Chapitre 4 - Limites et Asymptotes GYMNASE DE BURIER 2MSt

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes Sarah Degallier Rochat Ref erences H Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002 Notes du cours donne par M Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier 1 Valeurs interdites et asymptotes verticales Exemple 1 1 Etudier la fonction f (x ) = x 3 2 x 2 x 2 La fonction est rationnelle et ED (f ) = R nf 2 g Calculons les zeros

Limites et comportement asymptotique TS

Limites et comportement asymptotique T S Introduction : Notion intuitive de limites (finies et infinies, en un point et à l’infini) sur des exemples Étudier la limite de f (x) [qui se lit comme toujours sur l’axe des ordonnées] lorsque x se rapproche

Lycée Secondaire Ali Zouaoui Série

Limites et asymptotes Soit f une fonction Limite infinie en l’infini : Lorsque fx A peut être rendu supérieur à tout réel positif pour x suffisamment grand , on dit que tend vers f lorsque tend vers On écrit lim x fx f f On définit de manière similaire : lim A x fx f f ( devient inférieur à ) lim x fx f f

Etude d’asymptotes et de branches infinies

Etude d’asymptotes et de branches infinies L´étude des branches infinies a pour objectif de comprendre en d´détails le comportement de la courbe de la fonction La première chose à faire est de calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction :

1ère S Cours sur limites de fonctions 4 ; asymptotes obliques

1ère S Limites de fonctions (4) : asymptotes obliques, études de fonctions On a vu dans un chapitre précédent sur les limites la notion d’asymptote qui permettait de relier les limites et les graphiques On a d’abord donné une définition générale (« définition poétique ») puis on s’est ensuite intéressé à deux types

Limites de fonctions

appelées asymptotes 1 Donner les équations de chacune de ces droites 2 En faisant le lien entre ces équations et les limites aux bornes de l’ensemble de définition, proposer un outil mathématique permettant de prédire ou de justifier l’existence de ces droites asymptotes Cours de Term_Spé Mathématiques_Analyse2 : Limites de fonctions

E Asymptotes obliques

LGL Cours de Mathématiques 2016-17 _____ _____ AB Beran - 2016-CoursSectionsToutes-5 doc Limites et asymptotes - 37 - Exercices résolus Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez: 1 Domaine de définition 2 Limites et asymptotes 3 Position de la courbe par rapport aux asymptotes 4 Intersection de la courbe avec les axes 43 f x x x

FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama

Notion de fonction – Signe et variations d’une fontion Plan du cours 1 Fonctions de référence 2 Fonctions dérivées 3 Tableau de variation 4 Limites et asymptotes 1 Fonctions de

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

e x= +∞ et lim x→−∞ e = 0 • 9 - Conditionnement et indépendance – Si Aet B sont deux évènements indépendants alors Aet Baussi • 10 - Intégration – Si fest une fonction continue, positive et croissante sur [a;b] alors la fonction F: x→ Zx a fest une primitive de f

Cours sur les limites de fonctions et la continuité

Limite de fonctions et continuité Cours sur les limites de fonctions et la continuité M HARCHY TS2-Lycée Agora-2015/2016 1 Limite d’une fonction 1 1 Limite à l’inﬁni 1 1 1 Limite ﬁnie d’une fonction à l’inﬁni Déﬁnition 1 Soit fune fonction déﬁnie sur R ou sur un intervalle de la forme [a; +1[ Soit ‘un réel

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

Notes du cours donn´e par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier1. Valeurs interdites et asymptotes verticales

Exemple 1.1Etudier la fonctionf(x) =x3-2x2x-2.La fonction est rationnelle etED(f) =R\{2}. Calculons les z´eros

de cette fonction : x

3-2x2= 0?x2(x-2) = 0

Les solutions de cette ´equation sont 0 et 2, mais 2 n"est pas dans l"ensemble de d´efinition, le seul z´ero est donc 0. On fait le tableau de signes :x x

2x-2x-2f(x)-∞02+∞+0++

+0++GYMNASE DE BURIER2MSt1 xf(x) -39 -24 -11 00 11

2ind´efini

39
xy

1-11xf(x)

1.52.25

1.93.61 1.993.9601

2.0014.004001

2.56.25En r´esum´e, plus on s"approche de 2, plus la

fonction s"approche de 4.On le notera lim x→2x

3-2x2x-2= 4

On dit que la fonction admet un

trou en x= 2.Par calcul, on a lim x→2x

3-2x2x-2=

23-2·222-2= "

