LOI UNIFORME - EXERCICES CORRIGES
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Loi continue : Partie II Loi uniforme sur [a b
Loi uniforme sur [a ; b] II - Loi uniforme sur [a ; b] Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b La loi uniforme sur [a ; b], notée U([a; b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a; b] par : f(x)= 1 b−a Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b]
x () - Free
Une variable T soit une loi exponentielle de paramètre λ>0 1) Trouvez le paramètre de cette loi sachant que pT(≤=70 0,05) 2) Déduisez-en pT()>30 Exercice n°5 Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi exponentielle de paramètre 1 2 λ=
Exercice 1 - Mathagore
Onadmet que la variablealéatoire X suit la loi normaled’espérance 10et d’écart-type0,4 Montrer qu’une valeur approchéeà 0,0001 prèsde la probabilité qu’une bille soit horsnormeest 0,0124 2 On met en place un contrôle de production tel que 98 des billes hors norme sont écartés et 99 des billes correctes sont conservées
Semaine 2: Estimateur du maximum de vraisemblance Eléments de
Loi uniforme ( >0): La densité de l'échantillon arp apprort à la mesure de Lebesgue est une fonction de IRn dans f0;1= g, tandis que la vraisemblance est une fonction de , de IR+ dans IR+ Le support de la loi dépend du arpamètre inconnu, le modèle 'estn asp gulier ér La densité d'un n-échantillon eutp s'écrire f(x 1;:::x n; ) = n1I 0
PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens
On observe que Vsuit bien la loi Gamma ( a+b; ) La loi de Uest dite loi beta prime de param etres aet b En plus, Uet V sont ind ependantes, car la densit e jointe se factorise 2 Soit h: R R une fonction continue, born ee On a E[h(T)] = Z R2 h r n s z f Z(z)f S(s)d(z;s) = Z R+ Z R h r n s z 1 p 2ˇ e z 2 2 1 2n 2 n 2 sn2 1e s 2 dzds: Par le
Variables aléatoires continues : EXERCICES
Gestion du document : pour masquer les CORRigés et les exercices En Préparation : CORR=V et EP=V Exercice 1 Pour chaque question il y a une ou plusieurs bonnes réponses Diana et Aïssatou se téléphonent très régulièrement La durée d'une de leurs communication suit une loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 60]
Loi normale - Exercices - Free
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,2 En utilisant une approximation de cette loi par une loi normale dont on précisera les paramètres, calculer une valeur approchéedeP(X= 20),P(X≤2),P(18 ≤X≤22) etdeP(X>18) Corrigé :
Exercices de Probabilités Table des matières
2 deux v a de loi géométrique respectivement de para-mètrep 1,p 2 CalculerlaloideY = min(X 1;X 2) 3 4 Loi hypergéométrique Exercice 30 Soit S= S 1 S S 2 une populations de N individus partition-née en deux sous populations S 1 et S 2 de tailles respectivement N 1 et N 2 Posons l
Int´egrationetprobabilit ´es ENS Paris, 2012-2013
Int´egrationetprobabilit ´es ENS Paris, 2012-2013 TD 12– Convergence de variables aleatoires –´ Corrige´ Exercice du TD 11 a pr` eparer´ Exercice0 Soit (Xn;n 1) une suite de v a i i d de loi exponentielle de param`etre 1
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Int ´egration et probabilit´esENS Paris, 2012-2013 TD12- Convergence de variables al´eatoires -C orrig´eExercice du TD 11
`a pr´eparerExercice 0.Soit (Xn;n1) une suite de v.a. i. i.d. de loi exponentielle de param`etre1.
1.Mon trerque lim supn!1Xn=ln(n) =1p.s.
2.On pose Zn= max(X1;:::;Xn)=ln(n), montrer que liminfn!1Zn1p.s.
3.Mon trerquepourunesuite(nk)k0bienchoisie,limsupk!1Znk1p.s.End´eduirequelimn!1Zn=
1p.s.Corrig
´e :
1.Soit a0, alors pour tout" >0l"´ev`enementflimsupXn=ln(n)> age?imbriqu´e entre deux limsup
d"´ev`enements :
limsup n!1fXn(a")ln(n)g flimsup n!1Xn=ln(n)> ag limsup n!1fXn> aln(n)g:P[Xnaln(n)] =1n
a; et les ´ev`enements sont ind´ependants, donc d"apr`es Borel-Cantelli en prenant des"apropri´es P limsup n!1X nln(n)> a# =(1sia <10sia >1;
donc limsupXnln(n)=1p.s.
