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7

Chapitre1

Raisonnement,ensembles

1.1Logique.

ABnonAAetBAouBA)BA()B

VVFVVVV

VFFFVFF

FVVFVVF

FFVFFVV

{A:Pourtoutreel"strictementpositif,0x"; {B:x=0.

MontrerqueA)B.

1.OnmontrequeA)Bestvrai;

2.OnmontrequeB)Aestvrai.

{A:festunefonctionpaireetimpaire; {B:festlafonctionnulle.

MontrerqueA()B.

Raisonnementparl'absurde.

Exemple3.Montrerquelereelp

2n'estpasrationnel.

8CHAPITRE1.RAISONNEMENT,ENSEMBLES

1.2Ensembles

x2Esi l'objetxestunelementdeE.

Exercice1-1

1.8x2E,P(x);

2.9x2E,P(x);

3.8x2E,9y2E,P(x;y);

4.9x2E,8y2E,P(x;y);

5.9r2R,9s2R,8x2R,xretsr.

fausse.

SiEetFsontdeuxensembles,onnote

x2F. x E (a)x2EE F x y (b)FE

Fig.1.1{Notationsensemblistes

a;E. suivants: {;:::E; {f;g:::E; {N:::E; {f;;Ng:::E.

PourmontrerqueEF,onutiliseleplansuivant:

Soitx2E.

x2F.

1.2.ENSEMBLES9

D efinition1.1:Egalitededeuxensembles

OnnoteE=Fssi

EFetFE

1.MontronsqueEF::::;

2.MontronsqueFE::::.

D {IntersectionE\F:x2E\Florsquex2Eetx2F; {UnionE[F:x2E[Florsquex2Eoux2F;

Exercice1-2

(A[BA[CetA\BA\C))(BC)

Exercice1-3

1.A\(B[C)et(A\B)[(A\C);

2.A[(B\C)et(A[B)\(A[C).

D efinition1.3:ensembledespartiesdeE D efinition1.4:Produitcartesien (x1;:::;xn)avecx12E1;:::;xn2En.

F=fx2EjP(x)estvraig

10CHAPITRE1.RAISONNEMENT,ENSEMBLES

1.3Applications

D efinition1.5:Denitiond'uneapplication

8x2E;9!y2Ftelque(x;y)2G

E xf!Fy=f(x) f:E7!FouEf!F

Remarque5.

{Fonctionetapplicationsontsynonymes. D efinition1.6:Egalitededeuxapplications lorsque

8x2E;f(x)=g(x)

Soitx2E.

f(x)=g(x) D efinition1.7:Identite id E:E!E x7!x D

Soitf:E7!Funeapplication.

E

0commeetantl'application

f jE0:E0!F x7!f(x) D efinition1.9:Composeed'applications

E7!Gparlacorrespondance:

8x2E;h(x)=gf(x)

E xf!Ff(x)g!G gf(x)=g f(x) verierlavaliditedescomposees.

1.3.APPLICATIONS11

E F G fg gf

Fig.1.2{Composeededeuxapplications

Th eor eme1.1:((Associativite))delacomposition

1.Pourtroisapplications

E f!Fg!Gh!H onah(gf)=(hg)f.

2.Sif:E7!F,ona

fidE=fetidFf=f D

Soitf:E7!Funeapplication.Onditque

{festsurjectivessi8y2F,9x2Etelquey=f(x);

Pourmontrerquefestinjective:

Soitx2Eety2E.Supposonsquef(x)=f(y).

Alorsx=y.

Pourmontrerquefestsurjective:

Soity2F.

Posonsx=:::,

Onabieny=f(x).

Pourmontrerquefestbijective:

1.Montronsquefestinjective;

2.Montronsquefestsurjective.

8(x;y)2E2;(x6=y))(f(x)6=f(y))

antecedent. antecedent:

8y2F;9!x2Etqy=f(x)

Exercice1-5

x!x2x!x3x!sinx

12CHAPITRE1.RAISONNEMENT,ENSEMBLES

a b c x y z t finjective,nonsurjectiveE F a b c d x y z fnoninjective,surjectiveE F

Fig.1.3{Injection,surjection

Exercice1-6

Soitf:R2!R2

Exercice1-7

:N!P n7!2n Th eor eme1.2:Proprietesdescomposees

Soientf:E7!Fetg:F7!Gdeuxapplications.

{Sigfestinjective,alorsfestinjective; {Sigfestsurjective,alorsgestsurjective. Th eor eme1.3:Bijectionreciproque

Soitf:E7!Funeapplication.

fbijective (i)()9!g2F(F;E)tq( fg=idF gf=idE (ii) reciproquedel'applicationf. E f f 1F

Exercice1-8

Soitf:N!N

n7!n+1etg:8 :N!N n7!(

0sin=0

n1sin6=0.

Etudierl'injectiviteetlasurjectivitedes

1.3.APPLICATIONS13

EF a b c d x y z t

Exercice1-9

1.finjective)f=idE;

2.fsurjective)f=idE.

Th eor eme1.4:bijectionreciproqued'unecomposee (gf)1=f1g1

Exercice1-10

D efinition1.11:Fonctioncaracteristique lapartieA,l'application A:8 :E!f0;1g x7!(

1six2A

0six62A

Th eor fonctionsavaleursdansNparlesformules: (A+B):E!f0;1;2g x7!A(x)+B(x)AB:E!f0;1g x7!A(x)B(x)

EnA=1A;A\B=AB;A[B=A+BAB

Exercice1-11

lapartiedeEdeniepar

A4B=(A[B)n(A\B)

B;

14CHAPITRE1.RAISONNEMENT,ENSEMBLES

D efinition1.12:Imagedirecte,reciproque f

1(B)=fx2Etqf(x)2Bg

f(A)=fy2Ftq9x2Aavecy=f(x)g EF

Bf1(B)

Fig.1.5{Imagereciproque

EF f(A) A

Fig.1.6{Imagedirecte

unsous-ensembledel'ensemblededepartdef.

Pourmontrerquex2f1(B):

Calculonsf(x)

Doncf(x)2B

Parconsequent,x2f1(B).

Pourmontrerquey2f(A):

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