[PDF] LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)



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LIMITES D’UNE FONCTION - Maths-cours

Limites d’une fonction 1 LIMITES D’UNE FONCTION 1 DÉFINITIONS DÉFINITION Limiteinfiniequandx tendversl’infini Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;+∞[ On dit que que f (x) tend vers +∞quand x tend vers +∞lorsque pour x suffisamment grand, f (x)est aussi grandque l’on veut Onécritalors que lim x→+∞ f (x



Limites d’une fonction : exercices - ACCESMAD

Limites d’une fonction : exercices Exercice 1 I – On considère la fonction f définie par 2 6 2 2 3 2 ( )



Limites de fonctions

fonction f Il s’agit dans ce cas d’une asymptote horizontale I 2 Limites en un réel I 2 1 Définition Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en a signifie que pour tout intervalle ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a On note alors lim a f(x)=+∞ On définie de façon analogue une limite -∞ en a



LIMITE DUNE FONCTION - AlloSchool

4- Soit la fonction ( ) = et ℎ( ) = − 1 a) Remarquer que et sont confondues sur ]0,1[ et que et ℎ sont confondues sur ]1,2[ b) déterminer les limites de et de ℎen 1 Définition1 : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme] , + [ où > 0 et H un réel



LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1)

La fonction représentée ci-dessous a pour limite +∞ lorsque ’ tend vers B En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite dès que x est suffisamment proche de B





Chapitre 8 : LIMITES dune FONCTION

Chapitre 8 : LIMITES d’une FONCTION 4) Théorèmes de comparaison 4 3) Théorème des gendarmes Théorème f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle de la



Chapitre 5 Limites de fonctions - maths-francefr

Chapitre 5 Limites de fonctions I Limites Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les limites de suites car pour une suite, on envisage uniquement le cas où l’entier n tend vers +∞ : lim n→+∞ u n Pour les fonctions, la variable x peut tendre vers +∞ ( lim x→+∞ f(x)) ou vers −∞ ( lim x



Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITES D UNE

LIMITES D’UNE FONCTION Les fonctions qu’on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d’intervalles comme R∗ ou [0,1[∪[2,3], voire i − π 2, π 2 h +πZ Dans ce chapitre, les lettres D,E qui nous serviront d’ensembles de définition désigneront cependant des parties quelconques de R

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1

LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 1/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM

Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini

1) Limite infinie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.

Si on prend un intervalle

quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.

Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle

, réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on

note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en +∞ si tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : lim

Remarques :

- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : 2 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales.

2) Limite finie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite en +∞,

si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on

note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher. 3 Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 2, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.

Définition : Si lim

=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontale

à la courbe de la fonction en +∞.

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite en +∞ si tout intervalle ouvert contenant

contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : lim Remarque : On a des définitions analogues en -∞.

3) Limites des fonctions de référence

Propriétés :

- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim =+∞, lim =+∞ (pour pair) - lim =+∞, lim =-∞ (pour impair) - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0

Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A

1) Définition

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,

si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

4

Exemple :

La fonction définie par

1

3-

+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.

On a par exemple :

2,99 1

3-2,99

+1=101

2,9999

1

3-2,9999

+1=10001

Les valeurs de la fonction deviennent aussi

grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.

La courbe de la fonction "se rapproche" de la

droite d'équation =3 sans jamais la toucher.

Si on prend un intervalle

quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment proche de 3.

Définition : Si : lim

=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .

Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en si tout intervalle

, réel, contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de

et on note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en si tout intervalle , réel,

contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de et on

note : lim 5

2) Limite à gauche, limite à droite :

Exemple :

Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou lim

On parle de limite à droite de 0

Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou lim

On parle de limite à gauche de 0.

Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . -∞-425+∞ 6

Correction

a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2)

Partie 3 : Opérations sur les limites

1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites

peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim "→0 lim "→0 lim "→0 F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. -∞-425+∞ +∞+∞ +∞5

56-∞

7 PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ∞ 0 lim "→0 lim "→0 F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ≠0 0 lim "→0 ′≠0

0 ∞ ∞

0 lim "→0 ∞ 0 ∞

F.I. F.I.

On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opération

Vidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs

Déterminer les limites suivantes : a)lim

-5

3+

b) lim

1-2

-3

Correction

a) lim -5

3+

L lim -5=-∞ lim =+∞lim

3+

Comme limite d'un produit : lim

-5

3+

b) lim

1-2

-3 lim

1-2=1-2×3=-5

lim -3=0

Une limite de la forme "

» est égale à " ∞ ».

Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "

» est égale à " +∞ ».

D'où, comme limite d'un quotient : lim

1-2

-3 8

2) Cas des formes indéterminée

Comme pour les suites, on rappelle que :

Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1)

Vidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk

Calculer : lim

-3 +2 -6+1

Correction

lim -3 +2 -6+1=? • L lim -3 lim

2

On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1=quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47