Flocon de Koch, ou Longueur et aire - Paris Diderot University
Flocon de Koch, ou Longueur et aire se contenter de les faire réfléchir en leur donnant l’expression de l’aire du triangleéquilatéral
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch
a Chaque segment de l’étape n+1 a une longueur égale au tiers d’un segment de l’étape n, soit Ainsi, on en déduit que la suite u est la SG de raison et de premier terme soit pour tout b Le périmètre du flocon à l’étape n est obtenu en effectuant le produit du nombre de côtés par la longueur de chacun des côtés soit pour
Autour du flocon de Von KOCH - ac-strasbourgfr
La courbe originale de Von Koch, aussi appe lée courbe du flocon de neige , s'obtient comme la limite d'un contour polygonal A chaque étape, comme illustré ci-contre, chaque côté du poly-gone est indenté sur son tiers médian par deux segments à 60° et 120° La construction originale de Von Koch part du triangle équilatéral
par Isabelle Bloch Le flocon de Von Koch - Infinimath
questions sur la façon de prouver qu’une suite admet une limite finie ou infinie Aire et périmètre d’un objet fractal L’une d’elles est la recherche du périmètre et de l’aire d’un objet fractal, le Flocon de Von Koch, qui est la figure « ultime » – la limite à l’infini – obtenue dans la construction itérée de
Suites numØriques - ØnoncØ TP math - info Les ⁄ocons de Von Koch
suite (a n) n 1 avec a n: aire du petit triangle rajoutØ sur chaque côtØ de F n 1 Un rappel : l™aire d™un triangle ØquilatØral de côtØ de longueur a vaut : a2 p 3 4 suite (S n) n 1 avec S n: somme des aires des petits triangles rajoutØs au ⁄ocon F n 1 lors de la construction du ⁄ocon F n suite (A n) n 0 avec A n: aire du
Suites arithmetiques· et suites geom· etriques·
1 Exercice propose· au candidat: Le Flocon de Von Koch On part d’un triangle ·equilat ·eral P0 de cot‹ ·e a Puis, on construit par recurrence· une suite de polygones (Pn)n dont chaque cot‹ e· aura la meme‹ longueur notee· ln Pour cela, sur chaque segment [A;D] de Pn on proc·edera de la maniere˚ suivante: On partage chaque
Un beau flocon - maths au quotidien
La courbe limite est le flocon de Von Koch On considère que les côtés du triangle équilatéral F0 mesurent 1 unité de longueur Notons pour n ∈ , p n le périmètre de la figure F n À chaque itération n, l’aire de la figure F n augmente, puisque l’on construit de nouveaux triangles Soit pour n 1, A
Von Koch, Mandelbrot et fractales - Site de Mathématiques
choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9 La surface totale est :
Corrigé Devoir Maison 5 - Lycée Jean- Rostand
La suite(Cn)n>1 estdoncgéométriquederaison4 Onaainsi,pourtourentiern: Cn =C1×(4) n−1 =3×4n−1 2 Etude du périmètre 1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3 segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l’étape n
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L es exigences de l'enseignement des mathé- matiques (et plus particulièrement l'analy- se) à l'entrée à l'université conduisent à l'échec de nombreux étudiants, y compris ceux qui réussissaient tout à fait convenablement en fin d'études secondaires scientifiques. Il s'ensuit un désinvestissement des études scientifiques que l'on observe dans tous les pays industrialisés.
Ainsi notre recherche se centre sur les questions
suivantes : comment gérer la transition entre l'en- seignement secondaire et l'université ? Comment adapter l'enseignement de l'analyse au public actuel des étudiants, afin de former des scienti- fiques ? Que considérons-nous comme méthode d'enseignement satisfaisante, du point de vue de l'activité des étudiants ?Fairedes mathématiques, expérimenter
Nous pensons que les élèves ont besoin de faire des mathématiques, d'expérimenter, de travailler dans des situations de recherche, afin de pouvoir, ensuite, comprendre le formalisme et se convaincre de son efficacité. Nous avons donc proposé des situations pour le début de l'ensei- gnement de la notion de limite, afin que les élèves puissent conjecturer, calculer, et valider leurs hypothèses. Ces situations se sont avérées effi- caces, amenant les élèves à se poser de vraies questions sur la façon de prouver qu'une suite admet une limite finie ou infinie.Aire et périmètre d"un objet fractal L'une d'elles est la recherche du périmètre et de l'aire d'un objet fractal, leFlocon de Von Koch
qui est la figure " ultime » - la limite à l'infini - obtenue dans la construction itérée de figures, en partant d'un triangle équilatéral et en coupant chaque segment en trois : on enlève le segment du milieu et on le remplace par deux segments de même longueur, à l'extérieur (si on le fait à l'inté- rieur, on obtient l'anti-flocon). Or, à l'issue de ce processus, le périmètre de la " figure » obtenue est infini et l'aire finie... Cette dialectique entre deux types de limites a pour but de faire élaborer des raisonnements sur les conditions pour qu'une suite mathématique admette une limite finie ou infinie. La formule que l'on obtient pour le périmètre de la n-ième construction F n est : P n = P 0 (4/3) n L'aire de la énième figure est plus difficile à trou- ver, il faut connaître la formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique et l'on trouve : Les élèves sont alors amenés à calculer avec leur calculatrice, aussi loin qu'ils le peuvent : ces cal- culs, qui par ailleurs leur demandent une vraie expertise dans le maniement des outils technolo- giques, leur permettent de conjecturer le " com- portement » de Pn et A n ; éventuellement de s'étonner que l'aire et le périmètre aient un com-An =A0 +3
5 A0 1 +
4 9nLe flocon de Von Koch
... quelle drôle d"aire !Tangente Éducationn° 11Décembre 2009
Isabelle Bloch
est professeureà l'université
Bordeaux-IV
et à l'IUFM d'Aquitaine.Annie Bessot
appartient au laboratoire d'informatique de Grenoble et à l'IREM (Université deGrenoble).
