Les lois de Newton - matheuxovh
Lois de Newton 4G (1h) / 7 7 5 Troisième loi de Newton : actions réciproques 5 1 ENONCE DU PRINCIPE DES ACTIONS RECIPROQUES Si un corps 1 exerce une force sur un corps 2 notée F1,2 alors le corps 2 exerce une force sur le corps 1 notée F2,1 d’égale valeur, de même direction mais de sens opposé
2 Les lois de Newton - EPFL
Les lois de Newton Les trois lois de Newton: 1) Tout objet non soumis à des forces conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne et uniforme 2) F = m a 3) Action et réaction: si un objet exerce une force F sur un second objet, celui-ci exerce à son tour une force -F sur le premier Notion de FORCE, exemples:
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2 2 6 OSuuoa / Repuns aqouecun opeqes / hepurues pawes frL 9L LL 8L 6L OZ LVn VocDR 2 2 oc / Ipnðf
Physique : Mécanique de Newton (Lois et applications)
3 Physique : Mécanique de Newton (Lois et applications) Dans le cas de la mécanique du point, la troisième loi précise également : : la force d'interaction est portée par la droite reliant les positions des particules Remarque : La somme des forces intérieures d’un système mécanique est toujours nulle 2 Equilibre d’un solide a
Les lois de Newton - Unisciel
«Le principe de l’action et de la réaction dit que les forces qu’exercent l’un sur l'autre deux points matériels sont coaxiales, de même intensité et de sens opposés: r FA B→ r FB A→ A B Système isolé de deux points matériels A et B et coaxiales FA→B = −FB→A r r Une illustration amusante des trois lois de Newton :
Les 3 lois de Newton - UCLouvain
• La seconde loi de Newton (F=ma) met en relation l’accélération, la masse et les forces dans un repère inertiel • La force exercée par un objet sur un autre est l’opposée de celle exercée par l’autre corps sur lui-même C’est le fameux principe : action-réaction :-) Les 3 lois de Newton
LES LOIS DE NEWTON - WordPresscom
LES LOIS DE NEWTON La première loi de Newton et l'inertie • En l'absence de force extérieure résultante agissant sur un corps, l'accélération du corps est nulle • La première loi de Newton stipule que pour modifier le mouvement d'un corps, c'est-à-dire pour le mettre en mouvement, pour l'accélérer, pour le ralentir, pour l
1 Lois de Kepler , lois de Newton
1 Lois de Kepler , lois de Newton 1 1 Les lois de Kepler •Première loi: Les planètes décriventune ellipse dont leSoleil occupe l’un desfoyers r = a(1−e2) 1+e cos(θ) b O b b Soleil b F′ b b A b Planète r θ b c b a •Deuxième loi: Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles detemps égaux dS dt
Chapitre 4 : Les lois de Newton - Physagreg
Classe de 1èreS Chapitre 4 Physique 1 Chapitre 4 : Les lois de Newton Introduction : Nous avons vu dans les chapitres précédents les différents mouvements que pouvait avoir un solide, et les forces qui peuvent s’exercer sur un solide Comment relier ces deux chapitres, c’est ce que nous allons voir ici :
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Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014
1 Lois deKepler , lois de Newton ...
1.1 Les loisde Kepler
• Première loi : Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe l"un des foyers. ra(1e2)1ecos(θ)
?O ?Soleil ?F ?A ?Planète r c a • Deuxième loi : Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. dS dtconstante. ?O F ?A ?M1 ?M2?M1 ?M2 ?A • Troisième loi :Le carré de la période de révolution
est proportionnel au cube du demi grand-axe de l"orbite. a 3T2cste
Planètea en uaP en année
Mercure0.3870.241
Vénus0.7230.615
Terre11
Mars1.5241.882
Jupiter5.20211.86
Saturne9.55529.46
111 2 311/2 grandaxe enUAPériode en années
échelleslogarithmiques
Mercure?
Vénus?
Terre?Mars?
Jupiter?
Saturne
Mercure?
Vénus?
Terre?Mars?
Jupiter?
Saturne
y1.5x1.2 Les loisde Newton
• Loi de la gravitation universelle :Deux corps quelconques s"attirent en raison directe de leurmasse et en raison inverse du carré de la distance de leurs
centres de gravité. • Première loi de Newton ou principe de l"inertie (initialement formulé par Galilée) :Dansun référentiel galiléen, le centre d"inertie G d"un solide soumis à un ensemble de forcesdont la somme vectorielle est
nulle est soit au repos, soit animé d"un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant).
• Deuxième loi de Newton (ou théorème du centre d"inertie) :Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la
masse de l"objet par son vecteur accélération. • Troisième loi de Newton :Lorsqu"un solideS1exerce une force sur un solideS2, le solideS2exerce sur le solideS1, la force directement opposée.
Gravitation1
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril20142 Deuxième loi de Kepler: la loi des aires
On considère un corps célestePde massemsoumis à l"attraction d"un corps céleste S de masseM. Il est soumis à une force
d"attraction ?F. r rdθ (rdr)dθrdrSθ?
Passons en coordonnées polaires.
On arf(θ) et l"aire balayée par le rayon vecteur?rpendant l"intervalle de tempsdtest telle que : 12rrdθdS12(rdr)(rdr)dθ.
On en déduit :
dS12r2dθ.
Et : dS dt12r2dθdt.(1) ?rSP ?F S× P? S Pv v rvn D"après le principe fondamental de la dynamique, on a : Fmd?v dt(variation de la quantité de mouvement).Le moment cinétique
?σest le moment de la quantité de mouvement, au- trement dit :σ?rm?v.
Comme ?Fet?rsont colinéaires, on a : d dt?rmd?vdt?0.Le moment cinétique est constant.