00 ind´etermin´e=lim x→2x

2(x-2)x-2= lim

x→2x2= 4GYMNASE DE BURIER2MSt2 La limite `a droite de la valeur interdite n"est pas toujours la mˆeme que celle `a gauche. On distingue donc les deux limites :1.limite ` agauche : lim x→2-x

3-2x2x-2= 42.limite ` adroite :

lim x→2+x

3-2x2x-2= 4Si les limites `a gauche et `a droite sont identiques, on note

simplementlim x→2x

3-2x2x-2= 4Exercice 1.1Calculer les limites suivantes :

1.limx→3(x2-5x+ 2)=3

2-5·3+ 2 =-42.lim

x→-1x2-1x+ 1=(-1)2-1-1+1= " 00 "=lim x→-1(x-1)(x+ 1)x+ 1= lim x→-1(x-1) = (-1-1) =-2?Trou en(-1,-2)3.lim x→-3x2+x-6x+ 3=(-3)2+ (-3)-6-3+3= " 00 "=lim x→-3(x-2)(x+ 3)x+ 3= lim x→-3(x-2) = (-3-2) =-5?Trou en(-3,-5)GYMNASE DE BURIER2MSt3

Exemple 1.2Etudier la fonctionf(x) =xx-3.1.ED(f) =R\{3}2.Z´eros :x= 0?Z(0;0)3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0) = 0?H(0;0)4.Etude de signesx

x x-3f(x)-∞03+∞-0++ +0-+ xy 11 ↓↑Asymptote enx= 3Etudier le comportement de la fonctionf(x) =xx-3autour de 3.? f(2) =-2? f(2.5) =-5? f(2.9) =-29? f(2.99) =-299? f(4) =4 f(3.5) =7 f(3.1) =31 f(3.01) =301 lim x→3-x x-3=- ∞

Limite `a gauchelim

x→3+x x-3=∞

Limite `a droite

Par calcul :

lim x→3-x x-3= " 30
-"=-∞lim x→3+x x-3= " 30
+"=∞Pour trouver le signe de la limite, on peut s"aider du tableau de signes.On dit quef(x)admet uneasymptote verticale en x= 3.GYMNASE DE BURIER2MSt4 Synth`ese 1.1Lorsque l"on ´etudie le comportement d"une fonction

rationnelle enses valeurs interdites, deux cas sont possibles :1.le trou : la limite tend vers un nomb re.

2. l" asymptote : la limite tend vers ±∞.Graphiquement, xy

11Trou en (2,1)

11Asymptote enx= 3Exercice 1.2D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction

f(x) =x+ 4(x+ 4)(x-4). Calculer sa limite en-4+,0+et4+.

Indiquer les asymptotes et les trous le cas ´ech´eant.On observe queED(f) =R\{-4,4}.Calculons la limite en-4+:

lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 00 "= lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= lim x→-4+1(x-4)=-18

On a un trou en

-4;-18 .Calculons la limite en0+: lim x→0+x+ 4(x+ 4)(x-4)=

4-16=-14

C"est un point normal du graphe (0n"est pasune valeur interdite).Calculons la limite en4+: lim x→4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 80
+"=∞On a une asymptote verticale d"´equationx= 4.GYMNASE DE BURIER2MSt5 Exercice 1.3Indiquer sur le graphe suivant les trous et les asymptotes de la fonction repr´esent´ee. En d´eduire une expression possible de la fonction.xy

11Trou(-1,98

)Trou(4,67 )Asymptotex=-3Asymptotex= 3Les trous et les asymptotes apparaissent aux valeurs in- terdites :

ED(f) =R\{-3,-1,3,4}De plus,-1et4´etant

des trous, ce sont aussi des

z´eros du num´erateur.On a doncf(x) =(x+ 1)(x-4)(x+ 1)(x-4)(x-3)(x+ 3)Exemple 1.3Etudier la fonctionf(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2et esquisser

son graphe.On commence par factoriser la fonction : f(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2=

(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)1.ED(f)=R\{-2;-1}2.Z´eros :2?Z(2;0)(-2/?ED(f))3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0)=

42= 2?H(0;2)4.Etude de signesx

2-x2 +xx+ 2x+ 1f(x)-∞-2-12+∞+++0-

-0+++ -0+++ --0++ --+0-GYMNASE DE BURIER2MSt6 V´erifions le comportement de la fonction en ses valeurs interdites 1.lim x→-24-x2x

2+ 3x+ 2=

4-44-6 + 2= "

00 "=lim x→-2(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)=lim x→-22-xx+1= (2-(-2))((-2) + 1)=-4?Trou en (-2;-4)2.lim x→-14-x2x

