)3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0) = 0?H(0;0)4.Etude de signesx

x x-3f(x)-∞03+∞-0++ +0-+ xy 11 ↓↑Asymptote enx= 3Etudier le comportement de la fonctionf(x) =xx-3autour de 3.? f(2) =-2? f(2.5) =-5? f(2.9) =-29? f(2.99) =-299? f(4) =4 f(3.5) =7 f(3.1) =31 f(3.01) =301 lim x→3-x x-3=- ∞

Limite `a gauchelim

x→3+x x-3=∞

Limite `a droite

Par calcul :

lim x→3-x x-3= " 30
-"=-∞lim x→3+x x-3= " 30
+"=∞Pour trouver le signe de la limite, on peut s"aider du tableau de signes.On dit quef(x)admet uneasymptote verticale en x= 3.GYMNASE DE BURIER2MSt4 Synth`ese 1.1Lorsque l"on ´etudie le comportement d"une fonction

rationnelle enses valeurs interdites, deux cas sont possibles :1.le trou : la limite tend vers un nomb re.

2. l" asymptote : la limite tend vers ±∞.Graphiquement, xy

11Trou en (2,1)

xy

11Asymptote enx= 3Exercice 1.2D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction

f(x) =x+ 4(x+ 4)(x-4). Calculer sa limite en-4+,0+et4+.

Indiquer les asymptotes et les trous le cas ´ech´eant.On observe queED(f) =R\{-4,4}.Calculons la limite en-4+:

lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 00 "= lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= lim x→-4+1(x-4)=-18

On a un trou en

-4;-18 .Calculons la limite en0+: lim x→0+x+ 4(x+ 4)(x-4)=

4-16=-14

C"est un point normal du graphe (0n"est pasune valeur interdite).Calculons la limite en4+: lim x→4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 80
+"=∞On a une asymptote verticale d"´equationx= 4.GYMNASE DE BURIER2MSt5 Exercice 1.3Indiquer sur le graphe suivant les trous et les asymptotes de la fonction repr´esent´ee. En d´eduire une expression possible de la fonction.xy

11Trou(-1,98

)Trou(4,67 )Asymptotex=-3Asymptotex= 3Les trous et les asymptotes apparaissent aux valeurs in- terdites :

ED(f) =R\{-3,-1,3,4}De plus,-1et4´etant

des trous, ce sont aussi des

z´eros du num´erateur.On a doncf(x) =(x+ 1)(x-4)(x+ 1)(x-4)(x-3)(x+ 3)Exemple 1.3Etudier la fonctionf(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2et esquisser

son graphe.On commence par factoriser la fonction : f(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2=

(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)1.ED(f)=R\{-2;-1}2.Z´eros :2?Z(2;0)(-2/?ED(f))3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0)=

42= 2?H(0;2)4.Etude de signesx

2-x2 +xx+ 2x+ 1f(x)-∞-2-12+∞+++0-

-0+++ -0+++ --0++ --+0-GYMNASE DE BURIER2MSt6 V´erifions le comportement de la fonction en ses valeurs interdites 1.lim x→-24-x2x

2+ 3x+ 2=

4-44-6 + 2= "

00 "=lim x→-2(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)=lim x→-22-xx+1= (2-(-2))((-2) + 1)=-4?Trou en (-2;-4)2.lim x→-14-x2x

2+ 3x+ 2=lim

x→-12-xx+ 1= " 30
"Limite `a gauche :lim x→-1-2-xx+ 1=

2-(-1-)-1-+1=

3+0 -=-∞ ↓Limite `a droite :lim x→-1+2-xx+ 1=

2-(-1+)-1++1=

3-0 += +∞ ↑?Asymptote verticale d"´equationx=-1xy 1-11

-1Z´ero(2;0)Ordonn´ee `a l"origine(0;2)Trou(-2;-4)↓↑AV d"´equationx=-1GYMNASE DE BURIER2MSt7

2. Comportement `a l"infini et asymptotes horizontales

Exemple 2.1Calculer la limite suivante

lim x→∞x

3+x2+ 2x-3 =lim

x→∞x 3? 1+1x +2x 2-3x

3?Remarque 1.1A l"infini, une fonction polynomiale se comporte

comme son terme de plus haut degr ´e .Exercice 2.1Calculer les limites suivantes 1.lim x→∞2x3-4x2-25x3-3x2+x=lim x→∞2x 35x
3=lim x→∞2 5= 25

Asymptote horizontale (AH) d"´equationy=25

2.lim x→∞4x4+ 77x5-12=lim x→∞4x 47x
5=lim x→∞4

7x=0AH d"´equationy= 03.lim

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