cours MAP : Math´ematiques Appliqu´ees DIIC 1ere ann´ee
Les mod`eles math´ematiques sont d´efinis dans l’ensemble R des nombres r´eels Mais les calculs se font sur ordinateur, qui ne disposent que d’une m´emoire finie et ne peuvent donc pas stocker l’infinit´e des nombres r´eels Ce cours introduit les notions de calcul flottant et d’erreurs de calcul
Mathématiques appliquées à l’informatique - Cours Tech Info
Base 2 Incontournable en informatique Sans elle ce cours n’aurait pas lieu Base 16 Ressemble fort au binaire = notation plus concise pour nous « humain » Base 8 Cette base, l’octal, était plus en vogue aux débuts de la micro-informatique
COURS ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION INFORMATIQUE
• Introductipon a la science informatique G Dowek Ed RPA 2010 • Eléments pour une histoire de l’informatique, D E Knuth CSLI Publications 2011 • Cours et exercices corrigés d’algorithmique- J Julliand Ed Vuibert Fev 2010 • Algorthmique méthodes et modèles , P Lignelet Ed Masson 1988
Cours Algebre et Analyse I` - التعليم الجامعي
Universite 8 Mai 1945 - Guelma´ Dr HITTA Amara Cours Algebre et Analyse I` Conformement aux programmes´ LMD : DEUG I–MI/ST– 2008/2009 Mathematiques et informatique´
Exo7 - Cours de mathématiques
Une fonction en informatique est similaire à une fonction mathématique, c’est un objet qui prend en entrée des variables (dites variables formelles ou variables muettes, ici n) et retourne une valeur (un entier, une liste, une chaîne de caractères, ici n(n+1) 2) 3 Voici la fonction qui retourne la somme des cubes : Code 4 (somme
Cours d’algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques
Ceci est un avant projet d’un manuel de la partie Algèbre du cours de Mathématiques de premières années LMD Sciences et techniques et Mathématiques et informatique Il peut aussi être utilement utilisé par les étudiants d’autres paliers aussi bien en sciences et sciences et techniques que ceux de Biologie, Sciences économiques ou
Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre - unicefr
Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d’un nombre r´eel D´efinition 1 2 1 (nombre r´eel) Un nombre r´eel est une collection de chiffres {c 0, ,c m} et {d 1,d 2, } compris entre 0 et 9 Les chiffres c i sont en nombre fini et les chiffres d j peuvent ˆetre en nombre infini
Cours d’Analyse Semestre 1
8 CHAPTER 1 LES NOMBRES REELS Pour le cas A= fq2Q; q2
[PDF] math jeux
[PDF] Math jpense avoir trouver vous pouvez valider ;)
[PDF] math la distribitivité
[PDF] math la distributivité
[PDF] Math lecons brevet 2011
[PDF] math les equation
[PDF] math les expressions a developper
[PDF] math les limites
[PDF] math les probabilite aider moiiii
[PDF] math logique 2nde
[PDF] math meaning
[PDF] math moderne exercice
[PDF] MATH n3 cned seconde
[PDF] Math Nombre Relatifs Multiplication Division
Cours d"analyse 1
Licence 1er semestre
Guy Laffaille
Christian Pauly
janvier 2006 2Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels et complexes 5
1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2 Logique et langage des ensembles 15
2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3 Suites r´eelles et complexes 21
3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4 Fonctions d"une variable r´eelle 39
4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
5 D´eveloppements limit´es 55
5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
34TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63
6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
7 Corrig´e des exercices 69
Remerciements.
Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.Chapitre 1
Les nombres r´eels et complexes
1.1 Nombres rationnels
On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}.
Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.
Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.
On cr´ee ainsi de nouveaux nombres
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.On a bien entendu les inclusions suivantes
N?Z?Qet les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres
rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA56CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC
b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme dePythagore dit qu"on a la relation
a2=b2+c2.
Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.
Proposition 1.1.1Le nombre
⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a
2b2=a2.
Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b2= 2a?2.
C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2
e= 1 +11! +12! +13! +···+1k!+···3.Les racines carr´es ⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas de la formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.2Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1 voir section 2.3.32Par d´efinitionn! = 1·2·3···n
1.2. NOMBRES R
´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposons
donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels que e=ab = 1 +11! +12! +13! +···+1n!+··· Multiplions parb!. Alors on obtient l"´egalit´e ab b!-? b! +b! +b!2! +b!3! +···+b!b!?1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···
Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme, qu"on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l"encadrement suivant des0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.
