Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

Fonctions Trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration I - Limites Rappel : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite en +∞ et en –∞ Les théorèmes de comparaison et le théorème « des gendarmes » doivent être utilisés dans de nombreux cas On rappelle que pour tout x, −1⩽cosx⩽1 et −1⩽sinx⩽1

Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I 2M renf – JtJ 2019 Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres Si g et h ont la même limite lorsque x

Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

Limites et dérivées de fonctions trigonométriques Révision fonctions trigonométriques Question 1 Localiser les points correspondants aux angles suivants sur le cercle trigonométrique a) ˇ 6 b) 5ˇ 6 c) 4ˇ 3 d) ˇ 4 e) 3ˇ 4 f) 5ˇ 2 g) 7ˇ 4 h) 6ˇ 5 Question 2 Évaluer et simpliﬁer les expressions suivantes a)sin ˇ 2 b)cos 7ˇ 6 c

Limites usuelles des fonctions trigonométriques pdf

Limites usuelles des fonctions trigonométriques pdf Lorsque vous obtenez 0/0 lors du calcul de la limite de fonction de trigonométrie (sin x, cos x ou tan x), vous devez utiliser les deux formules ci-dessous pour augmenter l’inghaminealité (voir tableau récapitulatif des différentes méthodes de résolution des cas non spécifiés)

I Les fonctions trigonométriques de TS

IV Limites Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini Pour étudier les limites au voisinage de l'infini de fonctions trigonométriques, on utilise les théorèmes de comparaisons / théorème des gendarmes Exercices : Déterminer les limites suivantes : a) lim x→0 x

MPSI 12 septembre 2008 - Free

Propri et e 1 Soient f et g deux fonctions k-lipschitziennes sur I, alors f+g est aussi k-lipschitzienne sur I 1 2 Limite et continuit e 1 2 1 Au voisinage d’un r eel a Soit a2R D e nition 4 La propri et e P est vraie au voisinage de a si elle est vraie sur l’intersection de I et d’unintervalle ouvert de centre a :

Limites et continuité de fonctions

2 Limites d'une fonction Limite en l'in ni, limite en un réel Limite à gauche, limite à droite Lien entre fonctions et suites Opérations sur les limites Branches in nies Ordre et limites 3 Continuité d'une fonction Continuité en un point Prolongement par continuité Opérations Continuité sur un intervalle 4 Fonctions trigonométriques

Fonctions usuelles – Limites

2) Propriétés des limites • Lemme : Soit f une fonction de I dans Y et a ∈ Y – Si la limite de f(x) quand x tend vers a existe alors elle est unique – Si pour tout x de I, f(x) est positif ou nul et si la limite de f(x) quand x tend vers a existe alors la limite de f(x) est positive ou nulle

LIMITES – EXERCICES CORRIGES

Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique connaissant les asymptotes Exercice n°20 Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la représentation graphique C de l’une d’entre elles Retrouver celle qui est représentée, en justifiant (qu'est-ce qui permet d'éliminer les 2 autres ?) 1er cas 1 ()( ) 1 12 fx xx

Révision fonctions trigonométriques

Question 1Localiser les points correspondants aux angles suivants sur un cercle. a) 6 b)56 c) 86
d)4 e) 34
f)74

Question 2

Évaluer et simplifier les expressions suivantes. a) sin 2 b) cos 76
c) tan 54
d) sec 53
e) csc 34
f)cot 23
g) sin 83
h) cos 52
i) tan 34
j) cot 116
k)sec 43
l) csc 4 m) sin 3 +4 n) cos 12

Question 3

a) Démontrer l"identitécos(+)=cos()à l"aide du cercle tri- gonométrique. b) Démontrer la même identité à l"aide des identités trigonomé- triques pour les sommes d"angles.

Question 4

Démontrer les identités trigonométriques suivantes. a) sin( x)=sin(x) b) cos( x)=cos(x) c) sin( x)=cos x+2 d) cos( x)=sin x2 e)sin

2()=1cos(2)2

f) sin(3 )=3sin()4sin3() g) sin

4()cos4()=cos(2)

h) tan 2 +sin()1+cos()Limites

Question 5

Évaluer les limites suivantes

a) lim x!sin0BBBB@x2 1 CCCCA b) lim x!=3cos0BBBB@x2 1 CCCCA c) lim x!1sin0BBBB@3x2 1 CCCCA d) lim x!+tan0BBBB@x2 1 CCCCA e) lim x!tan0BBBB@x2 1 CCCCA f) lim x!(2 )+1cos(x) g) lim x!0+1tan(x)h)lim x!1tan(x) i) lim x!sec(x) j) lim x!(2 )sec(x) k) lim x!8 tan(2x) l) lim x!3 xsin(x) m) lim x!0sin(2x)tan(4x)2x2 n) lim x!0cos(x)x1 o) lim x!0sec(x)tan(x)x