2.Soit 2(0;1) et posonsAn=fZn1g. Montrer quePP(An) converge. On a
P(An) =P(Xi(1)ln(n) pour1in) =P(X1(1)ln(n))n=1e(1)ln(n)n 11n 1 n= exp nln 11n 1 exp n1n 1 exp(n): Donc PP(An) converge. D"apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand on aZn1, ce qui conclut.3.P osonsBn=fZn1+g. Un calcul proche de celui de la que?ion pr´ec´edente donne :
P(Bn) =1
11n 1+ nn!11n:Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a
igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1 La s ´erie de terme g´en´eral1=nne converge pas, il faut donc ruser un peu. Fixons >0et posons n k= (1+)k. AlorsP kP(Bnk) converge et d"apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutk suffisamment grand on aZnk1+. On encadre ensuiten1: (1+)kn(1+)k+1et on´ecrit : ZIl s"ensuit que limsup
n!1Zn=1p.s. Compte tenu de la que?ion2, il en d´ecoule que limn!1Zn=1p.s.0 - Petites questionsVrai ou faux?
1.Soien t( Xn)n1une suite de variables al´eatoires r´eelles etXune variable al´eatoire r´eelle d´efinies
sur ( ;A;P). On suppose queXn!Xen loi. Montrer quef(Xn)!f(X) en loi pour toute fon?ion continuef:R!R.2.Soit ( n)n0une suite de mesures de probabilit´e etune mesure positive. Alors il y a convergence
etroite desnverssi et seulement si, pour toute fon?ionfcontinue`a support compa?, on a la convergenceZ f d n!Z f d:3.Si la suite de v ariablesal ´eatoires (Xn)n0converge en loi versX, alorsE[Xn]!E[X]:
Corrig
´e :
1.V rai: si g:R!Re?continue born´ee, alorsgfe?continue born´ee et doncE[g(f(Xn))]!
E [g(f(X))].2.L "implicatione ?vraie (elle implique quee?une mesure de probabilit´e, et on conclut par une
propri ´et´e du cours), mais la r´eciproque e?fausse (prendren=n).3.F aux: on prend (
;F;P) = ([0;1];B(R);dx) etXn(t) la fon?ion tente telle queXn(0) =0;Xn(1=n) = n;X n(2=n) =0. AlorsXnconverge p.s. vers0maisE[Xn]=1,E[0]. de m ˆeme loi telles queP(X1=1) =P(X1=1) =1=2. On noteZn=X1+X2++Xnet soitT= infn1;Zn=1. On pose finalement :
W n=Zmin(n;T): Ainsi, (Wn) e?la marche al´eatoire issue de0qui fait des sauts1qui re?e en1une fois qu"ellel"a atteint. Il e?possible de v´erifier queT <1p.s. de sorte que (Wn) converge presque sˆurement
vers1. Or il e?facile de v´erifier que pour toutn1,E[Wn]=0, de sorte queE[Wn]ne converge pas versE[1]. Avec le langage du second seme?re, cela fournit l"exemple d"une martingale quiconverge p.s. mais pas dansL1.?uels sont les liens entre ces diff´erentes convergences : en loi, presque sˆure, en probabilit´e,L1,Lppour
p >1?Corrig
´e :
C onvergencep:s:implique convergence en probabilit´e qui implique convergence en loi. C onvergenceLppourp1implique convergence en probabilit´e. 2 -C onvergenceLqimplique convergenceLppourq > p.Il e?tr`es fortement recommand´e de trouver des contre-exemples pour les r´eciproques qui ne sont pas
vraies en g ´en´eral. On a cependant les r´eciproques "partielles" suivantes :C onvergenceen probabilit
´e implique la possibilit´e d"extraire une sous-suite qui converge p.s.En red
´efinissant les variables sur un mˆeme espace de probabilit´e, il e?possible de transformer convergence en loi vers converge p.s., c"e?le th´eor`eme de repr´esentation de Skorokhod vu en cours pour les variables r ´eelles (Attention :c"e?un r´esultat tr`es subtil).C onvergencep.s. a vec
´equiint´egrabilit´e implique convergenceL1(voir Exercice6).1 - Convergences en loi
Exercice 1.(Lemme de Slutsky) Soient (Xn)n1, (Yn)n1deux suites de variables al´eatoires r´eelles, et
X;Ydeux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur ( ;A;P), telles queXn!Xen loi etYn!Yen loi.1.On suppose que les v ariablesXnetYnsont ind´ependantes pour toutn1et que les variablesXet
Ysont ind´ependantes. Montrer que (Xn;Yn)!(X;Y) en loi.2.E ?-il toujours vrai que (Xn;Yn)!(X;Y) en loi?
