Limites de fonctions
3/10 I Limites de fonctions I 1 Limites en l’infini I 1 1 Définitions Soit A,B et L des réels et f une fonction définie sur ℝ • On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ ssi tout intervalle ]A;+∞[ contient
2 Fonctions, Dérivées, Limites et Intégrales
2 8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques Théorème 14 : D’après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, ona: lim x→0 sinx x = 1 et lim x→0 cosx −1 x = 0 Pré-requis : Dérivées des fonctions sinus et cosinus Démonstration : On revient à la définition du nombre dérivée en 0 sin′ 0 = lim x
Limites et fonctions continues - Exo7
LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES 1 NOTIONS DE FONCTION 5 x y x2 x3 Définition 6 Soit f: R R une fonction et T un nombre réel, T >0 La fonction f est dite périodique de période T si 8x 2R f (x + T) = f (x)
LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1) - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie C'est le cas des
Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés
(asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : limites aux bornes d’un ensemble de définition, asymptote oblique
Chapitre 10 : Limites et continuité des fonctions
Chapitre 10 : Limites et continuité des fonctions I Notion de limite de fonctions 1 Limite lorsque x tend vers un réel Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x 0 un nombre réel appar-tenant à I ou une extrémité de I, ℓ un nombre réel On dit que : 1 f(x) a pour limite ℓ (ou que f(x) tend vers ℓ
Chapter 1 Limites et Equivalents - INP Toulouse
Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu’une fonction f(x) tend vers ±∞ou vers 0 lorsque xest voisin de x0 ne suffit pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quelle vitesse cette convergence a lieu ou encore d’être capable de comparer la façon de converger de plusieurs fonctions Par exemple, les fonctions f(x)=x
TD 11 Limites et continuité des fonctions - heb3org
Limites et continuité des fonctions Limites Exercice 1 : [corrigé] En utilisant la définition de la limite, montrer que : (Q 1) lim x→0 2 x+4 = 1 2; (Q 2) lim x→+∞ p x2+2x +3=+∞ Exercice 2 : Étudier la limite de la fonction suivante en 0:f : (R∗ → R x → x 2x +x Exercice 3 : On considère la fonction définie par : f : (R
Chapitre 3 TermS Étude de fonctions Limites et continuité
Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limites de fonctions Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini Limite infinie d’une fonction en un point Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions
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1
LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxMPartie 1 : Limite d'une fonction à l'infini
1) Limite infinie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.
Si on prend un intervalle
quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle
, réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on
note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en +∞ si tout intervalle , réel, contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : limRemarques :
- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : 2 - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales.2) Limite finie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞,si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on
note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher. 3 Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant 2, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment grand.
Définition : Si lim
=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontaleà la courbe de la fonction en +∞.
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞ si tout intervalle ouvert contenant
contient toutes les valeurs de () dès que est suffisamment grand et on note : lim Remarque : On a des définitions analogues en -∞.3) Limites des fonctions de référence
Propriétés :
- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim =+∞, lim =+∞ (pour pair) - lim =+∞, lim =-∞ (pour impair) - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A
1) Définition
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .
4Exemple :
La fonction définie par
13-
+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.On a par exemple :
2,99 13-2,99
+1=1012,9999
13-2,9999
+1=10001Les valeurs de la fonction deviennent aussi
grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.La courbe de la fonction "se rapproche" de la
droite d'équation =3 sans jamais la toucher.Si on prend un intervalle
quelconque, toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que est suffisamment proche de 3.Définition : Si : lim
=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .Définitions : - On dit que la fonction admet pour limite +∞ en si tout intervalle
, réel, contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de
et on note : lim - On dit que la fonction admet pour limite -∞ en si tout intervalle , réel,contient toutes les valeurs de ()dès que est suffisamment proche de et on
note : lim 52) Limite à gauche, limite à droite :
Exemple :
Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou limOn parle de limite à droite de 0
Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou limOn parle de limite à gauche de 0.
Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonctionVidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . -∞-425+∞ 6Correction
a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2)Partie 3 : Opérations sur les limites
1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites
peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim "→0 lim "→0 lim "→0 F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. -∞-425+∞ +∞+∞ +∞556-∞
7 PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ∞ 0 lim "→0 lim "→0 F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim "→0 ≠0 0 lim "→0 ′≠00 ∞ ∞
0 lim "→0 ∞ 0 ∞F.I. F.I.
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opérationVidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs
Déterminer les limites suivantes : a)lim
-53+
b) lim1-2
-3Correction
a) lim -53+
L lim -5=-∞ lim =+∞lim3+
Comme limite d'un produit : lim
-53+
b) lim1-2
-3 lim1-2=1-2×3=-5
lim -3=0Une limite de la forme "
» est égale à " ∞ ».
Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "» est égale à " +∞ ».
D'où, comme limite d'un quotient : lim
1-2
-3 82) Cas des formes indéterminée
Comme pour les suites, on rappelle que :
Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1)Vidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk
Calculer : lim
-3 +2 -6+1Correction
lim -3 +2 -6+1=? • L lim -3 lim2
On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= R-3+ 2 6 1 S •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.Donc, par limite d'une somme :
lim -3+ 2 6 1 =-3 •U lim -3+ 2 6 1 =-3 limDonc, par limite d'un produit :
lim R-3+ 2 6 1S=-∞
Soit : lim
-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (2)Vidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc
Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI
9Calculer : a) lim
2
2 -5+16
2 -5 b) lim3
2 +24-1
Correction
a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela
conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant par les monômes de plus haut degré :