[PDF] Cours de Mathématiques TS - LeWebPédagogique

La fonction puissance et la racine n-ième

Par croissance de la fonction exp sur R et de la fonction ln sur R∗ +: e √ 2lnx 6eln 1 2 ⇔ √ 2lnx 6−ln2 ⇔ lnx 6− ln2 √ 2 ⇔ x 6e− ln2√ 2 ⇔ S =]0 ; e− ln2√ 2] 2 Étude de la fonction puissance 2 1 Variation Soit la fonction fa définie sur R par : fa(x)=ax =ex lna Comme ax =ex lna, fa est continue et dérivable sur R

Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle Fonction racine

Fonction racine nième Page 1 sur 2 Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle Fonction racine nième (n ☻IN, n Ã2) I Racine nième Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit fn la fonction définie sur [0 ;+õ[ par fn(x)=xn

Racine nieme Exercices V042011 - PanaMaths

Courbe représentative de la fonction xx63 212 + pour x∈−[5;5] N°97 page 159 1 a) La fonction 1 x x 4 − 6 est dérivable sur * \+ comme composée de la fonction racine quatrième, dérivable sur * \+ et prenant ses valeurs dans * \+ (pour x >0), et de la fonction inverse, dérivable sur * \+ La fonction 1 2 x 6x est dérivable sur *

Terminale S - melusineeuorg

5 2 Fonctions racine nième ∗ Limite infinie d’une fonction à l’infini Pas d’assymptote

LM 256 - Exercices corrigés - Université Paris-Saclay

cette limite au point en question) À première vue, f n’admet pas de limite en 0 (elle «oscille»indéfiniment),tandis g sembleenavoirune Autrementdit,onveut démontrer (jusqu’ici,onn’adonnéquedevaguesimpressions)que f n’apasdelimiteen0,tandis

Puissances, Racines Exponentielles et Logarithmes

On appelle racine n-ième de a, noté n? a, l’unique nombre r positif tel que rn “ a En d’autres termes : r “ n? a ðñ rn “ a et r ě 0 Le nombre a s’appelle le radicande, le nombre n s’appelle l’indice et n? s’appelle le radical a) Dans le cas où n “ 1, on a 1? a “ a b) Dans le cas où n “ 2, la racine 2-ième s

Limites de fonctions - Exo7

Exo7 Limites de fonctions 1 Théorie Exercice 1 1 Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +¥ 2 Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +¥

Cours de Mathématiques TS - LeWebPédagogique

3 Extension de la notion de limite 25 3 1 Limite finie d’une fonction en +∞ou −∞ 25

13 n n

11 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f: x x 2x Justifier que f est dérivable sur son ensemble de définition et calculer f x' 12 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f: x x2 3 x Déterminer sa limite en + 13 n Déterminer lim 2 n

[PDF] limite fonction rationnelle en 0

[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé

[PDF] limite forme indéterminée exponentielle

[PDF] Limite indeterminée

[PDF] Limite infinie d'une suite

[PDF] limite ln usuelles

[PDF] limite logarithme népérien en 0

[PDF] limite logarithme népérien et exponentielle

[PDF] limite math

[PDF] limite math forme indéterminée

[PDF] limite math tableau

[PDF] limite polynome en 0

[PDF] limite polynome terme plus haut degré

[PDF] limite racine carré en 0

[PDF] limite racine carré forme indéterminée

Cours de Mathématiques

TS

Lycée Henri IV

Table des matièresI Les nombres complexes7

1 Racinesnièmed"un nombre complexe non nul7

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Racinesnièmede l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

2 Equations du second degré à coefficients complexes.9

2.1 Etude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Linéarisation des polynômes trigonométriques.9

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Exercice résolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Exemple d"application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Calcul decosnφetsinnφ.10

5 Formules trigonométriques.11

5.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12

II Les fonctions13

1 Généralités13

1.1 Image d"une partie A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Image réciproque d"une partie B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Egalité de deux fonctions. Comparaisons. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Restriction d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Prolongement d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Application injective ou injection . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Application surjective ou surjection . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Application bijective ou bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Courbe représentative ou graphe d"une fonction . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Changement d"origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Domaine d"étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 18

1.13 Fonction majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.14 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Limite d"une fonction. Continuité21

2.1 Limite finie en un pointx0deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 Exemples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Limite à droite en un pointx0deR. Limite à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Prolongement par continuité à gauche ou à droite . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

3 Extension de la notion de limite25

3.1 Limite finie d"une fonction en+∞ou-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

3.2 Fonction de limite+∞enx0, à droite enx0, à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Fonction de limite-∞enx0, à droite enx0, à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Fonction de limite+∞en+∞(resp. en-∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Fonction de limite-∞en+∞(resp. en-∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6 Propriétés des limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Opérations sur les limites28

III Dérivation29

1 Dérivée en un point. Fonction dérivable29

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.1 Développement limité d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.2 Fonction différentiable- Nombre dérivé . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Dérivée d"une fonction réciproque30

3 Accroissements finis31

3.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Une application de l"inégalité des accroissements finis: demi-tangentes à une courbe . . . . . . 33

