SUR LA LONGUEUR D’UNE COURBE - Institut de Mathématiques

Au vu de la précision demandée, on peut utiliser un tableau excel calculant L pour différentes valeurs de l’angle α (méthode d’encadrements successifs), recherchant un maximum de L On commence par exemple avec α = 30°, puis des pas de 1° On observe sur 3 valeurs α 1 α2 α3 un passage de L au maximum (donc pour α 2)

Calcul de la longueur d’un arc de parabole

Calcul de la longueur d’un arc de parabole Soit P une parabole, d’´equation y 2 = 2px dans un rep`ere orthonorm´e (0;ı, ) Adoptons le param´etrage f : t ∈ R → (x = t 2 /2p,y = t)

Algorithme : Longueur d’un arc de parabole

Algorithme : Longueur d’un arc de parabole L’algorithme incomplet ci-dessous doit permettre de tracer et de calculer la longueur d’une ligne brisée qui joint 10000 points de l’arc de parabole d’équation y = x 2 pour 0 É x É1

SUR LA LONGUEUR D’UNE COURBE - Institut de Mathématiques

Exercice 2 : Une parabole intersecte un disque de rayon 1 Est-il possible que la longueur de l’arc de parabole inscrit dans le disque soit supØrieure ou Øgale à 4? Sans perdre de gØnØralitØ (quitte à faire une translation), on peut prendre comme cercle celui d’Øquation (C) : x2 +(y 1)2 = 1 et comme parabole, celle d’Øquation (P

Longueur darc (avec radian) S

Longueur d'arc (avec radian) Définitions Les côtés d'un angle au centre de θ (têta) radians interceptent un arc dont la longueur S correspond à θ fois le rayon Arc: portion du cercle (rouge) compris entre le côté initial et terminal formant l'angle θ r: rayon du cercle θ: l'angle en radian s: la longueur de l'arc en radian (rad)

LONGUEUR D™UN ARC DE COURBE - {toutes les Maths}

TLM1 Longueur d™un arc de courbe 3 Exercice 3 : Montrer que la longueur de l™arc de parabole y= 1 2 x 2compris entre Oet le point Ad™abscisse 1 vaut L= Z 1 0 p 1+x2dx: Calculer cette intØgrale en intØgrant par parties

Étude métrique des courbes planes - wwwnormalesuporg

la longueur d’un arc de parabole d’équation y = x2 entre ses points d’abscisse 0 et d’ascisse 2, on calcule Z 2 0 p 1 +4x2 dx cette intégrale n’est pas vraiment triviale, commençons par faire une IPP en posant u(x) = √ 1+4x2, soit u′(x) = 8x 2 √ 1 +4x2 = 4x √ 1 +x2, et v′(x) = 1, soit v(x) = x, pour obtenir L = [x √ 1

Chap 45 Etude m etrique des courbes

Calculer la longueur de l’astro de param etr ee par : # xp tq acos3 t yp tq asin3 t tP r 0;2ˇs Exemple Calculer la longueur d’un arc de parabole : y ax2;0 ¤ x¤ 1 Exemple Calculer la longueur de la cardio de : ˆ ap 1 cos q ; P r ˇ;ˇs Donner les vecteurs de la base de Frenet Exemple Calculer la longueur d’une arche de la

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SURLALONGUEURD'UNECOURBE

PATRICELASSÈRE

1.Préliminaires

L(f)=Z

b a kf0(t)kdt=Z b aq f21(t)+f22(t)++f2d(t)dt: vériant

8t1;t22[a;b]:s(t2)s(t1)=Z

t2 t

1kf0(t)kdt:

1deI=[a;b]surJ=s([a;b])etl'arc

J3t7!g(t)=f(s1(t))

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdt

B=f(1).nnoteLmincetinmum.

