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MATHÉMATIQUES DE BASE (MIS 101, cours 2007-2008)
Alain Yger
30 mai 2012
Table des matières
1 Bases de logique et théorie des ensembles1
1.1 Opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Objets, assertions, relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Vrai et faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Quelques opérations entre assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Règles de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ensembles et parties d"un ensemble; quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Quelques mots de l"axiomatique de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Produit de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Union et intersection d"une famille de parties d"un même ensemble . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Apprendre à raisonner : le raisonnement par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Apprendre à raisonner : le principe de contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.1 L"axiomatique deN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.2 Deux opérations surN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.3 Un ordre total surN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8.4 Le principe du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8.5 La division dansNet l"algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.6 Un autre algorithme issu de la division euclidienne : écrire en baseb. . . . . . . 15
1.8.7 Le développement d"une fraction en fraction continue . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Notion de fonction; éléments de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Fonction d"un ensembleEdans un ensembleF; exemples . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.2 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.3 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.4 Composition des applications, inverses à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . 19
1.9.5 Applications d"un ensemble fini dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.6 Éléments de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Nombres entiers, rationnels, réels et complexes23
2.1 L"anneauZdes entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Construction de l"anneau ordonné(Z;+;). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Un exemple de calcul algébrique dansZ: l"identité de Bézout . . . . . . . . . . . 25
2.2 Nombres rationnels et nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Fractions et développements décimaux périodiques : deux approches des rationnels 27
2.2.2 Une approche de l"ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Suites de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Les opérations surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5 Le lemme des "gendarmes" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i iiTABLE DES MATIÈRES2.2.6 Borne supérieure, borne inférieure d"un sous-ensemble deR. . . . . . . . . . . . 34
2.2.7 Intervalles deR; la propriété des segments emboîtés; non dénombrabilité deR. 37
2.2.8 La droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Le planR2et les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Le planR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Le corps(C;+;). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.3 Module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et d"Euler . . . . . 45
2.3.5 Résolution dansCde l"équation algébriquezn=A. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.6 Résolution des équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Fonctions numériques et modélisation57
3.1 Limite d"une fonction en un point deRou deR[ f1;+1g. . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Continuité d"une fonction en un point et sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Opérations sur les fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Fonctions strictement monotones sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Dérivabilité en un point et sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Quelques fonctions classiques et leurs inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.1 La fonction exponentielle et le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.2 Fonctions trigonométriques et leurs inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.3 Les fonctions hyperboliques et leurs inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7 Fonctions de deux ou trois variables : une initiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7.1 Le planR2et l"espaceR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7.2 Produit scalaire, produit vectoriel, angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7.3 Continuité et différentiabilité en un point d"une fonction de deux ou trois va-
riables; graphe et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.7.4 La "chain rule» du calcul différentiel : quelques exemples . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.5 Dérivées d"ordre supérieur; laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.6 Champs de vecteurs dans un ouvert du plan ou de l"espace . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Aires, intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8.1 La notion d"aire d"un domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8.2 Primitive d"une fonction continue sur un intervalle ouvert deR. . . . . . . . . . 111
3.8.3 Calcul d"intégrales et calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.8.4 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.9 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.9.1 Équations linéaires du premier ordre et problème de Cauchy associé . . . . . . . 119
3.9.2 Un exemple de problème de Cauchy du premier ordre non linéaire se ramenant
au cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.9.3 Les équations différentielles du second ordre à coefficients constants . . . . . . . 122
Chapitre 1
Bases de logique et théorie des
ensembles1.1 Opérations logiques
1.1.1 Objets, assertions, relations
En mathématiques, on travaille sur desobjets(on dit aussiêtres) entre lesquels on vérifie des
relations. On commence par définir les objets, en indiquant avec des illustrations :- les nombres :N(quand on a du apprendre à compter),Z(quand il a fallu apprendre à calculer des
gains, des pertes et des dettes depuis la fin du Moyen-âge)Q, puisR(le nombrep2sortant du
cadre des fractions), puisC(pour résoudrex2+ 1 = 0et répondre aux exigences de la Physiquedu XIX-ème siècle), puis ensuite pour enrichir la boîte à outils nécessaire à l"algèbre, à la physique
et à l"informatique, les quaternions, les octaves de Cayley...- les objets géométriques : la sphère, la chambre à air (peut on dénouer un noeud sur une sphère,
peut on le dénouer sur une chambre à air?), le ruban ou le ruban de Mbius (peut on s"orienter
sur un ruban, le peut on sur un ruban de Mbius?), où la notion de forme (on dittopologie) joue
un rôle majeur; - les transformations physiques (comme la transformation de Fourier, incarnation mathématiquede la diffraction en optique) peuvent aussi être considérées comme des objets mathématiques.