3.Lemme de SlutskyOn suppose queYe?con?ante p.s. Montrer que (Xn;Yn)!(X;Y) en loi.
Corrig
´e :
1.D" apr`es le th´eor`eme de L´evy, il suffit de montrer que(Xn;Yn)(t;t0)!(X;Y)(t;t0) pour tout (t;t0)2
R2. Et l"on a par ind´ependance,
(Xn;Yn)(t;t0) =Xn(t)Yn(t0)!X(t)Y(t0) =(X;Y)(t;t0):2.Il n "e?pas vrai en g´en´eral que (Xn;Yn)!(X;Y) en loi. En effet, consid´erons les variables al´eatoires
X n=Z=Ynpour toutn1, avecZgaussienne centr´ee. La variableZ´etant sym´etrique, on a X n! Zenloi.Si(Xn;Yn)!(Z;Z)enloi,alorsXn+Yn! Z+Zenloi(carlafon?ion(x;y)7!x+y e?continue), c"e?`a dire2Z=0en loi, ce qui n"e?pas.3.Il su ffit de montrer queE(F(Xn;Yn))!E(F(X;Y)) pour une fon?ionFcontinue`a support compa?.
Soita2Rtel queY=ap.s. On a alorsYn!aen probabilit´e (r´esultat important`a savoir prouver). Et jE(F(Xn;Yn))E(F(X;a))j jE(F(Xn;Yn))E(F(Xn;a))j+jE(F(Xn;a))E(F(X;a))j: La fon?ionx2R7!F(x;a) e?continue et born´ee doncjE(F(Xn;a))E(F(X;a))j !0. De plus, la fon?ionFe?uniform´ement continue. Pour" >0, on peut trouvertel quejF(x;y)F(x0;y0)j " pourjxx0j+jyy0j . Alors, en notantMun majorant deF, on a jE(F(Xn;Yn))E(F(Xn;a))jE(jF(Xn;Yn)F(Xn;a)j)
2MP(jYnaj )+":
Ainsi,limsupjE(F(Xn;Yn))E(F(Xn;a))j "etceci´etantvraipourtout",onend´eduitquejE(F(Xn;Yn))E(F(Xn;a))j !0, puis le r´esultat.
3 Exercice 2.Soit (Xn;n1) une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur ( ;A;P) ind´ependantes et de mˆeme loi. On poseMn= max(X1;:::;Xn).
1.On suppose que e?la loi uniforme sur [0;1]. Montrer que la suite (n(1Mn))n1converge en loi
quandn! 1et expliciter la loi limite.2.On suppose que e?la loi de Cauchy?andard c"e?-`a-dire que(dx) = ((1+x2))1dx. Montrer
que la suite (nM1n)n1converge en loi et expliciter la loi limite.Rappel :ar?an(x) =2 1x +o(1x quandx!+1.Corrig
´e :
1.P ourtout n1, la variable al´eatoiren(1Mn) e?`a valeurs dans [0;n]. On a donc, pour toutt <0,
P(n(1Mn)t) =0. Soitt0fix´e. Pour toutnt, on a
P(n(1Mn)t) =P
M n1tn =1P M n<1tn =1 1tn n: DoncP(n(1Mn)t)!(1et)?ft0g, et la fon?iont7!(1et)?ft0ge?la fon?ion de r´epartition delaloiexponentielledeparam al´eatoire exponentielle de param`etre1.
2.Soit t0. On a
P nM nt! P nM n0! =P(Mn0) =12 n; doncP(nM1nt)!0quandn! 1. Soit maintenantt >0. On aP(nM1nt) =P(nM1nt;Mn>0)+P(nM1nt;Mn0):
D"apr `es ce qui a´et´e fait pr´ec´edemment,P(nM1nt;Mn0)!0. Et P nM nt;Mn>0! =P M nnt =10BBBB@Z tn1dx(1+x2)1
CCCCAn
=11 n2 +ar?annt n n!11exp t car ar?an(x) =2 1x +o(1x ) quandx! 1. Ainsi, la suite (nM1n)n1converge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle de param`etre1
.2 - Convergences en probabilit uniform´ement di?ribu´ees surf1;2;:::;ng. Soit
T n= inffm1:fX1;:::;Xmg=f1;2;:::;ngg le premier temps o `u toutes les valeurs ont´et´e observ´ees. 41.Soit nk= inffm1:jfX1;:::;Xmgj=kg.Montrerquelesvariables(nknk1)2knsontind´ependantes,
et d´eterminer leurs lois respe?ives.