L minL(f0)=Z 1 0 kABkdt=kABk:

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdtkABk

BA=f(1)f(0)=Z

1 0 f0(t)dt 1

2PATRICELASSÈRE

donc kABk2=hBA;BAi =hBA;Z 1 0 f0(t)dti Z 1 0 hBA;f0(t)idt Z 1 0 kABkkf0(t)kdt(parCauchySchwarz) =kABkL(f) soit(B6=A):kABkL(f)etletourestjoué. (R;;)où donnéepar

L(f)=Z

1 0 kf0(t)kdt =RZ 1 0q sin2((t))0(t)+02(t)dt RZ 1 0

0(t)dt=R((1)(0))=R1:

3.L'inégalitéisopérimétrique

SURLALONGUEURD'UNECOURBE3

:[0;2]37! (t)=(x(t);y(t))2R2; avecj y(0)=y()=0. (0)

L'airedudomainedélimitéparlacourbe

estdonnéepar A=Z 2 0 y(t)x0(t)dt=Z 0 y(t)x0(t)dt+Z 2 y(t)x0(t)dt:=A1+A2: a=y(t);b=x0(t)2ontire (1)A1=Z 0 y(t)x0(t)dt21Z 0 (y(t)2+x0(t)2)dt A 121Z
0 (y(t)2+1y0(t)2)dt: y(t)=u(t)sin(t)

4PATRICELASSÈRE

A 121Z
21Z
0h u2(t)sin(t)cos(t)

0+1u02(t)sin2(t)i

dt 21Z

01u02(t)sin2(t)dt

F21Z 0 1dt= 2;

1y02(t),soitnalement

4.Quelquescalculs

f(a)=g(a);f(b)=g(b);8t2[a;b]:g(t)f(t):

MontrerqueZb

1+f02(t)dtZ

b ap1+f02(t)dt: gf a b celledugraphedeg.Établissonsrigoureusementcerésultat:soit (t)=(1+t2)1=2,comme

00(t)=(1+t2)1=2>0, estconvexesurRetparTayor-Lagrange:

(t)= (s)+(ts) 0(s)+(ts)2

2 00() (s)+(ts) 0(s);8s;t2R;

(1+g0(t)2)1=2(1+f0(t)2)1=2+(g0(t)f0(t)) 0(f0(t)) etsionintègrecesinégalités:Zb a (1+g0(t)2)1=2dtZ b a (1+f0(t)2)1=2dt+Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt résultatilestsusantdemontrerqueZb a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt0:

SURLALONGUEURD'UNECOURBE5

Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt=[(g(t)f(t)) 0(f0(t))]b aZ b a (g(t)f(t))( 0(f0(t)))0dt =0Z b a (g(t)f(t)) 00(f0(t))f00(t)dt0 cargf0; 00>0etf000.Sifn'estpasdeclasseC2ilfautêtreplusdélicatetappliquer Z b a (g0(t)f0(t)) 0(f0(t))dt= 0(f0(a))Z a (g0(t)f0(t))dt+ 0(f0(b))Z b (g0(t)f0(t))dt =[ 0(f0(b)) 0(f0(a))](f()g())0 carfget 0(f0)croissantesur[a;b]carfet sontconvexes.CQFD.o k>1

2,l'intersecteenlesdeuxpoints

p 2k1 k;2k1k

L(k)=2Z

p 2k1 k

0p1+4k2t2dt=1kZ

2p 2k1 0p

1+u2du;

(8)L:k2[1

2;+1[7!L(k)=1kZ

2p 2k1 0p

1+u2du:

k<1=2k>1=2 Z b a u(t)v(t)dt=u(a)Z a v(t)dt+u(b)Z b v(t)dt

6PATRICELASSÈRE

2laparabolesetrouve

+de0à

Justionscettedernièrearmation:

L(k)=1

kZ 2p 2k1 0p

1+u2du

1 kZ 2p 2k1 0 p 1+u2u du+1kZ 2p 2k1 0 udu 1 kZ 2p 2k1 0du p1+u2+u+4(2k1)2k 1 kZ 2p 2k1 0du p1+u2+u+42k 1 kI(k)+42k; ainsi,

L(k)>4()Z

2p 2k1 0du p1+u2+u>2 maislafonctioncroissanteIvérie lim k!1Z 2p 2k1 0du p1+u2+u=+1

2telque

k>k0)I(k)>1etparsuite 9ko>1

2:k>k0=)L(k)>4:

q +1car

L(k)=1

kI(k)+42k et 01 kI(k)=1kZ 2p 2k1 0du p1+u2+u2p 2k1 k!k!10:

1+u2du=12tp2t1+12log

t+p1+t2

Lpourétudiersesvariations....

