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FUNDAMENTALS OF
LINEAR ALGEBRA
James B. Carrell
carrell@math.ubc.ca (July, 2005) 2
Contents
1 Introduction 11
2 Linear Equations and Matrices 15
2.1 Linear equations: the beginning of algebra . . . . . . . . . . . 15
2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Matrix Addition and Vectors . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Matrix Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Reduced Row Echelon Form and Row Operations . . . . . . . 23
2.4 Solving Linear Systems via Gaussian Reduction . . . . . . . . 26
2.4.1 Row Operations and Equivalent Systems . . . . . . . . 26
2.4.2 The Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 The Non-homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4 Criteria for Consistency and Uniqueness . . . . . . . . 31
2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 More Matrix Theory 37
3.1 Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 The Transpose of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 The Algebraic Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Elementary Matrices and Row Operations . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Application to Linear Systems . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 A Necessary and Sufficient Condition for Existence . . 50
3.3.2 Methods for Finding Inverses . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 Matrix Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 TheLPDUFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 The Basic Ingredients:L, P, DandU. . . . . . . . . 59
3.4.2 The Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 4
3.4.3 Further Uniqueness inLPDU. . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.4 Further Uniqueness inLPDU. . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.5 The symmetricLDUdecomposition . . . . . . . . . . 67
3.4.6LPDUand Reduced Row Echelon Form . . . . . . . . 68
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Fields and Vector Spaces 75
4.1 What is a Field? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 The Definition of a Field . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Arbitrary Sums and Products . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.4 An Algebraic Number Field . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 The Integers Modulo a Primep. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 A Field with Four Elements . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 The Characteristic of a Field . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.3 Connections With Number Theory . . . . . . . . . . . 89
4.3 The Field of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 The Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2 The Geometry ofC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 The Notion of a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.1 The Real Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5.3 Hermitian Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Subspaces and Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.1 The Definition of a Subspace . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Finite Dimensional Vector Spaces 119
5.1 The Notion of Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.1 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.2 The Definition of a Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2 Bases and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.1 The Definition of Dimension . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.3 The Dimension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.4 An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5
5.3 Some Results on Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1 A Basis of the Column Space . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2 The Row Space ofAand the Ranks ofAandAT. . . 136
5.3.3 The Uniqueness of Row Echelon Form . . . . . . . . . 138
5.4 Intersections and Sums of Subspaces . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.1 Intersections and Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.2 The Hausdorff Intersection Formula . . . . . . . . . . 142
5.4.3 Direct Sums of Several Subspaces . . . . . . . . . . . . 144
5.4.4 External Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5 Vector Space Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.1 Equivalence Relations and Quotient Spaces . . . . . . 148
5.5.2 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6 Linear Coding Theory 155
6.1 Linear Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1.1 The Notion of a Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.1.2 Linear Codes Defined by Generating Matrices . . . . 157
6.1.3 The International Standard Book Number . . . . . . . 158
6.2 Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2.1 Hamming Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2.2 The Key Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3 Codes With Large Minimal Distance . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3.1 Hadamard Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3.2 A Maximization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4 Perfect Linear Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.1 A Geometric Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.2 How to Test for Perfection . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4.3 The Existence of Binary Hamming Codes . . . . . . . 172
6.4.4 Perfect Codes and Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4.5 The hat problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4.6 The Standard Decoding Table . . . . . . . . . . . . . 176
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7 Linear Transformations 183
7.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.2 The Definition of a Linear Transformation . . . . . . . 184
7.1.3 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.4 General Properties of Linear Transformations . . . . . 186
6
7.2 Linear Transformations onFnand Matrices . . . . . . . . . . 190
7.2.1 Matrix Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . 190
7.2.2 Composition and Multiplication . . . . . . . . . . . . 192
7.2.3 An Example: Rotations ofR2. . . . . . . . . . . . . . 193
7.3 Geometry of Linear Transformations onRn. . . . . . . . . . 196
7.3.1 Transformations of the Plane . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.2 Orthogonal Transformations . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 The Matrix of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . 202
7.4.1 The MatrixMBB?(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.4.2 Coordinates With Respect to a Basis . . . . . . . . . . 203
7.4.3 Changing Basis for the Matrix of a Linear Transfor-
mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5 Further Results on Linear Transformations . . . . . . . . . . 214
