[PDF] Chapitre 4 - Fonctions

Etude de fonctions - Dyrassa

Théorème: Si fest dérivable en un point a, alors est continue en La fonction f est discontinue en 2 car 2 lim ( ) 3 (2) x f x f o z La fonction f est continue en 2 car 2 lim ( ) 2 (2) x f x f o Propriétés : L’image d’un intervalle Ipar une fonction continue fest un intervalle ( )

Exercices 5 Limites et fonctions continues

adapter la preuve du théorème de Césaro séquentiel au cas d’une fonction 4 Académique La fonction est continue en 1 2, discontinue en tout autre point de R On pourra utiliser le critère séquentiel ainsi que la densité de Qet R\Qdans R 5 Partie entière La fonction est continue sur R 6 Fonctions monotones

Chapitre 4 - Fonctions

D e nition 6 1 On dit qu’une fonction estcontinue en un pointsi on peut la "dessiner sans lever le crayon" au voisinage de ce point Une fonction continue en tout point de son domaine de d e nition est ditecontinue x y-11 1-1 b a f est continue en a et en b x y-11 1-1 b a f est continue en b mais discontinue en a

Chapitre 9 : Convexité

On dit que f est continue en a lorsque lim xÑa fpxq “ fpaq • La fonction f est continue sur I si, pour tout réel a de I, f est continue en a Définition 1 (Continuité en un point et sur un segment) Exemple 1 t u : R Ñ R x ÞÑ txu où txu est l’entier relatif définie par txu ď x ă txu ` 1 Cette fonction est discontinue en

Continuité et dérivabilité d’une fonction

1 2 Continuité en un point Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x→a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I

CONTINUITE - DERIVATION

La fonction « partie entière » qui a tout entier relatif associe lui-même et à tout réel non entier associe l’entier qui le précède est continue en tout point de \ , mais elle n’est continue en aucun des entiers ; on dit qu’elle est discontinue en chacun des entiers 2- Propriétés

Ex sur fonctions continues

Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans R On suppose qu’il existe une fonction g définie sur I à valeurs dans , continue en a telle que g a 0 et pour tout x I f x g x Démontrer que f est continue en a 2 Démontrer que la fonction f : x 3 8 2 x x se prolonge par continuité sur R

1 Rappels - arthur-leroynetlifyapp

onctionF dé nie en tout point d'un intervalle, discontinue en certains points, et donc, évidemment non dérivable en ces points Exemple 2 2 Les fonctions constantes par morceaux (ou fonctions en escalier), comme la fonction de répartition d'une ariablev discrète onctionF dé nie et continue en tout point d'un intervalle

Résumé de Cours fonctions continues - AlloSchool

• la fonction valeur absolue est continue sur R ; • toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition • La fonction partie entière est une fonction définie sur R et discontinue en certains réels (et donc non

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GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Fonctions

Sarah Degallier Rochat

References

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

Notes du cours donne par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier

1. La notion de fonction

Denition 1.1Unefonction fd'unensemble Ddans unensemble Aest une correspondance qui associea chaque element deDun et un seul element deA.On note f:D!A x7!f(x)ou l'on appelle I D : l'ensemble ded epart I A : l'ensemble d'arrivee I f (x) :l'expression fonctionnellede f Exemple 1.1Des eleves de Burier prennent le train pour rentrer chez eux. Jacques et Simone descendent a La Tour-de-Peilz, Sophie, Vanessa et Pierre a Vevey et Francis a Rivaz. Personne ne descend a Saint-Saphorin.DIAGRAMME SAGITTALEnsemble de depart

Jacques

Simone

Sophie

Vanessa

Pierre

FrancisEnsemble d'arrivee

Tour-de-Peilz

Vevey

Saint-Saphorin

RivazLa relation associant

les passagers a leur destination est une fonction .En eet, tous les passagers descendent aun et un seul arr^et.Toutes les personnes doivent descendre du trainet elles ne peuvent descendre qu'a un seul arr^et.

