[PDF] LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)



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Limites de fonctions

3/10 I Limites de fonctions I 1 Limites en l’infini I 1 1 Définitions Soit A,B et L des réels et f une fonction définie sur ℝ • On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ ssi tout intervalle ]A;+∞[ contient



Limites de fonctions

Les valeurs de la fonction ne permettent pas d'obtenir de limite particulière A Exercice : Approche intuitive [Solution n°1 p 29] Dans cette activité, nous allons étudier plusieurs comportements en l'infini Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction du comportement de la fonction en l'infini 1 - 2 - 9



Limites de fonctions - lyceedadultesfr

4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Exemples : 1) Limite en −∞ de la fonction précédente : f(x)=x2 +x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme de f(x) f(x)=x2 +x =x2



Chapitre 5 Limites de fonctions - maths-francefr

Chapitre 5 Limites de fonctions I Limites Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les limites de suites car pour une suite, on envisage uniquement le cas où l’entier n tend vers +∞ : lim n→+∞ u n Pour les fonctions, la variable x peut tendre vers +∞ ( lim x→+∞ f(x)) ou vers −∞ ( lim x



T S MATHEMATIQUES- LIMITES DE FONCTIONS - 1/4

Déterminez lorsque c'est possible, les limites de f g en −∞ , en ∞ , en 0 c)La fonction fg est définie sur ℝ * Déterminer si possible les limites de fg en - ∞ , en + ∞ et en 0 EXERCICE 2: Les tableaux de variation ci-dessous sont ceux des fonctions u et v Etudier la limite de la composée v°u:



Limites de fonctions et compléments à la dérivation

A3 Limites de fonctions-Dérivation Cours II 3 Limite à gauche, limite à droite Étudions la fonction fdé nie sur R par f(x) = 1 x lorsque xprend des valeurs de plus en plus proches de 0



Terminale S - Limites de fonctions - Exercices

Limites de fonctions – Comportement asymptotique - Exercices Notion de limite et asymptotes Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, on donne la représentation graphique d’une fonction f ainsi que les éventuelles asymptotes En déduire : - le domaine de définition de f - les limites aux bornes de l’ensemble de définition Exercice 2



LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

=+∞, comme produit de n limites infinies Soit : lim 3→56 O+ +Q=+∞ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances Sa croissance est plus rapide Exemple : Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction + +e dans différentes fenêtres graphiques



Fonctions Trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration

Limites et intégration I - Limites Rappel : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite en +∞ et en –∞ Les théorèmes de comparaison et le théorème « des gendarmes » doivent être utilisés dans de nombreux cas On rappelle que pour tout x, −1⩽cosx⩽1 et −1⩽sinx⩽1 Limite de référence : lim x→0 sin(x) x

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LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM

Partie 1 : Limite d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k

Soit la fonction définie sur !

;+∞! par : 2- 1 Calculer la limite de la fonction en +∞.

Correction

On a : lim

1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim 2- 1 2 En effet, si →+∞, on a : =2- 1 →2 et donc : lim 2.

Partie 2 : Limites et comparaisons

1) Théorèmes de comparaison

Théorèmes : Soit et deux fonctions définies sur un intervalle = - Si pour tout de , on a : 9 lim alors lim =+∞ (Fig.1) - Si pour tout de , on a 9 lim alors lim =-∞ (Fig.2) Remarque : On obtient des théorèmes analogues en -∞.

Figure 1

Par abus de langage, on

pourrait dire que la fonction pousse la fonction vers +∞ pour des valeurs de suffisamment grandes.

Figure 2

2

Démonstration dans le cas de la figure 1 :

lim =+∞ donc tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand, soit : Donc dès que est suffisamment grand, on a :

Et donc lim

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit , et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle =

Si pour tout de , on a : >

lim lim alors lim Remarque : On obtient un théorème analogue en -∞.

Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions et ℎ (les gendarmes) se resserrent

autour de la fonction pour des valeurs de suffisamment grandes pour la faire tendre vers

la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement

Vidéo https://youtu.be/OAtkpYMdu7Y

Vidéo https://youtu.be/Eo1jvPphja0

Calculer : 1) lim

+sin 2) lim cos 2 +1 3

Correction

1) • lim

sin n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

•lim -1=+∞ donc d'après le théorème de comparaison : lim +sin=+∞

2) • lim

cos n'existe pas. Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

Et donc :

+1 cos() +1 +1 +1 F G 1 lim 1 =0 donc lim 1

Et donc : lim

1 1 =0, comme limite d'un quotient.

On a donc :lim

2 +1 =lim 2 +1 =0 D'après le théorème des gendarmes, on a : lim cos() 2 +1 =0.

Partie 3 : Cas de la fonction exponentielle

1) Limites aux bornes

Propriétés :

lim =+∞ et lim =0

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s

- La suite est une suite géométrique de raison >1. 4

Donc, on a : lim

Si on prend un réel quelconque (aussi grand que l'on veut), il existe un rang

à partir

duquel tous les termes de la suite dépassent , soit : La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout

Donc, pour tout >

, on a :

Ainsi, tout intervalle

contient toutes les valeurs de , dès que est suffisamment grand.

Soit : lim

-lim =lim =lim , en posant =-

Or, lim

=+∞, donc : lim =0, comme limite d'un quotient.

Soit : lim

=0. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels

Vidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc

Calculer les limites suivantes :

a) lim b) lim 1

Correction

a) lim -3=-∞ • Donc, comme limite d'une fonction composée : lim =0 En effet, si →+∞, on a : =-3→-∞ et donc : lim =0. • lim • Comme limite d'une somme : lim b) lim 1 =0, donc : lim 1- 1 =1 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim

2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances

Exemple :

Observons la fonction exponentielle et la fonction puissance ⟼ dans différentes fenêtres graphiques. 5 Dans cette première fenêtre, la fonction puissance semble l'emporter devant la fonction exponentielle. Mais on constate que pour suffisamment grand, la fonction exponentielle dépasse la fonction puissance ⟼ Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim =+∞ et pour tout entier , lim b) lim =0 et pour tout entier , lim =0

Démonstration au programme du a :

Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0

- On pose

On a :

6 On calcule la dérivée de la dérivée -1.

Et on note

-1

Pour tout strictement positif,

-1>0.

On dresse alors le tableau de variations :

On en déduit que pour tout strictement positif, >0 et donc

Soit encore :

Comme lim

2 =+∞, on en déduit par comparaison de limites que lim - Dans le cas général, on a :

F

G =N O =N 1 O

Or : lim

=+∞ car on a vu que lim

Donc : lim

=+∞, car est positif.

Et donc lim

Q R =+∞, comme produit de limites infinies.

Soit : lim

Méthode : Calculer une limite par croissance comparée

Vidéo https://youtu.be/GoLYLTZFaz0

Calculer la limite suivante : lim

2

Correction

Le dénominateur comprend une forme indéterminée de type "∞-∞".

Levons l'indétermination :

1+ 1- 1+ 1- 7 Par croissance comparée : lim =+∞ et de même : lim 2

Donc, comme inverse de limites : lim

=lim 2 =0, donc lim 1+ =lim 1- 2 =1. Donc, lim 1+ 1- 2 1 1 =1 et donc lim 2 =1.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47