Unerelationest une assertion concernant divers objets mathématiques, assertion qui se doit d"être
VRAIE ou FAUSSE. Par exemple :
n2nquandn1
est une assertion VRAIE, tandis que n2< nquandn >1
est une assertion fausse (nest ici nombre entier positif). Par contre i2i+ 1(iétant le nombre complexe correspondant à(0;1)) n"est pas une relation car il n"y a pas d"ordre dans
C; ce n"est ni vrai, ni faux, mais simplement vide de sens. 12CHAPITRE 1. BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
1.1.2 Vrai et faux
La distinction VRAI/FAUX a beaucoup d"incarnations; en voici deux : - en informatique VRAI=1, FAUX=0, on associe donc à la relation unbit, élément def0;1g;- dans les modélisations par des circuits électriques : VRAI= le courant passe (l"interrupteur est
fermé), 0=le courant ne passe pas (l"interrupteur est ouvert).Une assertion VRAIE est une assertion qui peut se déduire d"un petit nombre d"axiomes traduisant les
propriétés invariantes des objets.Les axiomes, eux, ne se démontrent pas
: ils fondent le cadre dans lequel on se place; changer le système d"axiomes, c"est changer la règle du jeu. Exemple d"axiome :Le postulat d"Euclide, qu"Euclide formulait ainsi :"Et si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces deux droites, prolongées à l"infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits
que deux droits"(à vous de le transcrire dans le plan en faisant un dessin sur une feuille) ne se démontre pas; il fonde
la géométrie Euclidienne. Par contre, on peut montrer (faites l"exercice) que l"énoncer revient à dire :
"Par un point extérieur à une droite passe une unique droite qui lui est parallèle"(Playfair a prouvé en 1795 que c"était bien dire la même chose, ce que l"on pourra s"entraîner à vérifier).
On peut refuser le postulat d"Euclide et faire par exemple dans le plan de lagéométrie sphérique; le
plan est pensé comme le globe terrestre privé du pôle Nordviala correspondance qui associe sur la
figure ci-dessous le pointMdu globe au pointmdu plan équatorial.R2p. Nord p. Sud *|z|=1M' M m'm Figure1.1 - Le globe terrestre et la projection stéréographique depuis le pôle NordLes droites du plan correspondent aux cercles tracés sur le globe et passant par le pôle Nord : il n"y a
plus de droites parallèles!Établir à partir d"un jeu d"axiomes qu"une assertion est VRAIE, c"est prouver unthéorème. Si ceci est
fait de manière intermédiaire dans le but de prouver ultérieurement qu"une autre assertion est VRAIE,
on parle plutôt delemme. Lorsque l"on déduit d"un théorème qu"une assertion est VRAIE, on prouve
uncorollairede ce théorème.1.1. OPÉRATIONS LOGIQUES3
1.1.3 Quelques opérations entre assertions
On va définir des opérations entre deux assertionsRetSen donnant lestables de véritéde ces
nouvelles assertions, c"est-à-dire les tables qui permettent de décider, suivant queRetSsont vraies ou
fausses, si la nouvelle assertion est vraie ou fausse.Définition 1.1.
1. Ladisjonction[ou] logiqueR_S.00
0 1 1 011R S R S
0 1 1 1R S R v S vFigure1.2 - La disjonction
La disjonction correspond au montage en parallèle dans les circuits électriques (RetSétant pensés comme des interrupteurs).1. Laconjonction[et] logiqueR^S.