2csc(x)

Dérivées

Question 6

Démontrer les formules de dérivation suivantes à l"aide des formules de dérivation des fonctions sinus et cosinus, des formules de dériva- tions pour les produits, sommes et quotients et des définitions des fonctions trigonométrique impliquées. (Autrement dit : dériver!) a) cot(x)0=csc2(x) b) sec(x)0=sec(x)tan(x)c) csc (x)0=csc(x)cot(x)

Question 7

Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a)y=sin(5x) b)y=cos(3x) c)y=tanx2 d)y=secx2 e)y=cosx2 3 f)y=x3sin(x) g)y=cos(3x)3cos(x) h)y=sec2(x) i)y=cot(3x)csc(3x) j)y=tan x2x+1! k)y=esin(3x)

Question 8

Trouver

dydx

à l"aide de la dérivation implicite.

a)xsin(x)+ycos(y)=0 b) sin

4(xy)+xy=0c)sec y3+y2=3x4

d)xtaney+lny=3 1

Question 9

Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a)y=cosex b)y=sin3(x)+3sin(x) c)y=ln(sec(x)+tan(x)) d)y=1+csc(x2)1cot(x2)e)y=costan(x2) f)y=ex3sec2(2x) g)y=etan(x)sin(x)cos(x) h)y=cot x1x4!

Question 10

Démontrer que

(cos(x))0=sin(x) a) En utilisant la définition de la déri vée. b)

En utilisant l"identité cos( x)=q1sin2(x).

c)En utilisant les identitéssin(x)=cos2 xetcos(x)= sin2 x.

Applications

Question 11

Trouver l"équation de la droite tangente à la courbe def(x)= ln(sin(x))au point4 ;f4

Question 12

Étudier la croissance et la concavité des fonctions suivantes et tracer leur graphique. a)f(x)=x2 +sin(x), oùx2[0;2] b)f(x)=sinx+cos(x), oùx2[0;2]

Question 13

Trouver les extremums absolus des fonctions données sur l"inter- valle [0;2]. a)f(x)=cos2(2x)b) f(x)=5sin(x)+12cos(x)

Question 14

Un polygone régulier àncôtés est une figure formée dencôtés et angles congrus (carré, pentagone régulier, hexagone régulier, etc.). Plus le nombre de côtés augmente, plus le polygone ressemble à un cercle. On peut dire qu"un cercle est la limite d"un polygone régulier lorsque le nombrende côtés tend vers l"infini. Le rayon de ce cercle correspondra alors à l"apothèmerillustrée dans la figure.r c a) Trouver l"aire d"un polygone régulier àncôtés en fonction der et dec. b) Exprimercen fonction den(vous aurez besoin de trigonométrie ici).c) Utiliser les deux résultats pour trouver une formule générale pour l"aire d"un polygone àncôtés en fonction uniquement den et der. d) En déduire la formule de l"aire d"un cercle (Remarquons quer est une constante dans le processus). Indice : il faut adapter le résultatlimx!0sin(x)x=1à la situation.Vous venez de démontrer la formule de l"aire du cercle! Cette formule a été démontrée pour la première fois par Archimède (287 av. J.C. - 212 av. J.C.), mais sans utiliser le concept moderne de limite.

Question 15

Déterminer quel est le rectangle de périmètre maximum pouvant

être inscrit dans le cercle unité.

Question 16

On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale de v0m/s. Si on néglige la résistance de l"air, la portée (la distance horizontale parcourue par le projectile) est donnée par la fonction

R()=v20sin(2)g

oùg=9;8m/s2etest l"angle d"inclinaison du canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une portée maximale?

Question 17

Les côtés congrus d"un triangle isocèle mesurent 5cm. Trouver l"angleentre ces deux côtés qui maximise l"aire du triangle.

