[PDF] Chapitre 6 Fonction exponentielle



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Fonction exponentielle Limites Exercices corrigés

(dérivabilité de la fonction exponentielle en 0) Exercice 10 : limite d’un taux d’accroissement et nombre dérivé Exercice 11 : limite et continuité Exercice 12 : étude de limite et comportement asymptotique (asymptote horizontale) Exercice 13 : étude de limite et comportement asymptotique (asymptote verticale)



TS - Limites de la fonction exponentielle

N #Duceux#–#LFIB# #TS# 1" Limitesde’lafonction’exponentielle’ Théorème–’Limitesà’l’infini lim $→&’ ($=+∞ lim $→,’ ($=0Preuve’



La fonction exponentielle - e-monsite

La fonction exponentielle Limites Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite relative a la fonction exponentielle 1 L’id ee g en erale La fonction exponentielle peut ^etre introduite selon plusieurs approches: { comme la bijection r eciproque de la fonction logarithme n ep erien; { comme la seule fonction egale a sa d eriv ee ;



FONCTION EXPONENTIELLE

Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances Sa croissance est plus rapide Exemple : Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction dans différentes fenêtres graphiques On constate que pour x suffisamment grand, la fonction exponentielle dépasse la



FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

- On cherche à conjecturer de même la limite de la fonction exponentielle en −∞ Calculons quelques valeurs de la fonction exponentielle pour des valeurs de de plus en plus grandes dans les négatifs (+,≈0,0067, +(+ &-, (+#&&≈3,72×10+$$ On constate que la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus proches



Chapitre 6 Fonction exponentielle

I EXERCICES CHAPITRE 6 FONCTION EXPONENTIELLE Exercice 6 20 (limites lorsque x tend vers l’infini, asymptotes) 1 Déterminer dans chaque cas la limite en `8 et en ´8 de la fonction f



La fonction exponentielle

1 La fonction exponentielle 1 1 Définition et théorèmes Théorème 1 : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que : f′ = f et f(0)=1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp ROC Démonstration : L’existence de cette fonction est admise Démontrons l’unicité • La fonction exponentielle ne s





Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour

Déterminer la limite en + ∞ de f(x) = 1 2 + + x ex Par calcul direct , on a une forme indéterminée , mais on va utiliser la croissance comparée ; pour cela il faut faire apparaître dans la forme exponentielle et au dénominateur de la fraction la même expression Puisqu’on ne peut pas toucher à l’exponentielle , on « joue » avec la

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CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Chapitre 6

Fonction exponentielle

I Exercices

6.1 Calculs - Équations - Inéquations

Exercice 6.1

Écrire chaque expression sous la forme d"une seule exponentielle.

1.e0,3ˆe1,42.e2

Exercice 6.2

QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions ci-dessous. Pour tout réelx, ex´2est égal à :

1. ex

22.exe23.ex´e2

Exercice 6.3

1.Simplifier les expressions suivantes :A"e6xˆe2x

e5B" pe3xq2ˆe5´x

2.Factoriser l"expression : e2x´1

Exercice 6.4

1.Transformer l"expression 3e5xˆ p´6e´2x`4qsous la formeaebx`c.

2.Simplifier l"expressionpe3x´e´3xq ˆ pe3x`e´3xq.

3.Transformer l"expressione6xˆ pex`3q2

ex`2sous la forme edx`e.

Exercice 6.5

Transformer l"expression

ex ex`1sous la forme11`eax

Exercice 6.6

Dans chaque cas, justifier si l"égalité est vraie pour tout réelx. 1. ex`2 e2x`2`e2"1ex`e´x2.e5x`1e10x"xe´5x TS - Math - J.L. Poncin - Lycée Bellepierre98http://mimathazot.jimdo.com/

I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.7

1.Résoudre les équations ci-dessous.a)e4x`6"e5b)ex2"ec)e5x´3"1d)e´3x`2´ex"0e)e3x" ´4

2.Résoudre l"équation :p3x´7qex"0

4.Résoudre l"inéquation :p2x`5qe´xă0

Exercice 6.8

Quel est le nombre de solutions de l"équation e

2x`ex´6"0? Justifier. Indication : poserX"ex.