Cette derni`ere somme infinie vaut
1b+1·11-1b+1=1b
d"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l"encadrement0< s <1b
ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par
exemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.Par contre l"irrationalit´e de
⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).1.2 Nombres r´eels
La proposition 1.1.1 dit que
⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire commequotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"un
d´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356...Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0,...,cm}et
{d1,d2,...}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetreen nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppement
d´ecimal x=cmcm-1...c1c0,d1d2d3...dn....Exemples.
8CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXES1.Les d´ecimales du nombreπsont
c0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1,....2.S"il n"y a qu"un nombre fini de d´ecimalesdjnon nulles, alors le r´eelxest un rationnel et
x=cm10m+cm-110m-1+···+c110 +c0+d110-1+···+dn10-n(xest rationnel, car c"est une somme de rationnels).3.Un nombre rationnel admet un d´eveloppement d´ecimal, donc est r´eel. On a
13= 0,3333...(que des 3)Th´eor`eme 1.2.1Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est
p´eriodique `a partir d"un certain rang. Nous admettons ce r´esultat. On peut se convaincre que c"est vrai en effectuant une division dedeux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu"il n"y a qu"un nombre fini de possibilit´es pour
les restes, donc ¸c`a boucle.Remarques.1.Cette d´efinition nous suffira pour ce cours mais elle n"est pas tr`es satisfaisante. D"abord un
nombre r´eel peut avoir deux d´eveloppements d´ecimaux distincts. Par exemple 1 = 0,9999... (toujours des 9). On peut pour s"en convaincre ´ecrire0,9999···=910
1 +110
+···+110 n···? On voit qu"on a affaire `a un progression g´eom´etrique et on peut utiliser la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique11-a= 1 +a+a2+···+an+···(1.1)
vraie pour tout r´eelatel que|a|<1 (ici on prenda=110.)2.Cette d´efinition fait r´ef´erence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num´eration,
ce qui donnerait une d´efinition ´equivalente d"un nombre r´eel.3.Les op´erations addition, multiplication,... ne sont pas si faciles que l"on pourrait le penser
`a cause du probl`eme des retenues.4.Il existe des constructions plus intrins`eques de l"ensemble des r´eels. Ces constructions d´epassent
le cadre de ce cours.5.Il est impossible de d´efinir rigoureusement le nombreπpar son d´eveloppement d´ecimal. Il
faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´ecimales deπ! Donner unevaleur approch´ee (utilis´ee dans le calcul num´erique) d"un nombre r´eel, aussi bonne qu"elle
soit, n"est pas une d´efinition au sens math´ematique. L"ensemble des r´eels sera not´eRet l"on a les inclusionsN?Z?Q?R.
On notera tr`es souventR?l"ensemble des r´eels non nuls. r´eels.1.2. NOMBRES R
´EELS9D´efinition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´ee)siAa un minorant.3.Si la partieAest major´ee et minor´ee, on dit queAestborn´ee.D´efinition 1.2.3 (intervalle, segment)
aussi que[a,b]est un segment.2.On note]a,b[l"ensemble des r´eelsxtels quea < x < b. C"est un intervalleouvert.
On d´efinit de mˆeme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a,b[ et ]a,b]. On introduit aussi le
Exemples.-1,23,πsont des majorants du segmentA= [0,1]. 1 est un majorant deA= [0,1[.-L"intervalle [a,+∞[ n"a pas de majorant.Th´eor`eme 1.2.2 (Propri´et´e d"Archim`ede)Soientxetydeux r´eels>0, alors il existe un
entierntel queny > x.Nous ne d´emontrons pas cette propri´et´e. Elle dit qu"en faisant assez de pas de longueuryon
d´epassex. D"ailleurs avec notre d´efinition des r´eels la propri´et´e d"Archim`ede est ´evidente, ce qui
est loin d"ˆetre le cas quand on d´efinit un nombre r´eel de mani`ere intrins`eque.D´efinition 1.2.4 (borne sup´erieure, borne inf´erieure)SoitAune partie non vide deR(ou
le minimum de l"ensemble des majorants deAetborne inf´erieuredeAle maximum de l"ensemble des minorants deA.Avant d"´enoncer le th´eor`eme d"existence de la borne sup´erieure dansR, montrons que la borne
sup´erieure n"existe pas toujours. On se place dansQmuni de l"ordre naturel.Proposition 1.2.1Consid´erons la partieA={x?Q|x2<2}. AlorsAn"a pas de borne
sup´erieure dansQ. D´emonstration.SoitMun majorant deAdansQ. Il y en a : 2,127 en sont. Posons M ?=M2+ 22M. Nous allons v´erifier queM?est un autre majorant (dansQ) et queM?< M, ce qui prouve qu"il n"y a pas de plus petit majorant. Montrons queM?est un majorant : il suffit de voir queM?2>2. On calcule M ?2-2 =(M2+ 2)24M2-2 =M4-4M2+ 44M2=(M2-2)24M210CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESqui est bien strictement positif. En effetM2-2?= 0, car sinon⎷2 serait rationnel (voir proposition
1.1.1).