Référence :
Les fractales,
réflexions et travaux pour la classe.IREM de Poitiers.
http://irem.campus. univ-poitiers.fr/ irem/index1.htm . portement manifestement si divergent, alors qu'une conviction courante est que l'aire et le périmètre d'une figure doivent être parents dans leur conduite, finis, ou infinis, tous les deux. Dans une classe d'élèves scientifiques de 17 ans, la moitié des élèves pense que P n " reste fini », et l'autre moitié que P n " grandit autant que l'on veut ». On va donc montrer queCela se fait avec l'inégalité d'Euler :
(1+ a n > 1+ na.Puis 4/3 = 1 + 1/3, d'où : P n > 1 + n /3. Donc, il suffit de prendre n= 3 10 p pour avoir (4/3) n > 10 p Pour l'aire, malgré l'évidence (le flocon est ins- crit dans le cercle circonscrit au triangle), les élèves veulent trouver l'aire " finale » ; remar- quons que si l'on part d'un triangle équilatéral de côté aentier, alors A 0 = a3/4, donc A 0 est irra- tionnel. C'est une valeur importante de cette variable didactique, car cela empêche les élèves d'essayer " d'attraper » la limite avec des déci-maux. Ils doivent prendre en charge un raisonne-ment pour trouver la limite de l'aire, par exempleen montrant que (4/9)
n peut être rendu plus petit que 10 p pour tout pDes questions demeurent : les autres notions
d'analyse - dérivée, intégrale, séries - sont en général introduites d'un point de vue formel.Comment doser l'introduction de situations de
recherche dans le cours d'analyse, et articuler ces situations avec les formulations usuelles des théo- rèmes ? Où les situations à dimension heuristique sont-elles nécessaires, et où peut-on s'en passer ?Les recherches sont ouvertes !
I. B. lim P n nDécembre 2009 n° 11Tangente Éducation
" Quatre expériences effectuées en 1973-1974 ont montré (voir Hasard ou Statistiques ?page 14) théoriquement et expérimen- talement qu'il n'est pas nécessaire de réveiller les obstacles épis- témologiques liés à la notion de hasard, de chance, et de proba- bilité pour introduire la mesure d'évènements et comprendre la démarche de la statistique inférentielle. Dans un dispositif quasi constructiviste, les situations pouvaient s'enchaîner par les ques- tions qu'elles posent et pas seulement par les connaissances mathématiques qu'elles produisent. Il restait évidemment pour plus tard à établir, par des mathématiques plus formelles, la consistance du choix de la fréquence théorique comme mesure de probabilité dans une expérience unique. Tout le processus repose sur un jeu (une dialectique) entre les connaissances - des énoncés dont on n'est pas sûr et que l'on peut comparer à des hypothèses - et des savoirs - des énoncés de référence dont la validité et l'adéquation sont assurées (par la culture). Ce tte recherche a fait découvrir aussi les limites du constructivisme et l'impossibilité du constructivisme radical. » (Guy Brousseau) Les textes de mathématiques sont uniquement composés de savoirs (énoncés vrais et de référence). En cachant le jeu de s connaissances, ils donnent une image déformée de l'activité mathématique réelle qui accompagne la production et l'usage de ces textes. Les problèmes tentent de susciter cette activité mais lors de correction, la démarche se révèle seulement comme une démonstration, c'est-à-dire un texte. Un problème est un théorè- me transformé en question-réponse. Les situations (en théor ie des situations mathématiques) sont aussi des théorèmes mathé matiques transformés, qui ont pour objet de pallier à l'insuffi- sance des problèmes, et permettre de façon plus visible le jeu des connaissances. Une fois les savoirs à enseigner déterminés institutionnellement,la réflexion traditionnelle porte sur l'ordre dans lequel ils doivent être enseignés, sur ce que l'élève devrait savoir au vu des ensei-gnements antérieurs qu'il a reçus, et sur ce qu'il devrait donc pou-voir apprendre de nouveau. Se restreindre au contrôle de l'acqui-sition des savoirs de référence pour décider de la possibilité d'enconstruire explicitement de nouveaux est parfaitement légitime,si, par ailleurs, les connaissances qui doivent les précéder et lesaccompagner ont la possibilité de jouer leur rôle. Mais lorsque la
programmation exclusive de la construction des textes par destextes étouffe toute possibilité de les connaître - c'est-à-dire deles utiliser librement comme connaissances -, l'apprentissagepériclite.Il y a peu de chances en général que les causes (universelles)d'apprentissage d'une connaissance correspondent à des raisonsde la savoir. Ce sont des processus différents et la conjonction del'un avec l'autre est le but principal de l'enseignement. Le pro-fesseur doit organiser des conditions qui vont être des causes del'apprentissage de ses élèves. Son ambition doit être de faire ensorte que l'élève conçoive ces causes comme des raisons desavoir ce qu'on veut lui enseigner. Mais les textes de mathéma-tiques ne donnent au professeur que leurs raisons mathématiquesde validité. Il doit donc mettre en oeuvre cette double conversionde raisons et de causes. Un problème détermine un savoir par lespreuves de sa validité, une situation tente d'y ajouter la preuve desa nécessité dans le sens de son utilité.