IV Equivalents et notations de Landau35

1 Fonctions équivalentes35

2 Fonctions négligeables37

3 Fonctions dominées38

V Fonctionsuv39

1 Présentation39

2 Fonctions puissances39

3 Fonctions exponentielles de base a39

4 Autres fonctions40

5 Exercices40

VI Etude de fonctions42

1 Plan d"étude d"une fonction42

2 Etude des branches infinies d"une courbe43

3 Exercices corrigés44

4 Exercices44

2

VII Intégration49

1 Intégration des fonctions en escalier sur un segment[a;b]49

1.1 Fonctions en escalier sur un segment[a;b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 50

1.2 Intégrale d"une fonction en escalier sur un segment[a;b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 51

1.2.2 Propriétés de l"intégrale d"une fonction en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Intégrale d"une fonction continue55

2.1 Intégrale d"une fonction continue et monotone sur[a;b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Fonctions en escalier minorantf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.2 Fonctions en escalier majorantf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1.3 Conclusion et généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Lien entre intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 60

2.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.1 Etude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 62

2.4.2 Formule d"intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5 Formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Intégrale généralisée : recherche d"un équivalent simple d"une série de Riemann 64

4 Exercices64

5 Les intégrales au baccalauréat74

VIII Lois de probabilités continues76

1 Densité de probabilité76

2 Loi de probabilité77

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 77

2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 78

2.3 Fonction de répartition d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4 Densité deαX+β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Espérance mathématique. Variance. Ecart-type80

3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 Variance. Ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Lois usuelles82

4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 85

4.3.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.2 Lois normalesN(m;σ2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

IX Mesures algébriques89

1 Définition89

2 Propriétés89

3

3 Barycentres90

3.1 Barycentre d"un système de deux points pondérés . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 90

3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 90

3.2 Barycentre d"un système de trois points pondérés . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 92

3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Barycentre d"un système denpoints pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.1 Fonction vectorielle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 93

3.4.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 93

3.5 Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 94

3.5.2 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 95

3.6 Ensembles de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.1 Etude def(M) =n?

i=1α iMAi2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.2 Etude deg(M) =MA

MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Théorème de Thalès96

4.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 96

5 Théorème de Thalès et projection97

5.1 Définition et propriétés d"une projection . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Autre version de l"énoncé du théorème de Thalès - réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Exercices d"application98

X Les matrices99

1 Généralités sur les matrices99

2 Opérations sur les matrices100

2.1 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 100

2.2 Multiplication d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.3 Addition de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4 Multiplication de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Exercices104

4 Matrices carrées inversibles105

4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2 Inverse d"une matrice carrée de taille 2 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

XI Les groupes107

1 Définitions et propriétés107

2 Sous-groupes108

3 Morphisme de groupes109

4 Noyau et image d"un morphisme de groupes112

4

5 Groupes et géométrie plane112

5.1 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2 Isométries planes

a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Exercices116

XII Suites récurrentes linéaires d"ordre 2118

1 Quelques propriétés118

2 Expression deunen fonction den118

3 Exemples119

XIII Les symbolesΣetΠ120

1 Définition des notations120

2 Propriétés120

3 Changement d"indice120

4 Applications121

5 Exercices121

XIV Exercices de dénombrement123

1 Ensembles finis.123

2 Applications d"un ensemble fini dans un autre. Combinaisons,Arrangements. 123

3 Dénombrement et probabilités.125

XV Espaces vectoriels127

1 Quelques ensembles importants127

2 Loi de composition interne- loi de composition externe127

2.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 127

2.2 Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 128

3 Espaces vectoriels128

3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 129

3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 129

4 Sous-espace vectoriel130

5 Familles libres-Familles liées131

5.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2 Familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 132

a. Pour un exposé plus complet sur les isométries du plan, on pourra étudier avec intérêt : www.capes-de-

maths.com/lecons/lecon42.pdf 5

6 Familles génératrices-Bases133

6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 133

7 Espaces vectoriels de dimension finie134

7.1 Caractérisations et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 134

8 Applications linéaires134

8.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.2 Image directe et réciproque d"un sous-espace vectoriel. Image et noyau d"une application linéaire135

8.3 Détermination d"une application linéaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.4 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

XVI Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées deR2et de R 3.144

1 Valeur propre d"un endomorphisme. Espace propre.144

2 Endomorphismes et matrices diagonalisables147

3 Applications de la diagonalisation148

3.1 Puissance d"une matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

XVII Pot-pourri150

6 Première partieLes nombres complexes1 Racinesnièmed"un nombre complexe non nul

1.1 Définition

ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.zdésigne un nombre complexe non nul de forme

exponentiellez=ρeiθ.

Théorème 1.1.L"équation d"inconnueZ:

Z n=z(1) possèdensolutions distinctes dansC. De plus, ces solutions sont les nombres complexes de module n⎷

ρet d"argumentsθn+2kπnoùkdécrit

l"intervalle d"entiers[[0;n-1]].

Démonstration .Le réel0ne peut être solution de cette équation carzest non nul. Sous couvert d"existence,

posonsreiαune solution de(1). Nous avons alors : (1)?rneinα=ρeiθ??rn=ρ nα≡θ[2π].

