[PDF] Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE

Exercices avec solutions : Limite et continuité Exercices d’applications et de réflexions PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF : PC et SVT Exercice1 : Déterminer les limites suivantes : 1) 1 ² 3 1 lim x 21 x o x 2) lim 2 432 x x x x o f 3) 24 23 2 5 7 lim x 10 14 x x x o f x x x 4) 25 26

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ]:−1,+∞[→ℝla fonction définie par : ( T)= T √1+ T2−√1+ T Déterminer les limites de , si elle existent, en 0 et en +∞ Allez à : Correction exercice 1 :

2 Correction : Limites, continuité, dérivabilité

2 Correction : Limites, continuité, dérivabilité 1 1 2 2 Exercices de base 2 2 1 Un algorithme 1 a est la valeur de la variable x pour laquelle on cherche f x(), p est la précision utilisée dans le calcul : plus on avance dans la boucle, plus p diminue (divisé par 10 à chaque itération) 2

LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) I Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini

TD :Exercices: LIMITE ET CONTINUITE

Exercices : Limite et continuité Exercices d’applications et de réflexions PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF Exercice1 :Soit la fonction : f x x x: 2 3 12 Montrer en utilisant la définition que : lim 6fx xo 1 Exercice2 : Soit la fonction 1²: ²1 x fx x Etudier la limite de f en x 0 1 Exercice3: Déterminer les limites suivantes : 1)

LIMITES – EXERCICES CORRIGES

Etudier le comportement de f en 0, +∞ et −∞, en précisant les asymptotes à la courbe représentative de f et les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote Exercice n°23 Soit f la fonction fx xx x ()= +− + 231 2 2 1) Déterminez trois nombres réels a,b et c tels que fx ax b c x ()=++ +2 pour x ≠−2

TD 11 Limites et continuité des fonctions - heb3org

et u 0 =x (Q 1) Déterminer une expression simple de un en fonction de x et n, puis calculer lim n→+∞ un (Q 2) Montrer que pour tout n ∈ N, f(x)=f(un) Conclure Dans les exercices sur les suites de nombres réels, on a montré que pour tout réel x, il existe une suite de nombres rationnels ⌊nx⌋ n n≥1 qui converge vers x

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercices corrigés sur et un réel tel que Continuité en un point : Limites et comportement asymptotique – Exercices corrigés

Limites de fonctions - Exo7 : Cours et exercices de

—Si m>n alors xm n, et donc f(x), tendent vers 0 —Si m=n alors xm n et f(x) tendent vers 1 —Si m < n alors xm n = 1 xn m = 1 k avec k = n m un exposant positif Si k est pair alors les limites à droite et à gauche de 1 xk sont +¥ Pour k impair la limite à droite vaut +¥ et la limite à gauche vaut ¥

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1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : détermination graphique e équation courbe (asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : Exercice 5 : On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative dfonction . Déterminer graphiquement , , puis une équation de chacune des asymptotes à .

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

0 PROF: ATMANI NAJIB

2 1) Ci-dessous est tracée en vert . -- -- Rappel : Soient un intervalle, une fonction définie (au moins) sur et un réel tel que . Continuité en un point : est continue en si et seulement si admet une limite en égale à : -à-dire et en particulier Continuité sur un intervalle : est continue sur si est continue en tout point de . Graphiquement, on lit : et donc -. et Ainsi, donc -.

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3 Remarque Notation : et 2) Rappel : Asymptotes à une courbe Asymptote horizontale : Soit un réel. Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Asymptote verticale : Si ou si ou si Alors la courbe représentative de admet une asymptote verticale . Asymptote oblique : Soit un réel non nul et un réel. Si - ou si - Alors la courbe représentative de admet une asymptote oblique . Graphiquement, on lit : Donc la droite - est asymptote verticale à .

désigne la limite à gauche de en désigne la limite à droite de en PROF: ATMANI NAJIB

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4 Par ailleurs, Donc la droite - est asymptote verticale à Enfin, Donc la droite est asymptote horizontale à en et en .

0 0 tend vers - par valeurs inférieures tend vers - par valeurs supérieures PROF: ATMANI NAJIB

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5 Déterminer les limites suivantes et . - -- (- -(- Remarque préalable : Le verbe " déduire » signifie " partir de propositions prises pour prémisses 1) Déterminons - -- , par quotient, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessous en bleu).

