TD :NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool
Exercice10 : dans le plan complexe on considére le nombre complexe U et soit l’image du nombre complexe z et on pose : U z i z 21 Et z x yi avec x et y 1)écrire en fonction de x et y la partie réel et la partie imaginaire de 2) Déterminer l’ensemble ' des points (????) du plan tels que : est réel 3) Déterminer l’ensemble C
TD :NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - AlloSchool
Exercice10 : dans le plan complexe on considére le nombre complexe U et soit M l’image du nombre complexe z et on pose : U z i z 21 Et z x yi avec x et y 1)écrire en fonction de x et y la partie réel et la partie imaginaire de 2) Déterminer l’ensemble ' des points (????) du plan tels que : est réel 3) Déterminer l’ensemble C
exercice Nombres complexes
4°)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v) A tout nombre complexe z non nul on associe les points M, M1 et M2 d’affixe respectives z, ωz et ω2z Montrer que OMM1M2 est un losange EXERCICE N°16 Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v)
Nombres Complexes 4ème Mathématiques
3) Un argument du nombre complexe (1 + )2013 est : ) ???? 4 ) 3???? 4 Exercice 12 Soit le nombre complexe tel que =−1 2 +√3 2 1) a) Mettre sous la forme exponentielle 2b) En déduire sous la forme exponentielle 2) a) Vérifier que 1, 3et 2 sont solution de l’équation =1
1Nombres complexes 2014
2 Soit Z le nombre complexe tel que zZ z1 2 Ecrire Z sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique 3 Déduisez-en les valeurs exactes de 13 cos 12 et 13 sin 12 Exercice 6 On considère le nombre complexe z 1 i 3 1 Déterminer la forme trigonométrique de z ; z; z2 et z 2 2 Montrer que z2016 est un réel 3
TS Ex sur les nombres complexes 2
On applique la formule qui définit le module d’un nombre complexe : 2 2 Le module d’un nombre complexe a b i où a et b sont deux réels est le nombre a b2 2 Consigne de soin : tirer les traits de fraction à la règle z1 4 i 3 2 2 z1 4 3 z1 16 3 z1 19 3 2 1 1 i 2 4 z 2 2 2 1 1 2 4 z
S Antilles-Guyane juin 2017 - Meilleur en Maths
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct On considère l'équation (E) : z4+2z3−z−2=0 ayant pour inconnue le nombre complexe z 1 Donner une solution entière de (E) 2 Démontrer que pour tout nombre complexe z, z4+2z3−z−2=(z2+z−2)(z2+z+1) 3 Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes 4
Antilles Guyane 2017 Enseignement spécifique
Antilles Guyane 2017 Enseignement spécifique EXERCICE 1 : corrigé 1) 14 +2×13 −1−2 = 1+2−1−2 = 0 Donc, 1 est une solution entière de l’équation (E) 2) Pour tout nombre complexe z,
Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Antilles-Guyane
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct On considère l’équation ( ')∶ V 8+2 V 7−−2=0 ayant pour inconnue le nombre complexe V 1 Donner une solution entière de () 2 Démontrer que, pour tout nombre complexe V, V 8+2 V 7−−2=( V 6+−2)( V 6++1) 3
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ESSENTIEL 2 : Nombres complexes (forme algébrique)
1. Connaître les formules
i2 = 1 Si z x iy avec x et y réels, alors z x iyPour tous nombres complexes a et b :
22( )( )a ib a ib a b
z réel Im(z) = 0 zz z imaginaire pur Re(z) = 0 zz Si z x iy avec x et y réels, alors22z x y
Enoncé 1 : f est la fonction définie de \{1} dans par f( z ) = i + 4 1 z z ; calculer f(2 3i)2. Savoir résoudre une équation
a) Du premier degré : az + b = 0 (a et b complexes) b) Avec z et z On ne sait pas résoudre directement une équation où interviennent en même temps z et zOn va donc : transformer z en x + iy,
se ramener à une égalité de deux complexes,utiliser la propriété : " deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même
partie réelle et même partie imaginaire » puis, résoudre un système de deux équations à deux inconnues (x et y) dans 3. c) Du second degré : az2 + bz + c = 0 (avec a, b et c réels, a non nul)On calcule le discriminant : = b2 4ac.