Question 18

On fabrique une auge à partir d"une feuille de métal de 120cm de largeur. De chaque côté, on replie une bande de 40cm selon un angle. Quel doit être cet angle pour que l"auge puisse contenir un volume maximal?Question 19 On forme un cône en supprimant un secteur d"un disque de rayon égalr. Trouver la valeur de l"anglepour lequel le volume du cône obtenu est maximal.Question 20 Trouver les extremums locaux des fonctions suivantes. a)y=ln22x2x.b) y=sin2x+2cosx. 2

Solutions

Question 1P

6 P 56
P 86
P 4 P 34
P 74

Question 2

a) 1 b)p3=2 c) 1 d) 2 e)p2 f) 1 =p3 g)p3 2 h) 0 i)1j) p3 k)p2 l)2 m) sin 3 cos4+ cos3 sin4=p2+p6 4 ou utiliser le fait que=3+ =4=7=12 n)q2+p3 2

Question 3

a)P()P(+)cos()cos(+)= cos()b) cos(+)=cos()cos()sin()sin() =cos()(1)sin()(0) =cos()

Question 4

a)P()P()sin()sin()= sin()b)V oirformulaire trigo. c)

V oirformulaire trigo.

Utiliser l"identité pour cosinus d"une

somme d"angles et évaluer cos(=2).e)

Utilisez l"identité donnant le cosinus

d"une somme de deux angles. f)

Utilisez l"identité donnant le sinus

d"une somme de deux angles à deux reprises. g)

Laissé à l"étudiant e.

Question 5

a) 1 b)p3 2 c)@ d)1 e)+1 f)+1 g)+1h)1 i)1 j)1 k)1 l) p36 m)4 n)1 o) 1

Question 6

a) cot(x)0= (cos(x)sin(x) 0 (sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)sin 2(x) 1sin 2(x) =csc2(x) b) sec(x)0=(cos(x))10 =cos(x)2(sin(x)) sin(x)cos(x)1cos(x) =sec(x)tan(x) c) csc(x)0=(sin(x))10 =sin(x)2(cos(x)) =cos(x)sin(x)1sin(x) =csc(x)cot(x)

Question 7

a)y0=5cos(5x) b)y0=3sin(3x) c)y=2xsec2x2 d)y=2xsecx2tanx2 e)y=16 sinx2 f) dydx =3x2sin(x)+x3cos(x) g) dydx =3sin(x)3sin(3x)h) dydx =2sec2(x)tan(x) i) dydx =3csc(3x)12csc2(3x) j) dydx x2+2xsec2 x2x+1(x+1)2 k) dydx =3esin(3x)cos(3x)

Question 8

a) dydx =sin(x)+xcos(x)cos(y)ysin(y) b) dydx =yx c) dydx =12x33y2secy3tany3+2y d) dydx =ytan(ey)xye ysec2(ey)+1

Question 9

a) dydx =exsinex b) dydx =cosx3sin2(x)+3sin(x)ln(3) c) dydx =sec(x) d) dydx =2xcsc(x2)1+cot(x2)+csc(x2)

1cot(x2)2

e) dydx =2xsec2(x2)sintan(x2) f) dydx =ex3sec2(2x)3x2+4tan(2x) g) dydx =etan(x)sec2(x)cos(2x) h) dydx =3x4csc2 x1x4!

Question 10

S"inspirer de la preuve de(sin(x))0=

cos(x); vous pouvez utiliser les deux lemmes démontrés en classe sans les redémontrer. b)

Déri verdirectement.

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

Révision fonctions trigonométriques

Question 2

Question 3

Question 4

2()=1cos(2)2

4()cos4()=cos(2)

Question 5

Évaluer les limites suivantes

2csc(x)

Dérivées

Question 6

Question 7

Question 8

Trouver

à l"aide de la dérivation implicite.

4(xy)+xy=0c)sec y3+y2=3x4

Question 9

Question 10

Démontrer que

En utilisant l"identité cos( x)=q1sin2(x).

Applications

Question 11

Question 12

Question 13

Question 14

Question 15

être inscrit dans le cercle unité.

Question 16

R()=v20sin(2)g

Question 17

Question 18

Solutions

Question 1P

Question 2

Question 3

Question 4

V oirformulaire trigo.

Utiliser l"identité pour cosinus d"une

Utilisez l"identité donnant le cosinus

Utilisez l"identité donnant le sinus

Laissé à l"étudiant e.

Laissé à l"étudiant e.

Question 5

Question 6

Question 7

Question 8

Question 9

1cot(x2)2

Question 10

S"inspirer de la preuve de(sin(x))0=

Déri verdirectement.