On a?v?vr?vn.
vret?rsont colinéaires et?σ?rm?vn..Mais?vnrdθ
dt, alorsσmr2dθ
dtconstante.(1)De (1) et (1"), on déduit :
dS dtσ2m12r2dθdtconstante.(2)3 Première loi de Kepler.
3.1 Trajectoire d"un corps soumisà une accélération centrale.
ur x× S× P On considèreun corps célestePde massemsoumis àl"attrac- tion d"un corps céleste S de masseM.On note :SPr,SP?ret?u1
r?r.Le rayon vecteur
SP?rdu corps céleste P de massemsou-
ment mais l"énergie totale de P reste constante. On sait que l"énergie totale est :EtotECEPavec l"énergie cinétique :EC12mv2et l"énergie potentielle :EPGMmr.
Gravitation2
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 u? v r S× POn considère le repère mobile
P,?u,?u
. DeSPr?u, on déduit par dérivation : vdr dt?urdθdt?u.On a donc :?v2dr
dt 2 r2dθdt 2Et par conséquent :
E tot12mv2GMmr12mdrdt
2 r2dθdt 2 GMmr.D"après la loi des aires :
dS dtest une constante, on en déduit donc que :r2dθdtconstanteK.Et finalement :dθ
dtKr2. En remplaçant dans l"expression de l"énergie totale, on obtient : E tot12mdrdt
2 r2Kr2 2 GMmr.Ou encore :
E tot12mdrdt
2 K2r2 GMmr.Effectuons un changement de variable...On a :
dr dtdrdθdθdtKr2drdθ. On en déduit une autre expression de l"énergie totale : E tot12mKr2drdθ
2 K2r2 GMmr 12mK2r2
1r2drdθ
2 1 GMmr Effectuons un autre changement de variable en posant : 1 ru. On a alors en différenciant par rapport àθ:1 r2drdθdudθdont on déduit :drdθr2dudθ. On en tire une autre expression de l"énergie totale en fonction deu: E tot12mK2u2
r2dudθ
2 1 GMmu 12mK2dudθ
2 u2 GMmuL"énergie totale est constante, alors si on dérive l"expression précédente par rapport àθ, on obtient :
01 2mK22dudθd
2udθ22ududθ
GMmdudθ
0mK2du
dθd2udθ2ududθ
GMmdudθ
0mdu dθ K2d2udθ2u
GM0K2d2u
dθ2u GM K2d2u dθ2u GM d2u dθ2uGMK2Gravitation3
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 Cette équation différentielle admet comme solution :u1rAcos(θθ0)GMK2.On en déduit :r1
Acos(θθ0)GMK2.
On pose :(3)
1 pGMK2,(4)eAp; ce qui donne : rp ecos(θθ0)1.On reconnait l"équation polaire d"une conique d"excentricitée, de paramètrep, oùθ0est l"angle que fait le grand axe de la
conique avec l"axe polaire à l"origine des temps. • Sie0, la conique est un cercle. • Si 0e1, la conique est une ellipse. • Sie1, la conique est une parabole. • Sie1, la conique est une hyperbole.3.2 Cas de l"ellipse
p OFc OAa? F? F A? P OPrenons :θ00 etrpecosθ1.
Avecθπ
2,rpPF.
Par définition de l"ellipse on a :PFp,PFPF2aet
commePFF90o:FF2PF2PF2.
On en déduit :
pPF2a p2(2c)2PF2PF2ap
p2(2c)2(2ap)2
PF2ap p24c24a24app2PF2ap
c 2a2apMaisec
aetc2e2a2, alorspaae2a(1e2) et finalement : ra(1e2) ecosθ1. • Périhélie pourθ0, cosθ1 etra(1e) • Aphélie pourθ180o, cosθ1 etra(1e)4 Troisième loi deKepler
On a vu que :
rp ecos(θθ0)1,oùpa(1e2).D"après (2)
dS dtK2et en intégrant :S(t)σ2mtK2t. Sur une périodePpour une ellipse de grand axeaet de petit axeb, on a :S(P)πabK2Pet (6) :(πab)2K2P
2On a vu au 3.2 que :pa(1e2).
De (3), on déduit :K2GMpetK2GMa(1e2).
D"autre part :b2a2(1e2), alors (6) donne :
πa2a2(1e2)K2
4P2π2a2a2(1e2)K2P24
π2a2a2(1e2)GMa(1e2)P2
4GMa(1e2)P2
4π2a3GMP24
a3P2GM4π2.
Gravitation4
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril20145 Orbite des planèteset équation deKepler.
E est une ellipse d"excentricitée, de centre O de grand axea, de petit axeba1e2et de foyersFetF.
On considère C le cercle de centre O et de rayona. M" est le point de C qui a même abscisse que le point M de l"ellipse. On va remplacerretθpar une variable unique : l"anomalie excentriqueu, oùuest l"angle que forme le rayonOMavec avec l"axe des abscisses.On va exprimerren fonction deuetdθ
dten fonction deu. ×O C×M?
MA×P×F×F
×H r uθ5.1 Expression deren fonction deu.
Soityl"ordonnée de M etycelle de M".
Pour M, on a :
x2 a2y2b21.Pour M" on a :
x2 a2y2a21. En soustrayant terme à terme ces deux relations, on obtient : y2 b2y2a2yyba. Orba1e2, alorsyy1e2.
De OMOFFM, on déduit :xacosucrcosθrcosθacosuca(cosue).DeOMOFFM, on déduit :yasinuy
On a les deux relations :
rcosθa(cosue) rsinθasinu 1e2On élève au carré et on ajoute terme à terme; on obtient : r