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Terminale ES - Loi normale Author: Clara Parfenoff - Alain Solean Subject: Terminale ES - Loi normale Created Date: 2/19/2016 7:02:25 PM

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2 loi normale centrée réduite 2 1 activité A utilisation de la table de la loi normale centrée réduite N(0 ;1) où m = 0 et σ = 1 une table de la loi N(0;1) est donnée FIG 1 ci après (précision de 10−4)

Loi uniforme normale TES - mathematiquesacfreefr

1 D´eterminer la loi de probabilit´e de X 2 Calculer l’esp´erance µ =E(X)et l’´ecart-type σ =σ(X)de X 3 On admet que Z = X−µ σ est une variable al´eatoire suivant la loi normale centr´ee r´eduite N(0; 1) R´epondre au probl`eme On donnera une valeur approch´ee `a 10−3 pr`es Exercice7:

Lois normales, cours, terminale STMG

loi normale Propriété : Si Xest une ariablev aléatoire qui suit une loi normale, pour tout réel b, la probabilité P(X b) est l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et à gauche de la droite d'équation x= b Exemple : Ci-contre, l'aire correspondant à la proba-bilité P(X 650) pour la loi normale d'es-

Terminale ES – Chapitre VIII – Lois de probabilités à densités

Propriété 8 : Résultats à connaître concernant la loi normale : • • • 1 Mais là, j'ai procédé comme si on n'avait pas préalablement le résultat de P(X 3) Terminale ES – Chapitre VIII – Lois de probabilités à densité – 6/6

Terminale ES - Loi continue - ChingAtome

9 Loi normale et propriété de symétrie : Exercice 7404 On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne 3 et d’écart-type 2 On donne la valeur approchée de la probabilité suivante: P (X⩽4) ˇ 0,691 Sans l’aide de la calculatrice, déterminer les probabilités suiv-antes: a P (X⩽3) b P (3⩽X⩽4) c P

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale d’es-pérance et d’écart type ˙ L’aire totale comprise entre la courbe et l’axe des

Sujet et corrigé mathématiques bac es, obligatoire, France

• X suit la loi normale d’espérance = 45 et d’écart type = 12 • T suit la loi normale centrée réduite 1 a P ( X = 10 ) ? D’après le cours, quand nous sommes en présence d’une variable aléatoire qui suit une loi de probabilité à densité: P ( X = ) = 0, toujours

D) Approximation normale d’une loi binomiale

Théorème : Si une variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance et 0 et sa variance est 1 Démonstration ex 82 et 83 p 432 Transmaths C’est pour cette raison que la loi normale standard est aussi nommée loi normale centrée et réduite car On dit que suit la loi

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IRL QRUPMOH

I) Loi Normale cenWrée réTuiWe N ( 0 ; 1 )

1) MéfiniWion

La loi normale centrée réduite notée N ( 0 ; 1 ) est la loi continue ayant pour densité la fonction ࢌ définie sur Թ par :

Remarques J

La fonction ݂est conWinue eW à valeurV VWricWemenW poViWiveV Vur Թ L'aire du domaine situĠ sous la courbe et au-dessus de l'adže des abscisses ǀaut 1 (aTmiV) Monc on peuW en conclure que la foncWion f peuW bien êWre conViTérée comme TenViWé Te probabiliWé Vur Թ.

Courbe de la fonction

2) PropriéWé

normale centrée réduite est 0 et son écart type est 1

3) CalculV Te probabiliWéV pour une variable aléaWoire X

VuivanW N ( 0 ; 1 )

Casio Texas

Syntaxe

Touche OPTN puis choisir

STAT, puis DIST, puis

NORM

Menu distrib ( 2nde , var )

P(a < X < b) Choisir Ncd NormCD(a,b) normalFrep(a,b)

Nombre réel k tel que

P(X

Choisir InvN

InvNormCD(c)

FracNormale(c)

RQ M 3; " 0 3 ; • 0 0D

Pour calculer P(X K a ) ou P ( X L a ) on peuW Tonc uWiliVer la méWUoTe VuivanWe J

ProbabiliWé GrapUique Calcul

P(XKa)H a K0

0H5± P (aKXK0)

P(XKa)H a L0

0H5 + P (0KXKa)

P(XLa )H aK0

0H5+P(aKXK0)

P(XLa)H a L 0

0H5± P(0KXKa)

Exemple J

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N ( 0 ; 1 )

1) Calculer P( ± 0D3 " ; " 13

Avec la calculatrice on obtient P(± 0D3 " ; " 13 0H60514

2) Calculer P (; " 17

Avec la calculaWrice 3 " 17 = 0,5 + P (0 " ܺ

0H5 + 0H4554 0H9554

II) Loi normale N Nj ı2 )

1) Définition

Soit ࣆ un nombre réel et ࣌ un réel strictement positif. La variable ࣌ suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 )

Remarques J

2)Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X

VuivanW N Nj ı2 )

Casio Texas

Syntaxe Touche OPTN puis choisir

STAT, puis DIST, puis

NORM

Menu distrib ( 2nde , var )

P(a < X < b) Choisir Ncd

Ncd NormCD(a,b, ı Nj)

normalFrep(a,b,Nj,ı)

Nombre réel k tel que

P(X

Choisir InvN

InvNormCD(c,ı Nj)

FracNormale(c,Nj,ı)

Remarque J Comme la courbe Te ࢌ eVW VyméWrique par rapporW à la TroiWe x = ʅ

RQ M 3; " ʅ 3 ; • ʅ ) = 0H5

Pour calculer P(X < a ) ou P ( X > a ) on peut donc utiliser la méthode suivante

ProbabiliWé GrapUique Calcul

P(XKa)H a K ʅ

0H5±P (aKXK ʅ)

P(XKa)H a L ʅ

0H5 + P (ʅ KXKa)

P(XLa )H aK ʅ

0H5+P(aKXK ʅ)

P(XLa)H a L ʅ

0H5±P(ʅ KXKa)

3) Propriétés

1. P(ࣆെ ࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ࣌ ) ൎ 0,683

2. P(ࣆെ ૛࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ૛࣌ ) ൎ 0,954

3. P(ࣆെ ૜࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ૜࣌ ) ൎ 0,997

4)NVpérance maWUémaWique eW écarW Wype

N ൫ࣆ Ǣ ࣌૛ ൯ est ࣆ et son écart type de de X est ࣌

Exemples de calculs

Soit ܺ

Comme précédemment pour le calcul de probabilités on utilisera soit la calculaWriceH VoiW une Wable Te valeurV. Sur une calculaWriceH on peuW calculer leV SURNMNLOLPpV 3 M " ܺ réelsquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47