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EXERCICES DE LOGIQUE (1) (1bac sexi) Exercice 1 En utilisant les quanti cateurs, ecriver les propositions suivantes, puis determiner la valeur de v erit ee de chacune d’elles (P) : ˝il n’ existe aucun rationel x solution de l’ equation x2 = 8 ˛ (Q) : ˝Quelques nombres r eels sont des nombres rationels˛
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EXERCICES DE LOGIQUE (1)(1bac sexi)Exercice 1..
En utilisant les quanticateurs, ecriver les propositions suivantes, puis determiner la valeur de veritee de chacune
d'elles. (P) :il n'existe aucun rationelxsolution de l'equationx2=8 (Q) :Quelques nombres reels sont des nombres rationels (R) :Le carre d'un nombres reel est inferieur ou egale a0 (S) :Pour tout nombre reelxetyil existe un entier naturelntel quex+y=nExercice 2..
Determiner la negation et la valeur de verite des propositions suivantes : (P) :(9x2Z)(9y2Z):x4y=p3 (Q) :(9x2R):jxj 0 (R) :p5+p6p19 (S) :(8x2R)(9x2R):2x1+x2>y (T) :(9x2R):x23x+20.Exercice 3..
En utilisant un raisonnement par absurde, montrer que les propositions suivantes sont fausses. (P) :(8x2R)(8y2R): 2x4y6=5 (Q) :(8x2]0,1[)(8y2]0,1[): 01)-(8x2R)(8y2R)
(xy1)(xy)6=0=)x(y2+y+1)6=y(x2+x+1)2)-(8x2R)(8y2R)(8z2R):x+y>2z=)x>z ou y>z.
3)-(8x2R):rx+16=1+x2
4)-(8x2R)(8y2R):x6=y=)(x+1)(y1)6= (y+1)(x1).
Exercice 5..
En utilisant un raisonnement par disjonction des cas, montrer que :1)-(8x2R):px
2+1+x>0.
2)- Resoudre dansR2, le systeme suivant :2jx1j y=4
jxj+2y=6Exercice 6..
Montrer par recurrence que :
1)-8n2N: 13+23+33+.....+n3=n2(n+1)24
2)-8n2N: 12+23+34+....+n(n+1) =n(n+1)(n+2)3
3)-8n2N: 1+3+5+...+ (2n+1) = (n+1)2.
4)-8n2N:13
+115+.....+14n21=n2n+1.