7.5.1 The Kernel and Image of a Linear Transformation . . 214
7.5.2 Vector Space Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.3 Complex Linear Transformations . . . . . . . . . . . . 216
7.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8 An Introduction to the Theory of Determinants 227
8.1 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.1.1 The 1×1 and 2×2 Cases . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.2 Some Combinatorial Preliminaries . . . . . . . . . . . 228
8.1.3 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . 231
8.1.4 Permutations and Permutation Matrices . . . . . . . . 232
8.1.5 The Determinant of a Permutation Matrix . . . . . . 233
8.2 Determinants and Row Operations . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.1 The Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.2 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.3 Some Further Properties of the Determinant . . . . . . . . . . 244
8.3.1 The Laplace Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.2 The Case of Equal Rows . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.3.3 Cramer"s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.4 The Inverse of a Matrix OverZ. . . . . . . . . . . . . 248
8.3.5 A Characterization of the Determinant . . . . . . . . . 248
8.3.6 The determinant of a linear transformation . . . . . . 249
8.4 Geometric Applications of the Determinant . . . . . . . . . . 251
8.4.1 Cross and Vector Products . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.4.2 Determinants and Volumes . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.4.3 Lewis Carroll"s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.5 A Concise Summary of Determinants . . . . . . . . . . . . . . 255
7
8.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9 Eigentheory 257
9.1 Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.1 The Fibonacci Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.1.2 The Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.3 Fibonacci Revisted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.1.4 An Infinite Dimensional Example . . . . . . . . . . . . 261
9.2 Eigentheory: the Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.2.1 Eigenpairs for Linear Transformations and Matrices . 263
9.2.2 The Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . 263
9.2.3 Further Remarks on Linear Transformations . . . . . . 265
9.2.4 Formulas for the Characteristic Polynomial . . . . . . 266
9.3 Eigenvectors and Diagonalizability . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.3.1 Semi-simple Linear Transformations and Diagonaliz-
ability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.3.2 Eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.4 When is a Matrix Diagonalizable? . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.4.1 A Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.4.2 Do Non-diagonalizable Matrices Exist? . . . . . . . . . 282
9.4.3 Tridiagonalization of Complex Matrices . . . . . . . . 283
9.4.4 The Cayley-Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . 285
9.5 The Exponential of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.1 Powers of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.2 The Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.3 Uncoupling systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10 The Inner Product SpacesRnandCn297
10.1 The Orthogonal Projection on a Subspace . . . . . . . . . . . 297
10.1.1 The Orthogonal Complement of a Subspace . . . . . . 298
10.1.2 The Subspace Distance Problem . . . . . . . . . . . . 299
10.1.3 The Projection on a Subspace . . . . . . . . . . . . . . 299
10.1.4 Inconsistent Systems and the Pseudoinverse . . . . . . 302
10.1.5 Applications of the Pseudoinverse . . . . . . . . . . . 303
10.2 Orthonormal Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2.1 Some General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2.2 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2.3 Projections and Orthonormal Bases . . . . . . . . . . 310
10.3 Gram-Schmidt and the QR-Factorization . . . . . . . . . . . 314
8
10.3.1 The Gram-Schmidt Method . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.3.2 The QR-Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.4 Further Remarks on Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . 317
10.4.1 The Space of Linear TransformationsL(Rn,Rn) . . . . 317
10.4.2 The SpaceC[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.4.3 Hermitian Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.4.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.5 The Group of Rotations ofR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.5.1 Rotations ofR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.5.2 Rotation Groups of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11 Unitary Diagonalization Theorems 333
11.1 The Normal Matrix Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.1.1 Normal Matrices and the Main Theorem . . . . . . . . 335
11.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.2 The Principal Axis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.2.2 A Projection Formula for Symmetric Matrices . . . . . 342
11.3 Diagonalization of Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . . 347
11.3.1 Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.3.2 The Geometry of Self Adjointness . . . . . . . . . . . 347
11.3.3 Another Proof of the Principal Axis Theorem . . . . . 348
11.3.4 An Infinite Dimensional Self Adjoint Operator . . . . 349
11.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
12 Some Applications of Eigentheory 357
12.1 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.1.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.1.2 Critical Point Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.1.3 Sylvester"s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
12.1.4 Positive Definite Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.1.5 A Test For Positivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.2 Symmetric Matrices and Graph Theory . . . . . . . . . . . . 367
12.2.1 The Adjacency Matrix and Regular Graphs . . . . . . 367
12.3 Computing Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.3.1 The QR-Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.3.2 The QR-Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . 370
12.3.3 The Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
9
13 The Jordan Decomposition Theorem 377
13.1 The Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13.2 Further Results on Linear Transformations . . . . . . . . . . 386
13.2.1 The Cayley-Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . 386
13.2.2 The Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . 388
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Mathématiques pour - Dunod