2+ 3x+ 2=lim

x→-12-xx+ 1= " 30
"Limite `a gauche :lim x→-1-2-xx+ 1=

2-(-1-)-1-+1=

3+0 -=-∞ ↓Limite `a droite :lim x→-1+2-xx+ 1=

2-(-1+)-1++1=

3-0 += +∞ ↑?Asymptote verticale d"´equationx=-1xy 1-11

-1Z´ero(2;0)Ordonn´ee `a l"origine(0;2)Trou(-2;-4)↓↑AV d"´equationx=-1GYMNASE DE BURIER2MSt7

2. Comportement `a l"infini et asymptotes horizontales

Exemple 2.1Calculer la limite suivante

lim x→∞x

3+x2+ 2x-3 =lim

x→∞x 3? 1+1x +2x 2-3x

3?Remarque 1.1A l"infini, une fonction polynomiale se comporte

comme son terme de plus haut degr ´e .Exercice 2.1Calculer les limites suivantes 1.lim x→∞2x3-4x2-25x3-3x2+x=lim x→∞2x 35x
3=lim x→∞2 5= 25

Asymptote horizontale (AH) d"´equationy=25

2.lim x→∞4x4+ 77x5-12=lim x→∞4x 47x
5=lim x→∞4

7x=0AH d"´equationy= 03.lim

x→-∞x

5-3x+ 112x2+ 2=lim

x→-∞x 512x
2=lim x→-∞x

312=-∞Pas d"asymptote horizontale

Remarque 2.2Un fonction rationnellef(x) =N(x)D(x)a une asymptote horizontale en y=bsilim x→∞f(x) =b,b?R.Cette limite est la mˆeme `a droite et `a gauche.GYMNASE DE BURIER2MSt8 Exercice 2.1V´erifier si la fonction de l"Exercice 1.3 poss`ede une asymptote horizontale.On calcule la limitelim x→∞4-x2x

2+ 3x+ 2=lim

x→∞-x2x

2=-1La fonction poss`ede une asymptote horizontale eny=-1.xy

1-11 -1 ←y=-1On ´etudie la position relative de

la courbe :1.f(1000) =-0.997>-1?A droite en dessus2.f(-1000) =-1.003<-1?A gauche en dessous3. Comportement `a l"infini et asymptotes obliques

Soitf(x) =N(x)D(x)une fonction rationnelle. Dans le cas o`u la fonction n"a pasd"asymptote horizontale d"un cˆot´e ou d"un autre, elle peut avoir une asymptote obl ique(A O) .C"est le cas lorsque le degr´e deN(x)est ´egal audegr´e deD(x)+ 1.On trouve les

asymptotes oblique en effectuant la division euclidienne.Exemple 3.1Les fonctions suivantes admettent-elles une asymptote

oblique?

1.f(x) =x4+ 5x

2-1Degr´eN(x) =4 ?=2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→pas d"AO.

2.f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1Degr´eN(x) =3 = 2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→AO!GYMNASE DE BURIER2MSt9

Exemple 3.2Calculer l"asymptote oblique qu"admet la fonction f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1On fait la division euclidienne :

3+2x2+1x

2+ 1-x3-xx+ 2

02x2-x+10-2x2-200-x-1On peut donc ´ecrire

x3+ 2x2+ 1x

2+ 1=x+ 2 +-x-1x

2+ 1Il y a donc une asymptote oblique d"´equationy=x+ 2.4. Etudes de fonction avec asymptotes

R`egle des degr´esSoitf(x) =N(x)D(x)une fonction rationnelle. Soit de plus deg(N(x)) le degr´e du num´erateur et deg(D(x)) le degr´e du d´enominateur. Alors 1. Si deg( N(x))N(x)D(x). 4. Si deg( N(x))>deg(D(x))+1, la fonction n"admetpas d"asymptote .GYMNASE DE BURIER2MSt10

Plan d"´etude d"une fonction

a) ED( f), z´eros, ordonn´ee `a l"origine et signesb)Recherche des asymptotes i) Asym ptotesverticales ou trous aux valeurs interdites ii)

Asymptote ho rizontalelo rsquex→ ∞iii)Asymptote oblique lo rsquex→ ∞c)Hachurage des zones exclues de la fonction

Placement des asymptotes

e) Placements de p ointstrouv ´es(z ´eros,o rdonn´ee` al" origine) f)

Esquisse de la fonction

Remarque 4.1Contrairement aux asymptotes verticales qui sont infranchissables ", la courbe de la fonction p euttraverser les asymptotes horizontales et obliques .Exemple 4.1Etudier la fonctionf(x) =x3-1x

2-2x-3et esquisser

son graphe.On commence par factoriser la fonction : f(x) =x3-1x

2-2x-3=

(x-1)Δ=-3<0????