V´erifions queM?< M. On calcule
M-M?=M-M2+ 22M=M2-22M
qui est bien strictement positif puisqueMest un majorant rationnel deA. On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donneM?en fonction deM y=x2+ 22x C"est une hyperbole de centre l"origine, d"asymptotex= 0 ety=x/2 qui coupe la premi`erebissectrice au point (⎷2,⎷2) o`u on a une tangente horizontale. On voit alors imm´ediatement sur
le dessin que⎷2< M?< Msi on a prisM >⎷2.MM0p2Remarque. Le choix de la fonctionfqui d´efinitM?=f(M) n"est pas essentiel. Ici on a choisif(x) =x2+22x, mais n"importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆomes) satisfaisant aux trois conditions (1)f(⎷2) =aurait pu servir dans la preuve pr´ec´edente. Ceci sera expliqu´e en d´etail un peu plus tard (section
4.6).Th´eor`eme 1.2.3SoitAune partie non vide deR.1.SiAest major´ee, alorsAadmet une borne sup´erieure, not´eesupA.2.SiAest minor´ee, alorsAadmet une borne inf´erieure, not´eeinfA.
Nous admettons ce th´eor`eme.
Exemples.-On a sup[0,1] = 1 et sup[0,1[ = 1.-On a sup{x?Q|x2<2}=⎷2 mais comme partie deQon vient de voir que cette partie
n"a pas de borne sup´erieure.1.3. DENSIT
´E DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS111.3 Densit´e des rationnels et irrationnels D´efinition 1.3.1 (densit´e)SoitAune partie deR. On dit queAestdensedansRsiArencontre tout intervalle ouvert]a,b[aveca < b.Th´eor`eme 1.3.1L"ensembleQest dense dansR. D´emonstration.Soita,bdeux r´eels tels quea < b. Il s"agit d"exhiber un rationnelp/qtel que a < p/q < b.En appliquant la propri´et´e d"Archim`ede (th´eor`eme 1.2.2), on voit qu"il existe un entierqtel
que1b-a< q (on prendy= 1 etx= 1/(b-a)). On obtient qa+ 1< qb.(1) Soitple plus petit entier relatif tel quep > qa. On a alors D´emonstration.Soitiun nombre irrationnel, par exemple⎷2.Soientaetbdeux r´eels tels quea < b. On applique le th´eor`eme pr´ec´edent `a ]a-i,b-i[ : il
existe un rationnelrtel quea-i < r < b-i. Alorsa < i+r < b. Le nombrex=i+rest irrationnel, sinoni=x-rserait rationnel contrairement `a l"hypoth`ese. Le th´eor`eme est donc d´emontr´e.Remarque. Il y a beaucoup plus de nombres r´eels que de nombres rationnels. On peut montrer que les ensemblesZetQpeuvent ˆetre mis en bijection avecN, c"est-`a-dire que l"on peut num´eroter avec les entiers naturels les ´el´ements deZetQ. On dit queZetQsont d´enombrables. Par contreR n"est pas d´enombrable (th´eor`eme de Cantor) et pourtantQest dense dansR.1.4 Nombres complexes
Certains polynˆomes `a coefficients r´eels, par exempleP(x) =x2+1, n"ont pas de racines r´eelles.