Ce qui donne :

(1)?? rn=ρ n+2kπnaveck?Z.

Or la suiteu:k?→θ

n+2kπnestn-périodique. Elle ne prend donc quenvaleurs distinctes obtenues en prenant kdans l"intervalle d"entiers[[0;n-1]].♦ Exercice 1.Montrer que l"on détermine ainsi lesnvaleurs distinctes de la suiteu. Définition 1.1.Les solutions de l"équation(1)sont appelées racinesnièmedez. ?RemarqueSin=2, on parle de racines carrées. Sin=3, on parle de racines cubiques. Exercice 2.Déterminer les racines cubiques de -8.

1.2 Représentation graphique

Théorème 1.2.Les racinesnièmedezforment un polygone régulier àncotés inscrit dans le cercle de

centreOet de rayonn⎷ 7

Casn=5

2π n( n⎷

ρeiθn)(

n⎷

ρei(θn+2πn))

n⎷

ρei(θn+4πn))

n⎷

ρei(θn+8πn))(

n⎷

ρei(θn+10πn))

?M0 ?O ?M 1 M 2 M 3? M4

1.3 Racinesnièmede l"unité

Définition 1.2.Les racinesnièmede l"unité sont les solutions de l"équation : Z n=1.

Ce sont donc les complexesωktels que :

?k?[[0;n-1]], ωk=eik2π n.

Proposition 1.1.:

1. ?k?[[0;n-1]],

ωk=ωn-k

2. On obtient lesnracinesnièmed"un nombre complexe non nul en multipliant l"une d"entre elle par

les racinesnièmede l"unité.

3.?k?[[0;n-1]],ωk=ωk1

4. n-1? k=0ω k=0.

5.nétant un nombre entier supérieur ou égal à 2 fixé, l"ensemble des racinesnièmede l"unité , noté

U nforme un groupe pour la multiplication. C"est-à-dire :

• 1?Un

•?(k,k?)?[[0;n-1]],?k???[[0;n-1]], ωkωk?=ωk??

•?ωk?Un,1

ωk?Un.

8 Exemple 1.1.: Les racines cubiques de l"unités sont les nombres1, j=e2iπ3,j2.

On a donc1+j+j2=1+j+

j=0.

2 Equations du second degré à coefficients complexes.

2.1 Etude d"un exemple

Définition 2.1.On appelle racine carrée du nombre complexez= -3+4itout nombre complexeδtel que

2= -3+4i.

On poseδ=x+iyavec(x;y)?R2.

1. Expliquer pourquoix2+y2=5

2. Résoudre le système???x

2-y2=-3

x

2+y2=5

xy=2 En déduire toutes les racines carrées de -3 +4i.

3. Déterminer la forme canonique du trinômez2+z+1+i. En déduire une factorisation en utilisant les

résultats de la question 2.

4. Résoudre dansCl"équationz2+z+1+i=0.

2.2 Généralisation

En admettant que tout nombre complexe possède une racine carrée , proposer et démontrer une méthode de

résolution des équations du second degré à coefficients complexes.

3 Linéarisation des polynômes trigonométriques.

3.1 Définition

On peut chercher à transformer un polynôme trigonométriqueP en sinxet cosxen une somme de termes

du type sinnxet cosnx(n?N). On dit alors qu"onlinéarisele polynôme P.

Exemple :Linéarisation de cos2x:

?x?R,cos2x=2cos2x-1??x?R,cos2x=1

2+12cos2x.

3.2 Méthode générale

Il est possible de linéariser n"importe quel polynôme trigonométrique en appliquant les formules d"Euler :

?x?R,cosx=eix+e-ix

2et?x?R,sinx=eix-e-ix2i.

La formule dubinôme de Newtonappliquée à(eix+e-ix)net à(eix-e-ix)npermet le développement de

l"expression ainsi obtenue . En ordonnant convenablement les termes du développement, l"expression obtenue

peut être écrite sous la forme d"unecombinaison linéaired"expressions de la forme(eikx+e-ikx)et

?x?R, eikx+e-ikx=2coskx et?x?R, eikx-e-ikx=2isinkx. 9

3.3 Exercice résoluLinéariser l"expression : cos2xsin4x.

?x?R,cos2xsin4x=1

22(eix+e-ix)2124i4(eix-e-ix)4

?x?R,cos2xsin4x=1

26(e2ix-e-2ix)2(eix-e-ix)2

?x?R,cos2xsin4x=1

26(e4ix+e-4ix-2)(e2ix+e-2ix-2)

?x?R,cos2xsin4x=1

26(e6ix-e2ix-2e4ix-e-2ix+e-6ix-2e-4ix+4)

?x?R,cos2xsin4x=1

26(e6ix+e-6ix-2(e4ix+e-4ix) - (e2ix+e-2ix) +4)

?x?R,cos2xsin4x=1

26(2cos6x-4cos4x-2cos2x+4)

?x?R,cos2xsin4x=1

32(cos6x-2cos4x-cos2x+2)

3.4 Exemple d"application

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10