Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle

En mathématiques, l'intégration est le fait de calculer une intégrale. C'est aussi une des deux

branches du calcul infinitésimal, appelée également calcul intégral, l'autre étant le calcul différentiel.

Les opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...) et de calcul de

probabilités étant souvent soumises à des calculs d'intégrales, l'intégration est un outil scientifique

fondamental. I.

Une condition suffisante pour qu'une fonction ݂ admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y

soit continue.

Théorème :

Démonstration : On expose ci-dessous le principe de la démonstration dans le cas où ݂ est

croissante. ci-contre. Comme ݂ ܦ ௛ quand ݄ tend vers Ͳ En conclusion ܨ est dérivable en ݔ଴ et ܨ

Définition : Primitive

Soit ݂ est une fonction définie sur un intervalle ܫ

Une fonction ܨ dérivable sur ܫ et de dérivée ܨᇱൌ݂ est appelée une primitive de ݂ sur ܫ

Exemple : On considère la fonction ܨ définie par ܨ

ܨ est dérivable sur Թ avec ܨ

Remarque : On insistera sur la notion de non-unicité de la primitive. Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle Terminale S 2

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Propriété :

- Toute fonction ݂ continue sur un intervalle ܫ admet des primitives sur ܫ - Si ܨ ݂ sur ܫ, les autres primitives de ݂ sont les fonctions ݔհܨ où ݇ est une constante réelle. Une seule de ces primitives prend une valeur ݕ଴ donnée en un ݔ଴ de ܫ fonction ܨǣݔհ׬

Si ܨ est une primitive de ݂ sur ܫ, il est clair que ܨ൅݇ est aussi une primitive. Réciproquement, si ܨ

Donc ܩെܨ est constante sur ܫ. Il existe donc un réel ݇ tel que ܩെܨൌ݇ soit ܩൌܨ൅݇ sur ܫ

II.

Propriété :

௔ est une primitive de ݂ sur

On a donc aussi,

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Exemple :

Pour un grand nombre de fonctions, on trouve une primitive particulière par " lecture inverse » du

ݔհ݁ି௫మ, on ne connait pas

calculer de façon exacte une de ses intégrales.

Tableau des primitives usuelles

En pratique, bien connaître les dérivées usuelles suffit. On " ajuste » ensuite les coefficients grâce à

Tableau des primitives usuelles

Soit ݑ une fonction dérivable sur un intervalle ܫ Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle Terminale S 4

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III.

Définition : Intégrale dune fonction

Pour toute fonction ݂ continue sur un intervalle ܫ, on définit pour tous ܽ et ܾ de ܽܫ à ܾ

de ݂ par,

Remarques :

- Pour une fonction continue positive avec ܽ൑ܾ du fait de la propriété. - Cette définition ne dépend pas de la primitive ܨ - La fonction ݔհ׬

Propriété :

Soit ݂ et ݃ deux fonctions continues sur un intervalle ܫ et ܽǡܾǡܿ des réels de ܫ

- Relation de Chasles : ׬ - Linéarité : ׬

Pour tout réel ߣ׬, ߣ

Remarques : La relation de Chasles a déjà été rencontrée dans le cas où ݂ est positive ou nulle sur ܫ

Démonstration : On note ܨ une primitive de la fonction ݂ et ܩ une primitive de la fonction ݃ sur ܫ

- Les deux premières propriétés se démontrent de façon immédiate en revenant à la définition.

- Une primitive de ݂൅݃ sur ܫ est ܨ൅ܩ ߣ݂ et ܨߣ Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle Terminale S 5

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Propriété :

Si ݂ et ݃ sont deux fonctions continues sur un intervalle ܫ et ܽ et ܾ deux réels de ܫ tels que ܽ൑ܾ

- Si ݂ est positive sur ܫ, alors ׬ - Si ݂ est négative sur ܫ, alors ׬ - Si ݂൑݃ sur ܫ, alors ׬

Remarques : Attention ܽ൑ܾ

Démonstration : On note ܨ une primitive de la fonction ݂ et ܩ une primitive de la fonction ݃ sur ܫ

- Si ݂൑݃ sur ܫ, ݃െ݂൒Ͳ sur ׬ ܫ ௔൒Ͳ soit ׬ terre, désintégration

Définition : Loi exponentielle

Une variable aléatoire ܺ suit une loi exponentielle de paramètre ߣ tels que Ͳ൑ܽ൑ܾ

Remarques :

On pourra écrire : ׬

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Propriété :

Une variable aléatoire ܺ

vieillissement : Remarques sans vieillissement » lorsque la probabilité ݄ (au moins) ne dépend que de ݄ et pas de la durée ݐ de son fonctionnement passé.

Démonstration :

Donc

Propriété :

Démonstration : La fonction ܩ

ߣݐ݁ିఒ௧ donc ܩ ఒ, soit encore െଵ

Comme ߣ

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