Denition 1.2Soit la fonction f donnee par

f:D!A

x7!f(x)1.y=f(x)est l'imagede xparf.2.xest lap reimagede y.3.L'image de f, not eeIm( f), est l'ensemble des elements deA

qui ont une p reimage .4.L'image r eciproquede y, noteerf(y)ouf1(y), est

l'ensembledes elements deDqui ontypour image.Une fonction peut aussi ^etre donnee par songrap heG(f )

G(f) =f(x;f(x))jx2Dg

Exercice 1.1Dans l'exemple du train, donner

1. l'image de

Pierre

: f(Pierre) =V evey2.l'image de la fonction : Im(f)= fLa Tour-de-Peilz,V evey,Rivaz g3.la p reimagede Rivaz : Francis 4. l'image r eciproquede la

T our-de-Peilz

r f(La Tour-de-Peilz) =fJacques,Simone g5.l'image r eciproquede Saint-Sapho rin: r f(Saint-Saphorin) =;6.le graphe de la fonction :

G(f)= f(Jacques,La T our-de-Peilz);

Simone

La T our-de-Peilz

Sophie

V evey

Vanessa

V evey

Pierre

V evey

Francis

Rivaz )g

2. Les fonctions reelles

Lorsque les ensembles de

d epartD et d' arrivee A d'une fonction sont des

sous-ensembles de R, on dit que la fonction estr eelle.L'analyseest la discipline des maths qui etudieles fonctions r eelles.

Pour representer le grapheG(f) =f(x;f(x))jx2Dgd'une fonctions reelle, on utilse un syst emed'axes p erpendiculaires.DA

11(x;f(x))xf(x)On place l'ensemble de depart

D sur l'a xeho rizontal(a bs- cisse) et l' ensemble d'arrivee A sur l'axe vertical (ordonnees).

Exemple 2.1Dessiner le graphe de la fonction

f:R!R x7!x2 et repondre aux questions suivantes.DA

11(1;1)(2;4)

(1;1)(2;4)-24 1 -111.f(2) =4 2. rf(1) =f1;1g3.Im(f) =R Exercice 2.1Estimer les valeurs suivantes en observant le graphe. O1

1xy1.f(0) =12.f(1) =23.

rf(2) =f 72
g4. rf(1) =f3;0;3g

3. La composition de fonctions

Denition 3.1Soit deux fonctionsf:E!Fetg:F!G, on

denit la comp osee de gavecfcommegf(x) =g(f(x)).EFGf xf(x)g g(f(x))gfRemarque 3.1Dans l'expressiongf, c'est toujours laderniere fonction(icif) qui s'applique en premier, contrairement au sens de lecture.

Exemple 3.1Soit les fonctions

f:R!R x7!x2et g:R!R x7!3x1: Donner la valeur ou l'expression generale des termes suivants : (7)2=495.fg(x)=f(g(x))=f(3x1)= (3x1)26.fg(5)= (351)2=142=196

4. L'ensemble de denition ED(f)

Exemple 4.1Soit la relationx7!1x

. Donner le plus grand ensemble

de depart possible pour que cette relation soit une fonction (reelle).On sait que dans une fonction chaque element de l'ensemble de

depart doit avoir une image.Or, 1x n'est pas deni lorsquex= 0.0n'a donc pas d'image.On doit donc l'enlever de l'ensemble de depart pour que la relation soit une fonction.On a donc f:R!R x7!1x Denition 4.1L'ensemble de denitiond'une fonction fest

compose de tous les elements deRqui possedent une image.Autrement dit, il s'agit detous les nomb resp ourlesquels la

fonction est denie .On le noteED(f).Exercice 4.1Donner les ensembles de denition des fonctions suivantes.

1.f:x7!3x27x+ 3ED(f) =R2.f:x7!4x+ 3ED(f) =Rnf3g3.f:x7!4x

225ED(f) =Rnf5;5g4.f:x7!pxED(f) =R+5.f:x7!log(x)ED(f) =R+

Plus generalement :

1.

Si la fon ctionest

p olynomiale f(x) =anxn+an1xn1+:::+a1x+a0;tous les nombres ont une image.

Exemplef(x) = 4x73x+ 7ED(f) =R

2.

