ch10-Agrandissement et reduction
I NOTION D ’AGRANDISSEMENT ET REDUCTION Faire un agrandissement d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k plus grand que 1 Exemple : Le 2 ème triangle est un agrandissement du 1 er, les longueurs ont été multipliées par 1,5 En effet : 3 × 1,5 = 4,5 4 ×1,5 = 6 et 5 ×1,5 = 7,5 Le coefficient d
Plan de travail Ch10 La proportionnalité
Ch10 La proportionnalité → Objectifs ‣ reconnaî˙tre une situation de proportionnalité ‣ résoudre un problème de proportionnalité ‣ utiliser les propriétés de la proportionnalité ‣ agrandir ou réduire une figure NB : aider mes camarades à mémoriser le cours Temps nécessaire prévu : 5 séances → Travail
La proportionnalité pourront prendre contact avec moi ou avec
Complément pour l'exercice "agrandissement et puzzle (début de la partie 2 du plan de travail) : → réaliser les deux premières étapes en réalisant les 4 rectangles et en reconstituant un carré avec ces 4 rectangles Coller le carré sur votre cahier d'exercices
I- Symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation
Ch10 : Transformations I- Symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation • La figure obtenue en faisant une transformation est appelée l'image de la figure de départ • Tableau des transformations permettant de superposer deux figures : Transformation Éléments caractéristiques Action M est un point sur la figure
Ch20 Homothéties - exercices - WordPresscom
Agrandissement ou non a Construis deux quadrilatères ayant leurs angles respectifs de même mesure et qui pourtant ne sont pas un agrandissement (ou une réduction) l'un de l'autre b Peux-tu répondre à la même question avec des triangles à la place des quadrilatères ? Agrandir, réduire a Si tu réduis deux fois une figure puis que
Numéro Intitulé de la compétence
Liste des compétences à maîtriser pour les contrôles du chapitre 10 TRANSFORMATIONS Numéro Intitulé de la compétence n°1 Reconnaître par quelles transformations une figure est l'image d'une autre figure
Transformer une figure par symétrie, translation ou rotation
1 MIRO est-il un agrandissement ou une réduction de PAUL ? 2 Quelle est la nature du quadrilatère MIRO ? 3 Calculer le périmètre du quadrilatère MIRO 4 Calculer l aire du quadrilatère MIRO Solution 1 3 1 donc MIRO est un agrandissement de PAUL 2 L homothétie conserve les angles, PAUL est un rectangle, donc MIRO est un rectangle 3
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Page 1 sur 7 C
HAPITRE 10 AGRANDISSEMENT ET REDUCTION I. NOTION D"AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
▪ Faire un agrandissement d"une figure c"est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k plus grand que 1.Exemple :
Le 2 ème triangle est un agrandissement du 1er, les longueurs ont été multipliées par 1,5 En effet : 3 ´ 1,5 = 4,5 4´1,5 = 6 et 5´1,5 = 7,5. Le coefficient d"agrandissement k est égal à 1,5.▪ Faire une réduction d"une figure c"est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k
plus grand compris entre 0 et 1.Exemple :
Le 2ème triangle est une réduction du 1er, les longueurs ont été divisées par 2. On préfère dire
qu"elles ont été multipliées par 1 2.En effet : 4 ´ 1
2 = 2 6´ 1 2 = 3 et 8´ 1 2 = 4 Le coefficient d"agrandissement k est égal à 12 c"est-à-dire à 0,5.
Page 2 sur 7
▪ Calcul du coefficient k :Coefficient d"agrandissement = Longueur agrandie
Longueur initiale
Coefficient de réduction = Longueur réduiteLongueur initialeDans le 1
er exemple : k = 4,5 3 = 6 4 = 7,51,5 = 1,5.Dans le 2
ème exemple : k = 2
4 = 3 6 = 4 8 = 1 2 II. EFFET SUR LES ANGLES
Dans un agrandissement ou une réduction, les angles sont conservés. Les angles les deux triangles du premier exemple du paragraphe I son égaux, de même pour les triangles du deuxième exemple.III. E
FFET SUR LES AIRES
A. ACTIVITE
▪▪▪▪ Quand on agrandit une figure, l"aire aussi augmente mais pas de la même façon que les
longueurs.Considérons les deux rectangles ci-dessous :
Il est clair que le 2
ème est un agrandissement du 1er de coefficient 3.Que se passe-il pour les aires ?
1cm´2cm = 2 cm² 3cm ´ 6cm = 18 cm²
L"aire du 1
er est égale à 2 cm² et celle du 2ème est égale à 18 cm².L"aire a été multipliée par 9 !
Page 3 sur 7 Explication :
Chacune des deux dimensions du petit rectangle est multipliée par 3. Son aire, qui est le produit des deux dimensions, est donc multipliée par 3´3 c"est-à-dire par 9. ▪ Autre exemple : Considérons un rectangle quelconque de longueur L et de largeurFaisons un agrandissement de coefficient 10.
Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas l"aire ! Il est facile de démontrer que l"aire du grand rectangle est 100 fois plus grande.En effet :
L"aire du petit rectangle est égale à L
La longueur du grand est 10L et sa largeur 10?.