Le polynˆomeP(x) =ax2+bx+caveca?= 0 a deux racines -b±⎷Δ 2asi le discriminant Δ =b2-4acest≥0. Si Δ<0, il y a un probl`eme. Grˆace aux nombres complexes
on peut donner un sens math´ematique aux racines carr´ees de nombres n´egatifs.D´efinition 1.4.1 (nombre complexe)Un nombre complexe est un couple de nombres r´eels
(a,b).12CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESOn d´efinit l"addition et la multiplication des nombres complexes par les formules
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) (a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc) On noteile nombre complexe (0,1). La formule du produit donnei2= (0,1)·(0,1) = (-1,0).En identifiant le r´eelaavec le nombre complexe (a,0), l"´egalit´e pr´ec´edente s"´ecrit
i 2=-1. Ainsiiapparait comme une racine carr´e de-1. C"est pourquoi on ´ecrit tr`es souventi=⎷-1.On peut alors noter de mani`ere plus agr´eable (a,b) =a+ibet on v´erifie que la formule qui donne
le produit vient du d´eveloppement de (a+ib)(c+id) =ac+i(bc+ad) +i2bd=ac-bd+i(ad+bc). Siz=a+ib, avecaetbr´eels,aest appel´e la partie r´eelle dezetbsa partie imaginaire. Sizest un nombre complexe non nul, c"est-`a-dire siaoubest non nul, alorsza un inverse multiplicatif : il existez?tel quezz?= 1.On v´erifie aussi quez·z?=z?·zpour tout nombre complexezetz?.D´efinition 1.4.2 (conjugu´e, module, argument)Soitz=a+ibun nombre complexe avec
a,br´eels.1.Leconjugu´edezest le nombre complexez=a-ib.2.Lemoduledezest le nombre r´eel positif⎷a
2+b2=⎷zz. On note|z|le module dez.3.L"argumentdezest le nombre r´eelθ?[0,2π[tel que
z=|z|(cosθ+isinθ). On ´etablit sans peine les formules suivantes-|z·z?|=|z| · |z?|-|z|=|z|-1 z =z |z|2pourz?= 0L"ensemble des nombres complexes sera not´eC.
Interpr´etation g´eom´etrique : plan complexeOn associe `az=a+ibaveca,br´eels le point du plan de coordonn´ees (a,b).
1.5. EXERCICES13b= sin
a= cosz=a+ib D´efinition 1.4.3 (exponentielle)L"exponentielle complexe est d´efinie par e z= 1 +z1! +z22! +···+znn!+···Il faut ´evidemment donner un sens `a cette somme infinie. On a alorsTh´eor`eme 1.4.1 (Formule de Moivre)Pour toutθ?R, on a
e iθ= cosθ+isinθ.Th´eor`eme 1.4.2Pour toutz,z??Con a la formule e z+z?=ez·ez?. Cette formule jointe `a la formule de Moivre permet de retrouver beaucoup de formules de trigo- nom´etrie.1.5 Exercices
Exercice 1.1.Trouver des entiers naturelsa,btels queab = 5,1736363636...- `a partir de latroisi`eme d´ecimale le d´eveloppement d´ecimal est compos´e d"une suite infinie de nombres 36.
Exercice 1.2.Pour chacune des parties suivantes deRdire si elle est major´ee, minor´ee, born´ee.
14CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESExercice 1.3.Pour tout nombre r´eelx?=-1/3, on pose
g(x) =2x+ 13x+ 1.1.Tracer le graphe de la fonctionx?→g(x).2.On poseg(N) ={g(0),g(1),g(2),...}Quel est le plus petit majorant deg(N)? de l"ensemble
g(Z)?3.Trouver le plus grand minorant de l"ensembleg(N).4.L"ensembleg(Z) est-il born´e? Exercice 1.4.Mettre les nombres complexes suivants sous la formea+ib, aveca,br´eels :15 + 3i,3 + 2i3-2i,1(4 + 3i)(3-2i).
Exercice 1.5.Calculer sous la formea+ib, aveca,br´eels, les racines carr´ees des nombres complexes suivants1 +i⎷3,5 + 12i,1 +i1-i.
Exercice 1.6.Calculer les racines quatri`emes dei. En d´eduire cos(π8 ) et sin(π8Chapitre 2
Logique et langage des ensembles
Le but de ce chapitre est de pr´esenter les quantificateurs?et?qui apparaˆıtront dans ce cours
(limite d"une suite, continuit´e d"une fonction) et de rappeler les d´efinitions ´el´ementaires de la
th´eorie des ensembles.2.1 Propositions et op´erateurs logiquesD´efinition 2.1.1Une relation (ou proposition) est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse
(V ou F en abr´eg´e). Une relation porte sur des objets math´ematiques comme des nombres, des fonctions, des figures g´eom´etriques,etc. Voici quelques exemples de relations. On indique entre parenth`eses la valeur de v´erit´e (V = vrai et F= faux).Exemples.-5 + 7 = 11.(F)-L"aire d"un triangle est ´egale `a la moiti´e du produit de la base par la hauteur (V).