2.En d ´eduire queTn=(nlogn)!1en probabilit´e.
Corrig
´e :
1.On a n1=1. Soit (t2;:::;tn)2(N)n1. On veut calculerP(n2n1=t2;:::;nnnn1=tn). En posant
t1=1on a
P(n2n1=t2;:::;nnnn1=tn)
X2SnP0BBBB@n1\
k=1 X t1+:::+tk=(k);Xt1+:::+tk+12 f(1);:::;(k)g;:::; X t1+:::+tk+tk+112 f(1);:::;(k)g \fXt1+:::+tn=(n)g1CCCCA X 2Sn1n nn Y k=2 k1n tk1 n!n nn Y k=2 k1n tk1 n Y k=2 n+1kn k1n tk1Donc les variables al
´eatoires (nknk1)2knsont ind´ependantes, et ont respe?ivement pour loi X i1 n+1kn k1n i1 i: Cette loi e?la loi deGk+1o`uGksuit la loi g´eom´etrique de param`etre (k1)=n.2.On a Tn=1+Pnk=2(kk1) et donc
E(Tn) =1+n
X k=2nn+1k=1+nHn1; o `uHne?la s´erie harmonique etVar(Tn) =n
X k=2Var(kk1) =n X k=2(k1)=n((n+1k)=n)2Cn2:Donc pour tout" >0,
P (jTnE(Tn)j "nlog(n))Var(Tn)"2n2log(n)2C"
2log(n)2:
Donc (TnE(Tn))=(nlog(n))!0en probabilit´e. OrE(Tn)nlog(n) quandn! 1. Donc pour tout " >0on afjTnnlog(n)j 2"nlog(n)g fjTnE(Tn)j "nlog(n)gpournassez grand. On obtient ainsi le r´esultat.Exercice 4.
51.Mon trerqu"une suite de v ariablesal ´eatoires r´eellesXnconverge en probabilit´e vers une variable
al´eatoireXsi et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous-suite
qui converge ps versX.2.Mon trerque si une suite de v ariablesal ´eatoires r´eellesXnconverge en probabilit´e vers une variable
al ´eatoireXet sif:R!Re?continue, alorsf(Xn) converge en probabilit´e versf(X).Corrig
´e :
1.L "implicatione ?claire, car d"apr`es un r´esultat du cours on peut extraire une sous-suite conver-
geante p.s. versXpour toute suite de variables al´eatoires convergeant en probabilit´e versX.Pour la r
´eciproque, raisonnons par l"absurde en supposant qu"il exi?e >0et une extra?rice telle queP(jX(n)Xj< )> pour toutn1. Par hypoth`ese, il exi?e une extra?ice telle que X ( (n))converge en probabilit´e versXquandn! 1. Ceci contredit le fait queP(jX( (n))Xj< )> pour toutn1.2.D" apr`es la premi`ere que?ion, il suffit de montrer que sie?une extra?rice, il exi?e une ex-
tra?rice telle quef(X( (n))) converge p.s. versf(X). D"apr`es la premi`ere que?ion, il exi?e une extra?rice telle queX( (n))converge p.s. versX. La conclusion en d´ecoule par continuit´e def.Exercice 5.
Soit (Xn)n1une suite de variables al´eatoires r´eelles etXune v.a. r´eelles d´efinies sur (
;A;P). On sup- pose queXn!Xen probabilit´e sousP. Montrer que siQe?une mesure de probabilit´e sur ( ;A) absolument continue par rapport `aP, alorsXn!Xen probabilit´e sousQ.Corrig
´e :
La fao¸n la plus rapide de faire cette exercice e?d"utiliser ce qu"on connait d´ej`a : d"apr`es Radon-Nikodym
on peut trouver une fon?ionfmesurable positive qui v´erifie8A2 A;Q(A) =Z
f?AdP; et de plus Rf dP=1<1, doncfe?int´egrable. Ensuite, par l"absolue continuit´e de l"int´egrale,8" >0;9 >0;8A2 A;P(A)< )Q(A)< ":
Et enfin, soit >0, pournassez grandP[jXnXj> ]< , donc pournassez grandQ[jXnXj> ]< ".3 - ConvergencesLpExercice 6.(Uniforme int´egrabilit´e)
Soit (Xn)n1une suite de variables al´eatoires r´eelles sur ( ;A;P). On dit que la suite (Xn) e?uni- form ´ement int´egrable (ou equiint´egraable ou u.i.) si lim