[PDF] LES SUITES (Partie 1)



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Limites de suites

Cette suite semble t-elle admettre une limite ? I 3 Pas de limite Une suite peut n'avoir ni limite finie, ni infinie On dit qu'elle n'admet pas de limite ou qu'elle diverge Exercice 3: Proposer une représentation graphique pour la suite (Un) définie par {Un+1=Un∗(−2) U0=7 Que dire des valeurs des termes de cette suite lorsque n est



TS Limites de suites Cours Exemples I 1 2 Limite finie

Exemple : on considère la suite ( définie par Démontrer que la suite ( a une limite finie 1 Suite sans limite Certaines suites n’ont pas de limite : ( par exemple On dit que cette suite diverge II Opérations et limites 1 Somme et produit 2 Quotient est une suite telle que pour tout entier naturel Exemples :



1 TS Limites de suites Cours Exemples

Les suites (√ ( ( ( ont pour limite + Exemples: Ex 3 page 45 ; suite (2n²)+algo dépassement Limite finie On note: = l ) est convergente de limite l , ou qu’elle onverge vers l Cette définition traduit l’aumulation de termes autour de l Remarque: lorsqu’elle existe , la limite d’une suite est unique



Limites de suites et de fonctions - ac-noumeanc

La fonction f n'admet pas de limite en 2 Propriété admise : Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a, mais qui n'est pas définie en a, alors, f possède une limite en a si et seulement si elle possède une limite finie à gauche et une limite finie à droite et si celles ci sont égales 3) Limites des fonctions de référence



TS Cours sur les limites de suites 1

Comme la suite un n’admet pas de limite finie, on dit que la suite un est divergente d) Complément Les sous-suites d’indice pairs et impairs sont constantes égales respectivement à 1 et – 1 Elles convergent donc respectivement vers 1 et – 1 mais la suite un ne converge pas



Limites de fonctions

Approche d'une limite finie en l'infini 13 Limite finie en l'infini 14 Dans cette partie, on s’appuiera sur les connaissances de limites de suites vues au chapitre précédent L'idée générale reste la même à savoir que l'on va donner à x des valeurs de plus en plus grandes (ou petites si x est négatif) et observer le comportement de f(x)



LES SUITES (Partie 1)

2) Limite finie Exemple : La suite (u n) définie sur ℕ* par "#=1+ 2 #5 a pour limite 1 En effet, les termes de la suite se resserrent autour de 1 pour des valeurs de de plus en plus grandes Approche intuitive d’une limite finie : On dit que la suite (u n) admet pour limite 6 si u n est aussi proche de 6 que l’on veut



Fiche BAC 02 Terminale S Calcul des limites de Suites numériques

même limite finie 0 Donc, d'après le théorème de comparaison [dit des gendarmes], on peut affirmer que la suite (tn) est convergente et tend vers la même limite 0 Conclusion : lim n→+∞ tn=0 Corrigé Exercice n°2 1°) A l'aide de votre calculatrice, calculer les quatre premiers termes de cette suite

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1

LES SUITES - Chapitre 1/2

Partie 1 : Limite d'une suite

1) Limite infinie

Définition : On dit que la suite (

) admet pour limite +∞, si est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang et on note : lim

Exemple :

La suite (

) définie pour tout par a pour limite +∞.

On a par exemple :

=100 =10000 =1000 =1000000 Les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang. Remarque : Pour une limite égale à -∞, on note : lim Algorithme permettant de déterminer un rang à partir duquel une suite croissante de limite infinie est supérieure à un nombre réel A :

On considère la suite (

) définie par =2 et pour tout entier , =4 Cette suite est croissante et admet pour limite +∞. En appliquant l'algorithme ci-contre avec A = 100, on obtient en sortie =3.

A partir du terme

, les termes de la suite dépassent 100.
Le programme correspondant dans différents langages :

TI CASIO Python

Langage naturel

Définir fonction seuil(A)

n ← 0 u ← 2

Tant que u < A

n ← n + 1 u ← 4u

Fin Tant que

Afficher n

2

2) Limite finie

Définition : On dit que la suite (

) admet pour limite , si est aussi proche de que l'on veut à partir d'un certain rang et on note : lim

Une telle suite est dite convergente.