(x2+x+ 1)(x-3)(x+ 1)1.ED(f) =R\{-1;3}2.Z´ero :S={1}(x2+x+ 1pas plus factorisable)3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0) =-1-3=13

.4.Tableau de signes :x x-1x

2+x+ 1x-3x+ 1f(x)-∞-113+∞--0++

-+0-+GYMNASE DE BURIER2MSt11 On v´erifie s"il y a des asymptotes verticales aux valeurs interdites : 1.lim x→3-x 3-1x

2-2x-3= "

260
-"=-∞?AV enx= 3`a gauche↓2.lim x→3+x 3-1x

2-2x-3= "

260
+"=∞?AV enx= 3`a droite↑3.lim x→-1-x 3-1x

2-2x-3= "

-20 +"=-∞?AV enx=-1`a gauche↓4.lim x→-1+x 3-1x

2-2x-3= "

-20

-"=∞?AV enx=-1`a droite↑Par la r`egle des degr´es, il n"y a pas d"asymptote horizontale, mais il

y a une asymptote oblique ( deg(N(x))=deg(D(x))+1) :x 3-1x

2-2x-3-x3+ 2x2+ 3xx+ 2

02x2+3x-10-2x2+4x+600 7x+5AO d"´equationy=x+ 2Position relative de la courbe :

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy
11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13
)AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Chapitre 4 - Limites et Asymptotes GYMNASE DE BURIER 2MSt

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

3-2x2= 0?x2(x-2) = 0

2x-2x-2f(x)-∞02+∞+0++

2ind´efini

1-11xf(x)

1.52.25

1.93.61

1.993.9601

2.0014.004001

2.56.25En r´esum´e, plus on s"approche de 2, plus la

3-2x2x-2= 4

On dit que la fonction admet un

3-2x2x-2=

23-2·222-2= "

2(x-2)x-2= lim

3-2x2x-2= 42.limite ` adroite :

3-2x2x-2= 4Si les limites `a gauche et `a droite sont identiques, on note

3-2x2x-2= 4Exercice 1.1Calculer les limites suivantes :

1.limx→3(x2-5x+ 2)=3

2-5·3+ 2 =-42.lim

Limite `a gauchelim

Limite `a droite

Par calcul :

11Trou en (2,1)

11Asymptote enx= 3Exercice 1.2D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction

On a un trou en

4-16=-14

11Trou(-1,98

ED(f) =R\{-3,-1,3,4}De plus,-1et4´etant

2+ 3x+ 2et esquisser

2+ 3x+ 2=

42= 2?H(0;2)4.Etude de signesx

2-x2 +xx+ 2x+ 1f(x)-∞-2-12+∞+++0-

2+ 3x+ 2=

4-44-6 + 2= "

2+ 3x+ 2=lim

2-(-1-)-1-+1=

2-(-1+)-1++1=

2. Comportement `a l"infini et asymptotes horizontales

Exemple 2.1Calculer la limite suivante

3+x2+ 2x-3 =lim

3?Remarque 1.1A l"infini, une fonction polynomiale se comporte

Asymptote horizontale (AH) d"´equationy=25

7x=0AH d"´equationy= 03.lim

5-3x+ 112x2+ 2=lim

312=-∞Pas d"asymptote horizontale

2+ 3x+ 2=lim

2=-1La fonction poss`ede une asymptote horizontale eny=-1.xy

1.f(x) =x4+ 5x

2-1Degr´eN(x) =4 ?=2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→pas d"AO.

2.f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1Degr´eN(x) =3 = 2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→AO!GYMNASE DE BURIER2MSt9

2+ 1On fait la division euclidienne :

3+2x2+1x

2+ 1-x3-xx+ 2

02x2-x+10-2x2-200-x-1On peut donc ´ecrire

2+ 1=x+ 2 +-x-1x

2+ 1Il y a donc une asymptote oblique d"´equationy=x+ 2.4. Etudes de fonction avec asymptotes

Plan d"´etude d"une fonction

Placement des asymptotes

Esquisse de la fonction

2-2x-3et esquisser

2-2x-3=

2+x+ 1x-3x+ 1f(x)-∞-113+∞--0++

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3-x3+ 2x2+ 3xx+ 2

02x2+3x-10-2x2+4x+600 7x+5AO d"´equationy=x+ 2Position relative de la courbe :

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy 11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13 )AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy
11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13
)AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47