Exercice 6.9

On considère une fonctionfdéfinie sur l"intervaller0 ; 5set on donne sa courbe représentativeCfdans le repère ci-contre. QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions1. 2. 3. Sur l"intervaller0 ; 5s, l"équation exppfpxqq "1

1.admet une solution

2.admet deux solutions

3.n"admet aucune solution

0123
´1 ´2

´31 2 3 4 5

Exercice 6.10

Le polonium 218 se désintègre naturellement et le nombre de noyaux de polonium 218 présents à un

instanttdonné est donné par la fonctionNdéfinie par :Nptq "N0e´0,0037t. Le tempstest exprimé en secondes etN0est le nombre de noyaux à l"instant initialt"0.

1.SiN0"2ˆ1023, donner une estimation du nombre de noyaux restant au bout de100 secondes,

puis de 200 secondes.

2.Tracer la représentation graphique de cette fonction sur l"écran de la calculatrice sur l"intervalle

r0s; 600ss.

3.La demi-vie d"une substance radioactive est le temps au boutduquel la masse de cette sub-

stance a diminué de moitié. Déterminer la demi-vie du polonium à une seconde près. Expliquer sa démarche.

6.2 Dérivée de la fonction exponentielle.

Exercice 6.11

Calculer les dérivées des fonctions définies ci-dessous Chacune de ces fonctions est dérivable sur

l"intervalle I indiqué.

1.fpxq " ´0,5ex`7 I = IR2.fpxq "x3´exI = IR3.fpxq "3xexI = IR

4.fpxq "4ex

xI"s0 ;`8r5.fpxq "2´exexI = IR TS - Math - J.L. Poncin - Lycée Bellepierre99http://mimathazot.jimdo.com/

I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.12

Calculer les dérivées des fonctions définies ci-dessous.

1.fpxq " p5x´2qex2.fpxq "1

ex`43.fpxq "ex`10x

Exercice 6.13

QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions1. 2. 3..

La fonctiongdéfinie sur l"ensemble des nombres réels IR pargpxq "xexest la dérivée de la fonction

G définie sur IR par :

1.Gpxq "x2

2ex2.Gpxq " px`1qex3.Gpxq " px´1qex

Exercice 6.14

La fonctionfest définie sur l"intervaller´4 ; 4s parfpxq "ex´x2, et elle est représentée graphi- quement ci-contre par la courbeCf. La fonctionf est dérivable sur l"intervaller´4 ; 4s. On notef1 la fonction dérivée de la fonctionf.

1.Placer sur la courbeCfles points A et B

d"abscisses respectives´2 et 3.

2.Calculer les coefficients directeurs les tan-gentes à la courbeCfen A et en B. Arrondir

les résultats à l"unité.

3.Tracer ces tangentes.

102030

´10

´201 2 3´1´2´3´4

Cf

Exercice 6.15

La fonctionfest définie sur l"intervaller´4 ; 4sparfpxq " p2x´7qex.

1.Calculer la dérivée.

2.Étudier le signe de la dérivée.

3.Dresser le tableau de variations. Indiquer les valeurs remarquables exactes.

4.Avec la calculatrice, tracer la courbe de cette fonction. Utiliser le tableau de variation pour

bien régler les valeurs de la fenêtre.

Exercice 6.16

Même exercice que l"exercice 6.15 pour la fonctionfdéfinie sur l"intervaller0 ; 2sparfpxq "ex 2x`1.

Exercice 6.17

Même exercice que l"exercice 6.15 pour la fonctionfdéfinie sur l"intervaller´4 ; 1sparfpxq "x2ex.

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I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.18

La fonctionfest définie sur l"intervaller´3 ; 1sparfpxq " p2x`1qex. La fonctionfest représentée

par la courbeCfci-dessous.

1. a)D"après la représentation graphique, combien la courbeCfa-t-elle de tangentes qui passent

par l"origine du repère? b)Tracer approximativement ces tangentes. c)Quels sont approximativement les abscisses des points de contacts entre la courbeCfet ces tangentes.

2.Déterminer ces tangentes de manière exacte par des calculs.Indications :

"Calculer la dérivée def. "On appelleαl"abscisse d"un pointAde la courbeCf. "Écrire l"équation réduite de la tangente enAen fonction deα. "Sachant que cette tangente passe par l"origine, écrire une équation d"inconnueα. "Calculer les abscisses exactes des points de contacts entrela courbeCfet ces tangentes. 2468

1´1´2´3

6.3 Limites

6.3.a Limites en l"infini

Exercice 6.19 (limite de l"exponentielle en l"infini) L"objectif de cet exercice est de déterminer les limites de exlorsquextend vers`8et lorsque xtend vers´8. Le programme précise qu"un élève doit savoir justifier ces limites.

