Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Le majorant et le major e Dans l’in egalit e ˇ 3:15 3:15 est le majorant et ˇest le major e On dit aussi que 3:15 majore ˇ Il y a aussi le point de vue sym etrique 3:15 est le minor e et ˇest le minorant On dit alors que ˇminore 3:15 Le major e ou le minor e est le nombre auquel on s’int eresse, selon le point de vue
Daniel ALIBERT Relations dordre Entiers Anneaux et corps
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 3 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours
Fiche Technique : Majorant - Minorant
PremièreAnnéeàDistance-ModuleAnalysedeFourier-Majorant/Minorant 1 Fiche Technique : Majorant - Minorant Dans la première partie de cette fiche, nous allons mettre en évidence quelques techniques pour trouver un majorant ou un minorant d’une fonction donnée Dans la deuxième partie, nous présenterons comment il est possible de
Ex 1 - Free
MPSI 2 : Exercices 12 1 R´eels Ex 1 facile Majorer et minorer pour n ≥ n0 (`a d´eterminer), les suites suivantes par des suites de la forme c np (avec le mˆeme exposant pour la majoration et la minoration)
Bornes supérieures et inférieures
(2)montre que 1est un majorant de , la borne supérieure étant le plus petit des majorants donc sup( ) Q1 Si on pose = 2 2+ 2 = 2 2 2 2 =1 Cela montre que sup( ) R1 Par conséquent sup( )=1 Il s’agit d’un maximum car cette borne supérieure est dans Allez à : Exercice 6 : Correction exercice 7 : 1 2 2 +3 <
Encore une récurrence - wwwnormalesuporg
Mest un majorant de A; et 8 >0; 9x2Ajx>M Cette arcactérisation est très pratique et ourrpa être utiliseé dans les exercices suivants Exercice 10 Soient Eet Fdes parties non vides et bornées de R, telles que E F Montrer que inf F inf E supE supF: 2
Institut Camille Jordan
Avec tous ces efforts on a identifi´e un minorant de F a savoir -5/7 et un majorant a savoir -1/26 Maintenant si on a suivi, on se rend bien compte que le premier est un ´el´ement de F parce qu’on l’obtient en prenant x =2ety = −2 tandis que le second est un ´el´ement de F parce qu’on l’obtient en prenant x =0ety = −3
Mathematiques ´ - ECS1
Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure d’une par-tie non vide de R Quand il existe, le maximum de A coincide avec la borne supérieure de A Théorème de la borne supérieure Résultat admis Partie entière d’un réel Notation bxc La notation E(:) est réservée à l’espérance mathématique
Corrig e feuille d’exercices 3 - École Polytechnique
Corrig e feuille d’exercices 3 Nombres r eels Exercice 1 On montre par l’absurde que p 2 est irrationnel Supposons que p 2 est rationnel Il existe p2Z et q2N , premiers entre eux, tels que p 2 = p q ce qui implique que p2 q2 = 2 et donc p2 = 2q2 donc p2 est pair, or, un entier et son carr e sont des m^emes parit es (voir 5) de l
Propriétés de R - Cours et exercices de mathématiques
Indication pourl’exercice1 N 1 Raisonner par l’absurde 2 Raisonner par l’absurde en écrivant p 2 = p q avec p et q premiers entre eux Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs
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Majorer, minorer, encadrer
DedouFevrier 2012
Encadrer un nombre par deux nombres
Face a un nombre qu'on ne conna^t pas super bien, comme, on l'encadre :3:143:15
Cet encadrement se decompose en
3:15 dont on dit que c'est une majoration (de) et 3:14 dont on dit que c'est une minoration (de).Le majorant et le majore
Dans l'inegalite3:153:15 est le majorant etest le majore. On dit aussi que 3:15 majore.Il y a aussi le point de vue symetrique3:15 est le minore etest le minorant. On dit alors queminore
3:15.Le majore ou le minore est le nombre auquel on s'interesse, selon le
point de vue.Encadrer une fonction par deux nombres
On encadre (majore, minore) un nombre qu'on ne conna^t pas super bien, commee. On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction. Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions.ExempleLa fonctionx7!1x
2+1est comprise entre 0 et 1.Exo corrige
Encadrer la fonction sinus (par deux nombres).