-⎷2 est un nombre rationnel (F) (voir proposition 1.1.1)SoientRetSdeux relations. On peut en former d"autres :-la conjonction, not´ee (RetS).-la disjonction, not´ee (RouS). (le ou n"est pas exclusif)-la n´egation, not´ee (nonR).D´efinition 2.1.2
-L"implication(R?S)est la relation (nonR) ouS.-L"´equivalence(R?S)est la relation(R?S)et(S?R). Ainsi la valeur de v´erit´e d"une relation comme par exempleR?SouR?Ssera fonctiondes valeurs de v´erit´e deRetS. La situation est d´ecrite dans la table suivante.RSRetSRouSnon R(R?S)(R?S)VVVVFVV
VFFVFFF
FVFVVVF
FFFFVVV
1516CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLESProposition 2.1.1On a les ´equivalences suivantes :
1.non(nonR)?R2.non (RouS)?(nonRet (nonS)3.non(RetS)?(nonR) ou (nonS)4.Ret (SouT)?(RetS) ou (RetT)5.(P?Q)?(nonQ?nonP)
D´emonstration.Il suffit d"´ecrire la table des v´erit´es pour chacune des relations. Traitons le
dernier cas. La relation (P?Q) est par d´efinition la relation ((nonP) ouQ) qui ´equivaut `a (Q
ou (nonP)) qui par d´efinition est la relation (nonQ?nonP).Tr`es souvent une relation fait intervenir des param`etres ou variables et la valeur V ou F de la
relation peut d´ependre de ces param`etres. Soit par exempleR(x) la relation "x2-2≥0" o`ux est un param`etre r´eel. AlorsR(x) est vraie pourx??-∞,-⎷2 ?oux??⎷2,+∞?etR(x) est fausse pourx??-⎷2,⎷2 Il peut arriver queRfasse intervenir plusieurs variables (x,y,z,a1,a2,...).2.2 Quantificateurs
Nous avons vu plusieurs proc´ed´es logiques pour former de nouvelles relations. Dans la pratique,
on a besoin d"un autre proc´ed´e qui exprime l"assertion qu"´etant donn´ees une relationRet une
variablexqui intervient dansRil existe au moins un objet math´ematiqueApour lequel la relation obtenue en rempla¸cantxparAest vraie, autrement ditAv´erifieR. On introduit pour cela le quantificateur existentiel, not´e par le symbole La relation (?x)R(x) se lit "il existexqui v´erifieR".Exemples.
(?x)((x?R) et (x4+ 1 = 0)) (F) (?x)((x?C) et (x4+ 1 = 0)) (V) A partir du symbole?on introduit lequantificateur universelnot´e SiRest une relation etxune variable, on note (?x)R(x) la relation non((?x)(nonR(x))) La relation (?x)R(x) se lit "pour toutxon aR(x)". Ainsi la n´egation de (?x)R(x) est (?x) (nonR(x)), c"est-`a-dire on a l"´equivalence
non((?x)R(x))?(?x)(nonR(x)).De mˆeme on a l"´equivalence
non((?x)R(x))?(?x)(nonR(x)).2.3. TECHNIQUES DE D
´EMONSTRATION17Exemple.
La n´egation de "tous les hommes sont mortels" est "il existe un homme immortel". Il convient de prendre garde `a l"ordre des quantificateurs : en g´en´eral on ne peut pas les´echanger.
Exemples.-?x,x?R,?y,y?R,x < yqui est vraie : ´etant donn´e un r´eelxon peut toujours trouver un
autre r´eelyqui est plus grand.-?y,y?R,?x,x?R,x < yqui est fausse : l"´el´ementyserait plus grand que tous les r´eels.
Il faut savoir qu"en math´ematiques il y a beaucoup d"abus de langage. Sans eux, on ne pourraitrien faire, mais le d´ebutant risque d"ˆetre perdu. Ainsi on ´ecrit presque toujours?x?R,?y?R,x <
yau lieu dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47