1.La fonctionuest définie par :upxq "ex´x.

a)Calculer la dérivée. b)Étudier le signe de la dérivée. c)Dresser le tableau de variation de la fonctionusans les limites. d)En déduire que pour tout réelx, exąx.

2.Déterminer la limite de exlorsquextend vers`8.

3.Déterminer la limite de exlorsquextend vers´8.

Indication : pour tout réelx, on a ex"e´p´xq. TS - Math - J.L. Poncin - Lycée Bellepierre101http://mimathazot.jimdo.com/

I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.20 (limites lorsquextend vers l"infini, asymptotes)

1.Déterminer dans chaque cas la limite en`8et en´8de la fonctionf.

a)fpxq "ex`xb)fpxq "1

1`exc)fpxq "e3x

d)fpxq "e´x`1 x2`1e)fpxq "ex´e´xf)fpxq "ex2

2.Compléter le tableau ci-dessous. S"il y a une asymptote, donner son équation, sinon tracer

une croix. a)b)c)d)e)f) limxÑ´8pfpxqq

Asymptote?

limxÑ`8pfpxqq

Asymptote?

Exercice 6.21 (limites lorsquextend vers l"infini) Déterminer dans chaque cas la limite en`8et en´8de la fonctionf.

1.fpxq "e2x´exIndication : pour lever l"indétermination en`8, mettre exen facteur.

2.fpxq "2´ex

1`exIndication : pour lever l"indétermination en`8, mettre exen facteur au

numérateur et au dénominateur.

6.3.b Trois autres limites à connaître

Exercice 6.22

L"étude des trois limites suivantes : lim

xÑ`8ˆ ex x , lim xÑ`8´ xex¯ et limxÑ´8pxexqconduit à deux formes indéterminées.

Conjecturer les deux limites à l"aide de la calculatrice (tableau de valeurs et courbe). On admettra

ces résultats.

Exercice 6.23

1.Déterminer limxÑ´8pex´xq

2.Déterminer limxÑ`8pex´xq. Indication : mettre d"abordxen facteur dans cette expression,

lorsquex‰0.

Exercice 6.24

1.Déterminer limxÑ´8´

px´5qe´x¯

2.Déterminer limxÑ`8´

px´5qe´x¯ . Indication : développer l"expression. TS - Math - J.L. Poncin - Lycée Bellepierre102http://mimathazot.jimdo.com/

I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.25

1.Déterminer limxÑ´8ˆ

ex x`4

2.Déterminer limxÑ`8ˆ

ex x`4 . Indication : mettre d"abordxen facteur au dénominateur.

Exercice 6.26

1.Déterminer limxÑ`8´

p5x´4qex¯

2.Déterminer limxÑ´8´

p5x´4qex¯ . Indication : développer d"abord l"expression.

Exercice 6.27

1.Déterminer limxÑ´8´

xex´2x¯

2.Déterminer limxÑ`8´

xex´2x¯ . Indication : factoriser d"abord l"expression.

6.3.c Limites en un point

Exercice 6.28 (limites lorsquextend versa, asymptotes)

1.Déterminer les limites suivantes.a)limxÑ0pexqb)limxÑ3pexqc)limxÑ0ˆ

ex`4 x2 d)limxÑ0xą0ˆ ex`5x e)limxÑ0xă0ˆ ex`5 x f)limxÑ0´ e1 x2¯ g)limxÑ6xă6ˆ exx´6

2.Compléter le tableau ci-dessous. S"il y a une asymptote, donner son équation, sinon tracer

une croix. a)b)c)d)e)f)g)

Limite

Asymptote?

Exercice 6.29 (limites lorsquextend versa, asymptotes)

1.Déterminer les limites suivantes.a)limxÑ10pexqb)limxÑ´5pexqc)limxÑ0ˆ

ex´2 x2 d)limxÑ0xă0ˆ ex`1x e)limxÑ0xă0´ e1 x¯ f)limxÑ7xą7ˆ exx´7

2.Compléter le tableau ci-dessous. S"il y a une asymptote, donner son équation, sinon tracer

une croix. a)b)c)d)e)f)

Limite

Asymptote?

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I. EXERCICES CHAPITRE 6. FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 6.30

On sait d"après le cours sur les dérivées que le nombre dérivéd"une fonctionfenaestf1paqet que

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