Exemple : La suite (

) définie pour tout non nul par =1+ a pour limite 1.

On a par exemple :

=1+ =1,0001 =1+ =1,000001 Les termes de la suite se resserrent autour de 1 à partir d'un certain rang. Définition : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie.

Par exemple, la suite de terme générale

-1 prend alternativement les valeurs -1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.

3) Limites des suites usuelles

Propriétés :

-lim =+∞, lim =+∞, lim - lim 1 =0, lim 1 2 =0, lim 1 =0.

Partie 2 : Opérations sur les limites

1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites

SOMME lim lim lim F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. 3 PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ∞ 0 lim lim F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞.

QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞

lim ≠0 ∞ ∞ 0 lim ′≠0

0 ∞ ∞ 0

lim ∞ 0 ∞

F.I. F.I.

On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. Tous ces résultats sont intuitifs. On retrouve par exemple, un principe sur les opérations de limite semblable à la règle des signes établie sur les nombres relatifs. Méthode : Calculer la limite d'une suite à l'aide des formules d'opération

Vidéo https://youtu.be/v7hD6s3thp8

Calculer les limites : a) lim

+ b) lim 8 1 +19 +3 c) lim 2 2 -3

Correction

a) lim lim lim D'après la propriété donnant la limite d'une somme : lim b) lim 8 1 +19 +3 lim 1 =0lim 8 1 +19=1 lim =+∞lim +3 D'après la propriété donnant la limite d'un produit : lim 8 1 +19× +3 c) lim 2 2 -3 lim lim =+∞lim -3=-∞ D'après la propriété donnant la limite d'un quotient : lim 2 2 -3 =0 4

2) Cas des formes indéterminées (non exigible)

On peut reconnaître les formes indéterminées pour lesquelles il faudra utiliser des calculs algébriques ou utiliser d'autres propriétés sur les calculs de limites afin de lever l'indétermination. Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : "∞-∞", "0×∞", " " et " 0 0 Méthode : Lever une indétermination - NON EXIGIBLE -

Vidéo https://youtu.be/RQhdU7-KLMA

Déterminer les limites suivantes : a) lim

-3 b) lim -5+1

Correction

a) lim -3 lim lim -3 Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination : -3 =P1- 3

Q=R1-

3 S T

U=V1-

3 W lim lim 3 =0lim 1- 3 =1

Donc, comme limite d'un produit : lim

81- 3

9=+∞

Soit : lim

-3 b) lim -5+1=? lim lim -5+1=-∞ Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : 5 -5+1= V1-

5

1

W=

V1- 5 1 W lim 5 =0 lim 1 2 =0

Donc, comme limite d'une somme : lim

1- 5 1 2 =1 lim lim 1- 5 1 2 =1

Donc, comme limite d'un produit : lim

81-
5 1 2

9=+∞

Soit : lim

-5+1=+∞.

Partie 3 : Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit deux suites (

) et (

Si, à partir d'un certain rang, on a X

lim alors lim )pousselasuite( )vers+∞à partird'uncertainrang.

Théorème 2 :

Soit deux suites (

) et (

Si, à partir d'un certain rang, on a : X

lim alors lim 6 Méthode : Déterminer une limite par comparaison

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

-1

Correction

On a :

-1 ≥-1 donc : -1 -1

Or, lim

-1=+∞, donc par comparaison, lim -1

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit trois suites (

) et

Si, à partir d'un certain rang, on a : <

lim lim alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites ( ) et ( ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite ( ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Déterminer une limite par encadrement

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

1+ 7

Correction

1 sin 1

Or : lim

1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes : lim sin =0

Et donc lim

1+ =1. Remarque : On utilise le théorème de comparaison pour démontrer une limite infinie et le théorème d'encadrement pour une limite finie.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47