L"aire du grand est égale à 10L
´ 10? soit 10´´´´10´´´´ L´´´´ ? soit 100 L´´´´ ? c"est-à-dire 100 fois
l"aire du petit.▪ Cas d"une réduction : le principe est le même. Revenons au premier exemple de l"activité. On
peut dire aussi que le petit rectangle est une réduction du grand de coefficient13. L"aire du petit
est égale à l"aire du grand multipliée par 1 3 ´1 3 soit 1 9 B. THEOREME (ADMIS)
Si les longueurs d"une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors l"aire est multipliée par k2. IV. EFFET SUR LES VOLUMES
A. ACTIVITE
▪▪▪▪ De la même façon, lors d"un agrandissement, le volume n"augmente pas de la même façon que
les longueurs.Considérons les deux cubes ci-dessous :
Il est clair que le 2
ème est un agrandissement du 1er de coefficient 3.Que se passe-il pour les volumes?
1 cm 3 cm
Page 4 sur 7 1cm´1cm´1cm = 3 cm
3 3cm ´ 3cm ´ 3cm = 27 cm3
Le volume du 1
er est égal à 3 cm3 et celui du 2ème est égal à 27 cm3.Le volume a été multiplié par 27 !
Explication :
Chacune des trois dimensions du petit cube est multipliée par 3. Son volume qui est le produit des trois dimensions, est donc multipliée par 3´3´3 c"est-à-dire par 27. ▪ Autre exemple : Considérons un pavé quelconque de longueur L, de largeur ? et de hauteur h.Faisons un agrandissement de coefficient 10.
Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas le volume ! Il est facile de démontrer que le volume du grand pavé est 1000 fois plus grand.En effet :
L"aire du petit rectangle est égale à L
´ ? ´ h.
La longueur du grand est 10L, sa largeur 10? et sa hauteur 10h.Le volume du grand est égal à 10L
´ 10? ´ 10h soit 10´10´10´ L´ ? ´ h soit 1000 L´ ? ´ h c"est-à-dire 1000 fois le volume du petit. B. THEOREME (ADMIS)
Si les longueurs d"une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors le volume est multiplié par k3. V. R ESUMEDans un agrandissement de coefficient k :
k = Longueur agrandieLongueur initiale
k > 1Longueur agrandie = Longueur initiale
´ k
Aire agrandie = Aire initiale
´ k2
Volume agrandi = Volume initial
´ k3
Dans une réduction de coefficient k :
k = Longueur réduiteLongueur initiale0 < k < 1
Longueur réduite = Longueur initiale
´ k
Aire réduite = Aire initiale
´ k2
Volume réduit = Volume initial
´ k3
Page 5 sur 7 VI.
APPLICATIONS
▪ Enoncé1 : La maquette d"une maison a une hauteur de 30 cm, une surface au sol d"aire 1,2 m² et un volume de 0,3 m3. La maison réelle est un agrandissement de la maquette.
Le coefficient d"agrandissement est 10.
Calculer la hauteur réelle H, l"aire A de la surface réelle au sol et le volume réel V.Solution :
Le coefficient d"agrandissement est 10 donc :
H = 30 cm
´ 10 = 300 cm = 3 m
A = 1,2 m²
´ 10² = 1,2 m² ´ 100 = 120 cm²
V = 0,3 m
3 ´ 103 = 0,3 m3 ´ 1000 = 300 cm3
▪ Enoncé 2 : Un objet a une hauteur de 2 m et un volume V égal à 120 dm 3. Un autre objet est une réduction du premier. Sa hauteur est égale à 1,60 m. a) Calculer le coefficient de réduction. b) Calculer son volume V".Solution :
a) Soit k le coefficient de réduction. k = Longueur réduiteLongueur initiale = 1,62 = 0,8 (Il s"agit d"une réduction, k est bien plus petit que 1).
b) V" = V ´´´´ k3 = 120 dm3 ´ 0,83 = 61,44 dm3 ▪ Enoncé 3 : Un rectangle a une aire A égale à 12 cm² et les diagonales de longueur 5 cm. On réalise un agrandissement de ce rectangle de façon que les diagonales aient une longueurégale à 8 cm.
a) Calculer le coefficient d"agrandissement. b) Calculer l"aire A" du grand rectangle.Solution :
a) Soit k le coefficient d"agrandissement. k = Longueur agrandieLongueur initiale
= 8 5 = 1,6 (Il s"agit d"un agrandissement, k est bien plus grand que 1). b) A" = A ´´´´ k2 = 12 cm2 ´ 1,62 = 30,72 cm2Page 6 sur 7
▪ Enoncé 4 :La Tour Eiffel, qui est construite en fer, mesure environ 300 m de haut et sa masse M est égale à
8 000 tonnes. On fabrique maquette en fer de 1 m de haut.
a) Calculer le coefficient de réduction. b) Calculer la masse M" de la maquette (le coefficient de réduction des masses est le même que celui des volumes.Solution :
a) Soit k le coefficient de réduction. k = Longueur réduiteLongueur initiale = 3300 = 1
100 = 0,01 (Il s"agit d"une réduction, k est bien plus petit que 1).
b) Il en va des masse comme des volumes donc :M" = M
´´´´ k3 = 8 000 tonnes ´ 0,013 = 0,008 tonnes = 8 kg.VII. S
ECTION D"UN PYRAMIDE OU D"UN CONE
A. THEOREME (ADMIS)
Lorsqu"on coupe une pyramide (ou un cône) par un plan parallèle à la base on obtient une petite
pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction due la grande pyramide (du grand cône). Le coefficient de réduction k est égal à SA"