Limites de fonctions
Fondamental : Limite de référence et Par conséquent l'axe des abscisses est asymptote horizontale pour la courbe représentative de la fonction inverse Attention Certaines fonctions n'ont pas de limite, finie ou infine en l'infini C'est le cas par exemple des fonction sin et cos qui oscillent sans arrêt Limites en l'infini 13
DEVOIR EN CLASSE N°2
Déterminer la limite de la fonction h en −2- Exercice 4 : (3,5 points) Vrai ou Faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant
frederic-juniergithubio
Capacité 2 Comprendre la définition d'une limite en l'infini Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse : Affirmation 1 Affirmation 2 Affirmation 4 Affirmation 5 : lim lim lim lim -eco alors f croissante sur son intervalle de définition -eco alors f décroissante sur son intervalle de définition
Chapitre 14- Limites et continuité d’une fonction numérique
Remarque: Si a est une borne de I, par exemple a = inf(I), alors la notion de limite de en a se confond avec la notion de limite à droite de a et on peut noter xa limf(x) ou lieu de xa lim f(x) Proposition 14 3: Soit f F(I, ), a un réel de I ou une borne de I, un réel évent
Fiche d’exercices 2 : Les développements limités
Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable sur ℝ, dont on sait que f(0) = 1 et f’(0) = 2 Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse 1 On peut écrire f x ( ) =2 +x pour x proche de 0 2 On peut écrire f x =( ) 1 +2x pour x proche de 0 3 Lorsque x est proche de 0, on peut approcher f x ( ) par 1+2x 4
Exercice 1(QCM)
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x)= On désigne par C la courbe de f dans un repère orthonormé (O, I,J) 1 Calculer la limite de f en + 2 a Montrer que f(x)= b En déduire la limite de f en - Interpréter le résultat de graphiquement 3 Montrer que f’(x)= (1-4 Dresser le tableau de variation de f 5
Le CPF (COMPTE PERSONNEL DE FORMATION), vraie ou fausse bonne
restructuration ou un départ pour et simple de la fonction publique Les services gestionnaires auront bien du mal à trancher et les refus de bénéfice du CPF risques d’être nombreux Un droit qui ne serait pas de droit, nous allons vers l’absurde En théorie, l’action de formation pourrait « porter sur toute action de formation
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
Exprimer Sn+1 en fonction de Sn b) Déterminer la limite de la suite (un) tel que : un = 1 + 1 2 + 1 dire si elle est vraie ou fausse et justifier la
1 Suites et récurrence - GitHub Pages
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 1 2 est : 1¯ln4 Exercice 15 Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels Rtelle que : f (x) ˘(x¯1)ex 1 Calculer la limite de f en ¯1et en ¡1 2 On note f 0 la fonction dérivée de la fonction f
1 - PrØambule : de quoi parlons-nous?
Soit f une fonction dØnie sur un ensemble D Une assertion est vraie au voisinage de ¯1s’il existe un rØel a tel que l’assertion soit vraie pour tous les x de [ a ,¯1[ TØhessin : Toutes ces propriØtØs me semblent pourtant plus globales que locales: elles sont vraies sur de grands inter-
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Nom/Prénom : ................. Vendredi 10 novembre 2017
Classe : TS
DEVOIR EN CLASSE N°2
L'usage de la calculatrice en mode examen est autorisée.Vous êtes invité à faire figurer sur votre copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse que vous aurez développé. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et de la
rédaction.Durée : 2 h.
Exercice 1 : (4,5 points)
Les questions de cet exercice sont indépendantes.1)On donne les nombres complexes z1=3+i et z2=-2+i.
Ecrire sous forme algébrique z1z2 et z1
z2.2)Résoudre dans ℂ les équations suivantes :
a)8z+5i=4-z+ib) 2z-4=5i+4z
Exercice 2 : (5 points)
Les questions de cet exercice sont indépendantes.1)Soit
f la fonction définie sur ]-∞ ; 2[ par f(x)=x+22-cosx.
Etudier la limite de f en
2)Soit
g la fonction définie par g(x)=x+3 2x-8. Déterminer l'ensemble de définition D de g puis les limites de g aux bornes de D. (4 limites)Exercice 3 : (2 points)
Voici la courbe représentative d'une fonction f définie sur ℝ/{-2}.1) Lire sur le graphique les limites de la fonction
f en -∞, +∞, en -2- et en -2+.2) g est la fonction définie pour x différent de -2 et
0 par g(x)=1
f(x).Déterminer la limite de la fonction
g en -∞.3) h est la fonction définie sur ]-∞;-2[∪[0;+∞[
par h(x)=Déterminer la limite de la fonction h en -2-.
Exercice 4 : (3,5 points) Vrai ou Faux
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.1)Soit
z un nombre complexe. z-z z+z est un nombre réel.2)Soit C la courbe représentative d'une fonction
f dans un repère. a) Si fx=x2x-1 x-22 alors C admet pour asymptote la droite d'équation x=2. b) Si f(x)=x2+32x-1 alors C admet pour asymptote la droite d'équation
y=1 2.Tournez la page !!!!!!
Exercice 5 : (7 points)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, ⃗u, ⃗v).On considère l'application
f, qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=z2-4z.1)On pose
z=xiy avec x et y réels. a) Calculer la partie réelle et imaginaire de z' en fonction de x et y. b) En déduire l'ensemble des points M tels que z' soit un réel.2)Soit A et B les points d'affixe
zA=3i3 et zB=1-i3. a) Calculer les affixes des points A' et B', images par f des points A et B. b) Soit G le point d'affixe 2 etM1 et M2 les points d'affixe z1 et z2.