SURLALONGUEURD'UNECOURBE7

a 2+yb

2=1;a>b>1:

ÊMontrerque(a+b)Lp

2(a2+b2):

ËMontrerque

L=2a 11X n=1 (2n)!

22n(n!)2

2e2n2n1!

e=p a2b2 aétantl'exentricitédel'ellipse. x(t)=acos(t); y(t)=bsin(t);0t2; salongueurest L=Z 2 0p x0(t)2+y0(t)2dt=4Z =2

0qa2sin2(t)+b2cos2(t)dt

=4Z =4 0q a2sin2(t)+b2cos2(t)dt+4Z =2 =4qa2sin2(t)+b2cos2(t)dt =4Z =4 0 q a2sin2(t)+b2cos2(t)+qa2cos2(t)+b2sin2(t) dt croissantesur[0;=4].

ËNousavons

L=Z 2 0p x0(t)2+y0(t)2dt=4Z =2

0qa2sin2(t)+b2cos2(t)dt

=4Z =2 0p a2+(a2b2)cos2(t)dt =4aZ =2 0p

1e2cos2(t)dt

Nousavonspourjuj<1

1u=11X

n=1(2n1)!22n(n!)2un: L=4a 21X
n=1(2n1)!22n(n!)2e2nZ =2 0 cos2n(t)dt! oùl'onreconnaitl'intégraledeWallis Z =2 0 cos2n(t)dt=(2n)!

22n(n!)22

lerésultatsuit.o

8PATRICELASSÈRE

L=Z b ap f2()+f02()d: asin3(=3);2[0;3]. x()=f()cos();y()=f()sin();2[a;b]; L=Z b ap x02()+y02()d=Z b apf2()+f02()d: z 2x2 zx=12x soitcommex>0: z=z(x)=x1=2x=2x2+1 2x:

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PATRICELASSÈRE

1.Préliminaires

L(f)=Z

8t1;t22[a;b]:s(t2)s(t1)=Z

1kf0(t)kdt:

1deI=[a;b]surJ=s([a;b])etl'arc

J3t7!g(t)=f(s1(t))

L(f)=Z

B=f(1).nnoteLmincetinmum.

L(f)=Z

BA=f(1)f(0)=Z

2PATRICELASSÈRE

L(f)=Z

0(t)dt=R((1)(0))=R1:

3.L'inégalitéisopérimétrique

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L'airedudomainedélimitéparlacourbe

4PATRICELASSÈRE

0+1u02(t)sin2(t)i

01u02(t)sin2(t)dt

1y02(t),soitnalement

4.Quelquescalculs

MontrerqueZb

1+f02(t)dtZ

00(t)=(1+t2)1=2>0, estconvexesurRetparTayor-Lagrange:

2 00() (s)+(ts) 0(s);8s;t2R;

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2,l'intersecteenlesdeuxpoints

L(k)=2Z

0p1+4k2t2dt=1kZ

1+u2du;

2;+1[7!L(k)=1kZ

1+u2du:

6PATRICELASSÈRE

2laparabolesetrouve

Justionscettedernièrearmation:

L(k)=1

1+u2du

L(k)>4()Z

2telque

2:k>k0=)L(k)>4:

L(k)=1

1+u2du=12tp2t1+12log

Lpourétudiersesvariations....

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2=1;a>b>1:

ÊMontrerque(a+b)Lp

2(a2+b2):

ËMontrerque

22n(n!)2

2e2n2n1!

0qa2sin2(t)+b2cos2(t)dt

ËNousavons

0qa2sin2(t)+b2cos2(t)dt

1e2cos2(t)dt

Nousavonspourjuj<1

1u=11X

22n(n!)22

8PATRICELASSÈRE

Laformulepourlalongueurd'unarcnousdonne

1+4t2dt

0(x)=p

1+4x2z0(x)p1+4z2(x);x>0

13x2=0

3etx=1=p3parsymétrie.o

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