COEFFICIENTS BINOMIAUX - bagbouton
COEFFICIENTS BINOMIAUX A Définition et premières propriétés 1) Définition Pour tous entiers naturelsn etp, on appelle combinaison de p parmin (ou simplement p parmi n) le nombre noté n p égal à 1 1 si 0 , 1 1 si ,0 nn n p n p n p p p n p p n
COEFFICIENTS BINOMIAUX - bagbouton
COEFFICIENTS BINOMIAUX A Définition et premières propriétés 1) Définition Pour tous entiers naturelsnet p, on appelle combinaison de p parmin(ou simplement p parmi n) le nombre noté n p æ ö ç ÷ Ł ł égal à ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 si 0 , 1 1 si ,0 n n n p n p n p p p n p p n ì - - + ï £ £ = í - - ï î > Remarque
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III Coefficients binomiaux 1°) Définition On répète n fois une épreuve de Bernoulli dans des conditions identiques indépendantes k est un entier tel que 0 k n Le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions sur l’arbre de Bernoulli est noté n k 2°) Coefficients binomiaux particuliers 0 1 0 1 0 n
Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux
SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX (JE SAIS FAIRE) 1 SOMMES ˙ Je sais, quand je suis perdu face à une somme, que cela peut m’aider de la développer in extenso En particulier, je sais ce qui m’est permis et ce qui m’est interdit avec les sommes : Xn k=0 (a k +b k), Xn k=0 a k b k, n k=0 λa k et ‚ n k=0 a k Œ p ˙Je sais que
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On a une somme avec des coefficients binomiaux à simplifier : il faut immédiatement penser au binôme de Newton A = ‚n k=0 (n k) 2k1n k = (2+1)n = 3n: Pour la question suivante, on a une somme encore une somme avec un coefficient binomial, mais les indices de
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Fiche sur la loi binomiale
I. Épreuve de Bernoulli
succès S SP pépreuve de Bernoulli
échec S S 1P - p q )
II. Schéma de Bernoulli
Schéma de Bernoulli : répétition d'une même épreuve de Bernoulli dans des conditions identiques
indépendantesReprésentation graphique : arbre de Bernoulli
III. Coefficients binomiaux
1°) Définition
On répète n fois une épreuve de Bernoulli dans des conditions identiques indépendantes. k est un entier tel que 0 k n.Le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions sur l'arbre de Bernoulli est noté n
k2°) Coefficients binomiaux particuliers
010 10 n 1 nn 1n n3°) Utilisation de la calculatrice
Exemple : calcul de 32
2TI 83 Plus
math PRB 32 nCr 2 = 496TI 84 Plus
32 math PRB Choisir 3 COMBINAISON 2 entrer 496
Casio Graph 35 +
On utilise les touches OPTN , F6 , F3 .
4°) Propriétés des coefficients binomiaux
Formule de symétrie : n n
k n kFormule de Pascal : 1
1 1 n n n k k k5°) Le triangle de Pascal
1 1 1 1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1
6°) Formule (hors programme)
nn k k n kIV. Nombre de succès
1°) Propriété
SP p SP q
n : nombre de répétitions X : nombre de succès à l'issue des n épreuves de BernoulliP (" obtenir EXACTEMENT k succès »)
k {0 ; 1 ; ... ; n} = k n knp qk
P (X = k)
2°) Vocabulaire
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n (nombre d'épreuves de Bernoulli) et p (probabilité d'un
succès).