Si > 0, deux solutions réelles
2 b a et 2 b aSi = 0, une solution qui est
2 b a Si < 0, deux solutions complexes et conjuguées 2 bi a et 2 bi aEnoncé 2 :
Exercices corrigés : Livre de Mathématique de la classe (Math TS repère) voir page 152 : le paragraphe 4A :
résoudre des équations Enoncé 3 : Résoudre dans les équations suivantes : a) z2 + 2z + 3 = 0 b) i + 4 1 z z = 2A savoir
3. Savoir utiliser les nombres complexes pour résoudre un exercice de géométrie
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; ,uv z x iy ; y) et on a OM = z (le module représente donc une distance réel positif). es Az et Bz alors AB = BAzzRappels de géométrie :
ABC est un triangle isocèle en A AB = AC
B A C Az z z z
ABC est un triangle équilatéral AB = BC = CAB A C B A Cz z z z z z
ABC est un triangle rectangle en A AB2 + AC2 = BC2ABC est un triangle rectangle en A
AB ACABCD est un parallélogramme
AB DC (ou AD BCB A C Dz z z z
(ouD A C Bz z z z
ABCD est un parallélogramme [AC] et [BD] ont le même milieu ACBD 22zzzz ABCD est un rectangle ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit ABCD est un rectangle ABCD est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur (AC = BD)
ABCD parallélogramme et
C A D Bz z z z
ABCD est un losange ABCD est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (par exemple AB = BC)ABCD parallélogramme et
B A C Bz z z z
ABCD est un losange ABCD est un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires. ABCD est un carré ABCD est un losange ET un rectangle Enoncé 4 : Les points A, B, C ont pour affixes respectives a = -4, b = -1 + i3 et c = -1 i3 . Montrer que le triangle ABC est équilatéral. Enoncé 5 : Les points A, B et C ont pour affixes : A1zB3 4iz
etC3 4iz
a) b) Montrer que ABDC est un carré.4. Nombres complexes et ensemble de points.
Az z r
avec r > 0 ; est le cercle de centre A de rayon r.ABz z z z
est la médiatrice de [AB].Enoncé 6 : Dé :
a) 2izz b)1 2i 2z
c) i + 411 z zCorrection
Enoncé 1 : f( 2 3i ) =
22i(2 3i) + 4 2i 3 4 7 2i (7 2i)(1 3i) 7 21i 2i 6 13 19i2 3i 1 1 3i (1 3i)(1 3i) 1 3 10 102 3i 1
Enoncé 3 :
a) z2 + 2z + 3 = 0 = b2 4ac.= 4 12 = 8 ; complexes et conjuguées : 1 i 2 2i 21 i 222 bza et211 i 2zz
1 i 2 ; 1 i 2
b) i + 4 1 z z = 2 est possible à condition que1 0 1 1z z z
i + 4 1 z z = 2 i z + 4 = 2 ( 1z i z 2 z = 6 (1)On pose
iz x y avec x et y réels et on reporte dans (1) : (1) i (x + i y ) 2 (x i y) = 6 ( y 2 x ) + ( x + 2 y ) i = 6Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire ;
2 6 4 6 2
2 0 2 4
x y y y y x y x y x et 4 2i 1 donc S = `4 2 iEnoncé 4 :
AB =221 i 3 4 3 i 3 3 3 12 2 3()ba
AC =1 i 3 4 3 i 3 3 i 3 3 i 3 2 3ca
BC =1 i 3 1 i 3 2i 3 2 3cb
donc AB = AC = BC : le triangle ABC a ses trois côtés de même longueurEnoncé 5 :
a) ABDC est un parallélogramme AB CDB A D Cz z z z
3 + 4i + 1 = zD 3 + 4i zD = 4 + 4i + 3 4i = 7.
b) AB =3 4i 1 4 4i 16 16 4 2
AC =3 4i 1 4 4i 16 16 4 2
Donc AB = AC : le parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur : BC =3 4i 3 4i 8i 8
donc AB2 + AC2 = 32 + 32 = 64 = 82 = BC2 thagore, le triangle ABC est rectangle en A, donc le losange ABDC a un angle droit(on peut aussi montrer que AD = BC : un losange ayant ses diagonales de même longueur est un carré)