Si la fon ctionest

rationnelle : f(x) =N(x)D(x),il faut enlever

toutes les valeurs qui annulent le denominateurD(x).Exemplef(x) =x+1x4ED(f) =Rnf4g3.Si la fon ctionest irrationnelle : f(x) =pR(x),il faut enlever

toutes les valeurs pour lesquellesR(x)<0.Exemplef(x) =px7ED(f) =[7;+1[4.Si la fon ctionest loga rithmique: f(x) = loga(P(X)),il faut

enlever toutes les valeurs pour lesquelleP(x)0.Exemplef(x) = log22x ED(f) =] 1;2[

5. Etudes de fonction

Lorsque l'onetudie une fonctionf, les premieres etapes sont les

suivantes :1.Rechercher l' ensemble de dentionED(f)2.Rechercher le sz erosde la fonction (les valeur stelles que

f(x) = 0)3.Rechercher l' ordonnee a l'origine( f(0)) si02ED(f)4.Etudier le signe de la fonction (pa run tableau de signes)

L'etude de fonction nous renseigne sur sarepresentation graphique.1.L'ensemble de d enitionindique o ula fonction est d enie 2.

Les z erosindiquent

o ula courb etraverse l'axe des x3.L'o rdonnee al'o rigineindique o ula c ourbetraverse l'axe des y4.Le signe de la fonction indiq uesi la c ourbeest au-dessus (+)

ou au-dessous (-) de l'axe desx Exemple 5.1Etudier la fonctionf(x) =p1x2et esquisser son graphe.On commence par chercher ED(f).La fonction est denie lorsque

1x20,(1x)(1 +x)0Les zeros sont -1 et 1.On doit faire un tableau de signes :

x

1 +x1x1x2111+10++

++0 0+0 L'ensemble de denition est doncED(f) = [1;1].L'ordonnee a l'origine vautf(0)= p102= 1 En resume, l'ordonnee a l'origine vaut1et l'on a : x f(x)111+1xy 1-11 -1zerozeroordonnee a l'origine Exercice 5.1Etudier la fonctionf(x) =x34xet esquisser son graphe.C'est une fonction polynomiale, doncED(f) =R.On cherche les zeros (on resoudf(x) = 0) : x

34x= 0MEE

,x(x24)= 0PR[A2B2= (AB)(A+B)],x(x2)(x+ 2)= 0)S=f2;0;2gOn fait le tableau de signes : x x+ 2x x2f(x)1202+10+++ 0++ 0+ 0+00+

L'ordonnee a l'origine vaut

f(0)= 0

340= 0

xy 1-11 -1-202

Exemple 5.2Etudier la fonctionf(x) =x2+ 2x

21et esquisser son

graphe.On af(x) =x2+ 2x 21x

2+ 2(x+ 1)(x1).On a doncED(f) =Rnf1;1g.

On cherche les zeros (on resoudf(x) = 0) :

x

2+ 2 = 0

,x2+ 2|{z} <0= 0)S=;On fait le tableau de signes : x x

2+ 2x+ 1x1f(x)111+1+++

L'ordonnee a l'origine vautf(0)=02+ 2021=2.

xy 1-11 -1-11 -2 Exercice 5.2Sur la base des informations suivantes, esquisser le graphe def. On sait queED(f) =] 1;7[,f(0) =1etx f(x)1317+10+0 xy 1-11 -1-3-17-1

6. Continuite

Denition 6.1On dit qu'une fonction estcontinue en un p ointsi

on peut la "dessiner sans lever le crayon" au voisinage de ce point.Une fonction continue en tout point de son domaine de denition

est dite continue .xy 1-11 -1ab fest continue enaet enb.xy 1-11 -1ab fest continue enb mais discontinue ena. Denition 6.2La fonction "partie entiere" pour une valeurxest le nombre entierntel quenxn+ 1.On notef(x) = [x].Par exemple, [2:7] =2[3:515] =4[6] =6 Exemple 6.1Dessiner le graphe de la fonction reellef(x) = [x]. Est-elle continue?Non, elle estdiscontinue p ourchaque x2Z.xy 1-11 -1 Remarque 6.1La notion de continuite n'a de sens qued ansle domaine de denition de la fonction. Il ne faut donc pas confondre discontinu en un point et non-d enien un p oint .Exemple 6.2Esquisser le graphe de la fonctionf(x) =3x2. Est-elle continue?Oui, elle est continue. En eet, elle n'est pas denie en2, mais ellecontinue en tous les p ointsde son domaine de denition ( ED(f) =Rnf2g).xy 1-11 -1quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14