Encadrer une expression par deux nombres : exemple Parfois, on veut encadrer (majorer, minorer) une expression dependant d'une variable (par des nombres ne dependant pas de cette variable). Encadrer l'expressionf(x) pourx2I, c'est pareil qu'encadrer la fonctionf(restreinte aI).ExemplePourx2[1; ], sinxest compris entre 0 et 1.
Encadrer une expression par deux nombres : exo
Exo 1Encadrerx2+ 1 pourx2[2;3].
Encadrer une fonction par deux fonctions
Parfois, on veut encadrer une fonction par deux autres.Exemple
La fonctionx7!x3+ sinxest encadree par les deux fonctions croissantesx7!x31 etx7!x3+ 1.Exo corrigeEncadrerx7!exsinxpar deux fonctions monotones.
Encadrer= majorer + minorer
Majorer et minorer, c'est pareil, au sens des inegalites pres.Majorer et minorer, c'est pareil
y'a que le sens de l'inegalite qui change.Si on sait majorer, on sait minorer,
et comme "encadrer" c'est "majorer" plus "minorer", on sait aussi encadrer.On va donc surtout parler de "majorer", mais il faudra savoir adapter a "minorer".Majorer versus comparer
La dierence entre majorer et comparer, c'est qu'on a deux nombres (ou fonctions) dans le second cas, et un seul dans le premier.MajorerA, c'estd'abord trouver/choisirMpuis prouverAM.Majorer une fonction
Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure.Exemple Une fonctionfayant le TV suivant est majoree par 70.x1 7 3 4 +14 66 f(x)% & % &27 1Exo corrige
Minorer la fonction precedente au vu de son TV.
Plus petit majorant
x1 7 3 4 +14 66 f(x)% & % &27 1Au vu du TV ci-dessus
dire que la fonction est majoree par 70 c'est juste mais debile. La bonne info, c'est que son plus petit majorant est 66.Exo corrige
Quel est le plus grand minorant de cette fonction?Majorants et operations
Proposition
SiMest un majorant defetNun majorant deg, alors
M+Nest un majorant def+g.SiMest un majorant defetNun majorant deg,avecfet gpositives, alorsMNest un majorant defg.SiMest un majorant defetNunminorant strictement positifdeg,avecfetgstrictement positives, alorsMN est un majorant de fg .SiMest un majorant def, alorsMest un minorant def.Majorer une somme
Pour majorerf+g,on majorefetg, puis on ajoute les majorants.Exemple Pour majorerx2+ sinxavecx2[3;2], je majorex2par 9 et sinxpar 1, et je conclus que la somme est majoree par 10.Exo corrigeMajorerx2+x3avecx2[4;1].
Majorer un produit de positifs
Pour majorerfg,avecfetgpositives,on majorefetg, et on multiple les majorants.Exemple Pour majorerx2exavecx2[3;2], je majorex2par 9 etexpar 32= 9, et je conclus que le produit est majore par 81.Exo corrige
Majorer (x+ sinx)(7x) avecx2[2;4].
Majorer un produit quelconque
Pour majorerfg,avecfetgquelconques,on utilise quefgest majore par sa valeur absoluejfgjqui est aussi le produit de positifsjfj:jgj.Exemple Pour majorerx2sinxavecx2[3;2], je majorex2(qui est positif donc egal a sa valeur absolue) par 9 etjsinxjpar 1, et je conclus que le produitx2sinxest majore par 9.Exo corrigeMajorerexcosxavecx2[3;2].
Majorer une valeur absolue
Il faut donc savoir majorer une valeur absolue, et en particulier lavaleur absolue d'une somme ou d'une dierence.Pour majorerjf+gjoujfgj,on majorejfjetjgj, puis on ajoute les majorants (m^eme chose
pourjfgj).Exemple Pour majorerx2sinxavecx2[3;2], je majorex2(qui est positif donc egal a sa valeur absolue) par 9 etjsinxjpar 1, et je conclus que le produitx2sinxest majore par 9.Exo corrige