Montrer que si G est le milieu de
[M1M2], alors z2=4-z1 et f(M2)=f(M1). Expliquer alors le résultat de la question 2) a).3)Soit I le point d'affixe -3.
a) Montrer que OMIM' est un parallélogramme si et seulement si z2-3z+3=0. b) Résoudre dans ℂ cette équation.Exercice 6 : (2 points)
Déterminer une fonction
f quotient de deux fonctions trinômes telle que : limx→+∞f(x)=-3 et limx→-1- f(x)=+∞ et limx→2+ f(x)=-∞.Classe : TS
CORRECTION DEVOIR EN CLASSE N°2
Exercice 1 :
z1 z2 =z1z2 z2z2 =-5-5i -2212=-5-5i5=-1-i2)a)
8z+5i=4-z+i ; 8zz=4i-5i ; 9z=4-4i ; z=4-4i
9 ; La solution est 4-4i
9. b) 2z-4=5i+4z. Posons z=aib avec a et b réels.2aib-4=5i4a-ib; 2a2ib-4=5i4a-4ib ; -2a-46ib-5i=0Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire est nulle.
D'où :
{-2a-4=06b-5=0 ; {a=4
-2 b=56. La solution est -25
6i.Exercice 2 :
1)Soit
x un réel tel que x-2. -1cosx1 ; 1-cosx-1 ;-122-cosx12 cad 12-cosx3La fonction inverse est strictement décroissante sur [1;+∞[ donc
111
2-cosx1
3. x<-2 alors x20 d'où x2fxx2 3.On a limx-∞x2
3=-∞ et fxx2
3, donc d'après un théorème de comparaison on en déduit
que limx-∞fx=-∞. 2)2x-8=0 ⇔ x=4. g est définie sur D=]-∞;4[∪]4;∞[.* limites en l'infinie:
g est une fonction rationnelle donc limx∞gx=limx∞x 2x=1 2 et 2x=1 2. * limites en 4 : limx4x3=7 et limx42x-8=0. On a besoin du signe de2x-8 pour conclure.
x-∞4+∞2x-8-0+
* limx4x3=7 et limx→4-2x-8=0- donc par limite de quotient limx→4- g(x)=-∞. * limx4x3=7 et limx→4+2x-8=0+ donc par limite de quotient limx→4+g(x)=+∞.
Exercice 3 :
1)Par lecture graphique, limx∞fx=1, limx-∞fx=1,
limx→2- f(x)=+∞ et limx→-2+ f(x)=-∞.2)Pour x réel différent de 0 et -2, posons X=fx.
limx-∞fx=1 et limX11X=1 donc limx-∞gx=1.
3)Pour x
∈]-∞;-2[∪[0;+∞[, posons X=fx. limx→2-f(x)=+∞ et limX∞ X=∞ donc limx→2- h(x)=+∞.Exercice 4 :
1)Soit z un nombre complexe. D'après le cours, z-z=2iIm(z) et zz=2Rez donc
z-z z+z=iIm(z) Re(z). C'est donc un nombre imaginaire pur. L'affirmation est fausse.2)a) x-22=0 pour x=2.
f n'est pas définie en 2. limx2x2x-1=5 et limx2x-22=0+ donc par limite de quotient limx2fx=∞ donc C admet la droite d'équation x=2 comme asymptote verticale. L'affirmation est vraie. b) f est une fonction rationnelle donc limx∞fx= limx∞ x22x=limx∞x
2=+∞ et
limx-∞ fx=limx-∞x22x=limx-∞x
2=-∞.
Ainsi, C n'admet pas d'asymptote horizontale. L'affirmation est fausse.Exercice 5 :
1)On pose z=x+iy avec
x et y réels.a) z'=xiy2-4xiy=x22ixyi2y2-4x-4iy=x2-4x-y2i2xy-4y
La partie réelle de
z' est x2-4x-y et sa partie imaginaire 2xy-4y. b)z' est un réel ⇔2xy-4y=0 ⇔ y2x-4=0 ⇔ y=0 ou 2x-4=0 ⇔ y=0 ou x=2.
L'ensemble recherché est la réunion de l'axe des abscisses et de la droite d'équation x=2. 2)a) zA'=zA zB'=zB2-4zB=1-4-3i-2343=-62i3b) Si G est le milieu de
[M1M2] alors zG=z1z2 2. Or zG=2, d'où 2=z1z22 puis z1z2=4 ou encore z2=4-z1.
D'autre part, z2'=z22-4z2=4-z12-44-z1=16-8z1z12-164z1=z12-4z1=z'1
donc fM2=M1. On a bien montré que si G est le milieu de [M1M2], alors z2=4-z1 et f(M2)=f(M1).Soit F le milieu de [AB] alors zF=zAzB
2=3i
31-i32=2=zG. F et G sont confondus,
autrement dit, G est le milieu de [AB]. En appliquant la propriété précédente, on en déduit que
fB=A, ce qu'on avait constaté par le calcul.3)a) OMIM' est un parallélogramme ⇔
OM=M'I ⇔ zM-zO=zI-zM' ⇔ z=-3-z24z ⇔ z2-3z3=0b) = -32-4×1×3=-3 donc 2 solutions complexes z1=3-i32 et z1=3i3
2.Exercice 6 :
Au brouillon ( solution rédigée) :
Je cherche une fonction f de la forme fx=ax2bxc a'x2b'xc'. f est une fonction rationnelle donc limx→+∞f(x)=limx→+∞ ax2 a'x2=a a'.Par hypothèse
limx∞ fx=-3 donc a a'=-3. limx→-1- f(x)=+∞ et limx→2+ f(x)=-∞, ce qui signifie que -1 et 2 sont les valeurs interdites. Celasignifie aussi que le trinôme au dénominateur se factorise sous la forme a'x-2x1.