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

0 - Si -, alors : PROF: ATMANI NAJIB

6 Remarque : -- - Cette étude de limite aurait également permis la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessus en bleu). Autre remarque : La courbe représentative de la fonction - admet également une asymptote horizontale (représentée ci-dessous en rose) - en et en . En effet, - -- - --

0 PROF: ATMANI NAJIB

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7 2) Déterminons - Et , par quotient, Donc la courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale . Remarque : On aurait asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction en montrant que : Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote horizontale en et en . En effet, on a : Rappel : Soient , , et . La limite en définie par : -- est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré .

0 PROF: ATMANI NAJIB

8 3) Déterminons - - , par quotient, Et - Donc, par somme, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale . Remarque : On pouvait également montrer en étudiant - Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote oblique - au voisinage de et de . En effet, ----- ----- 4) Déterminons - --- Donc , la courbe représentative de la fonction -, admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarques : - est une asymptote horizontale à en . . PROF: ATMANI NAJIB

9 5) Déterminons (- (-(- Il résulte de cette étude de limite que la courbe représentative de la fonction -- asymptote horizontale -. Remarque : -. 6) Déterminons -(- -(--(- Donc la courbe représentative de la fonction --- pas horizontale. Remarque : La courbe représentative de cette fonction admet en revanche deux asymptotes verticales respective - et --.

Asymptote verticale -

Asymptote verticale -

Asymptote oblique -

-- Courbe représentative de la fonction PROF: ATMANI NAJIB

10 Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes puis en déduire si la courbe représentative de la fonction admet une asymptote. -((- -- Rappel : Limite d fonction composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que . La fonction définie sur telle que (ou ) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction . , et désignent chacun soit un réel, soit , soit . Si Et si Alors 1) Déterminons est la composée, définie sur , de la fonction suivie de la fonction . Et

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen PROF: ATMANI NAJIB

11 , par composition, Et , par composition, Donc, par différence, on aboutit à une forme indéterminée de la forme ; en effet : . Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée, afin de mettre en évidence la forme factorisée de ((. est dite " » de . Or, d , par somme, Donc, par quotient, - PROF: ATMANI NAJIB

12 On en déduit que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale - au voisinage de . 2) Déterminons -((- -((--((- , par composition, -((-- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -((- admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la courbe représentative de la fonction -((- admet une - au voisinage de . 3) Déterminons -- - , par composition, - - , par composition, - Donc on aboutit à une forme indéterminée : -- PROF: ATMANI NAJIB

13 n --. Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée. -------- -------- ----- - Et - , par somme, -- Donc -- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -- dmet pas asymptote horizontale au voisinage de . Rappel : Formes indéterminées Les cas de formes indéterminées () nécessitent une étude particulière. Ces cas sont, pour les opérations élémentaires ( ; ; ; ), au nombre de 4 et de la forme : - -- PROF: ATMANI NAJIB

14 Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes éventuelles. 2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote oblique. 3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes. Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition. On a : , , et . Etude en : , par composition, ((

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile PROF: ATMANI NAJIB

15 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. PROF: ATMANI NAJIB

16 Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. (résultat déjà obtenu ci-dessus) Etude en : , par somme, , par composition, (( PROF: ATMANI NAJIB

17 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de 2) Montrons que comme asymptote oblique. Pour tout , --( -(- Donc - Par conséquent, la droite est asymptote oblique à au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la droite est asymptote oblique à au voisinage de PROF: ATMANI NAJIB

18 3) Traçons (en vert) et ses asymptotes. -dessus, on constate que les résultats obtenus aux questions précédentes sont conformes. Soit la fonction définie sur - par : (- On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel de , - 2) Déterminer les limites de aux bornes de . En déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. 3) Montrer que Soit la fonction définie sur - par : (-

Exercice 5 (5 questions) Niveau : moyen

0 PROF: ATMANI NAJIB

19 On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel de , - Pour tout réel de , -----(----(-- (--- Ainsi, on doit obtenir : (---(- Par identification des coefficients (uniques) des monômes du numérateur, on a : -- Résolvons ce système : --------- -- Donc, pour tout réel de , - 2) Déterminons les limites de aux bornes de déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. Remarque : sont les asymptotes horizontales et verticales. Une asymptote horizontale est par des abscisses ; une asymptote verticale est des ordonnées. : - PROF: ATMANI NAJIB

20 Etudions la limite de en : - , par quotient, -- Donc, par somme, Etudions la limite de en - et en - : -- -- , par quotient, - - Donc, par somme, Par conséquent, - Etudions la limite de en : - PROF: ATMANI NAJIB

21 , par quotient, -- Donc, par somme, 3) Montrer que de , - Ainsi, pour tout réel de , -- Nous avons en outre établi à la question 2) que : -- Donc - Par conséquent au voisinage de . Remarque : On a de surcroît : -- -à-dire que au voisinage de . PROF: ATMANI NAJIB

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