00 0 1 1 011R S R S
0 1 0 0RSFigure1.3 - La conjonction
La conjonction correspond au montage en série
dans les circuits électriques (RetSétant pensés comme des interrupteurs).3. L"implicationRimpliqueS(notéeR=)S) :
00 0 1 1 011R S R S
1 01 1Figure1.4 - L"implication
Ce qui est un peu inattendu dans la définition de l"implication est queR=)Sest toujours vraie dans
tous les cas oùRest fausse; on considère (ce qui n"est pas absurde) qu"une assertion fausse implique
4CHAPITRE 1. BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
n"importe quoi! Par exemple les assertions1 = 2 =)2 = 3 1 = 2 =)2 = 2
sont toutes les deux vraies.4. L"équivalenceR()Sest la conjonction(R=)S)^(S=)R); en voici la table de vérité :00
0 1 1 011R S S
1 0R 1 0Figure1.5 - L"équivalence
5. LanégationnonRconsiste à inverser les bits0et1. Voici la table :
R R non
0 1 1 0Figure1.6 - La négation
1.1.4 Règles de logique
Étant données des assertionsR;S;T,..., on peut former de nouvelles assertions en les utilisantcouplées avec les opérations précédemment introduites (la disjonction, la conjonction, l"implication,
l"équivalence, la négation). On obtient ainsi de nouvelles assertions, expressions parfois compliquées
mêlant les assertionsR;S;T;:::et les opérations, par exemple (R=)S) =)( (R_T) =)(S_T))attention! la position des parenthèses est très importante pour la lecture des expressions (on doit
toujours veiller à ne faire une opération logique qu"entre deux assertions).La table de vérité d"une telle assertion compositeR(R;S;T;:::)s"écrit en étudiant cas par cas les
diverses possibilités (Rvraie ou fausse,Svraie ou fausse,Tvraie ou fausse,etc.) et en utilisant les
tables de vérité des diverses opérations. Si par hasard la table de vérité deR(R;S;T;:::)s"écrit comme
une colonne de1, on dit que l"assertionR(R;S;T;:::)estinconditionnellement vraie(ou encore que c"estuneévidence), c"est-à-dire qu"elle est vraie quelque soient les valeurs (0ou1) prises par les assertions
R;S;T,..., et on appelle alorsR(R;S;T;:::)règle logique . Ces règles logiques seront utilisées dans les raisonnements conduisant à des lemmes, théorèmes, corollaires.1.2. ENSEMBLES ET PARTIES D"UN ENSEMBLE; QUANTIFICATEURS5
Exemples.On vérifiera en exercice que les assertions composites suivantes sont inconditionnellement
vraies et deviennent donc des règles logiques : (R_R) =)R R=)RR_(nonR)
R()(non(nonR))
R=)(R_S)
(S_S) =)(S_R) (R_S) =)(S_R) (R^S) =)(S^R) (R_S)()(S_R) (R^S)()(S^R) (R=)S) =)( (R_T) =)(S_T))Certaines de ces assertions inconditionnellement vraies jouent un rôle très important dans les raison-
nements logiques; en voici deux exemples :1. La règle decontrapositionque l"on retrouvera plus loin comme moteur de certains raisonnements :
(R=)S)()( (nonS) =)(nonR)) (à vérifier avec les tables de vérité).2. La règle detransitivité, elle aussi importante, car elle permet le cheminement logique :
(R=)S) VRAIE) (S=)T) VRAIE)] (R=)T) VRAIE)1.2 Ensembles et parties d"un ensemble; quantificateurs
Definition 1.2.UnensembleEest par définition une collection d"objets, ditsélémentsdeE.Par exemple
N:=f0;1;2;:::gZ=f:::;2;1;0;1;2;:::g
sont des ensembles (ils ont d"ailleurs tous les deux la particularité que l"on peut en numéroter les
éléments). C"est aussi le cas deQ(on le verra plus tard). Les nombres réels forment aussi un ensemble
(notéR), mais dont on ne peut cette fois numéroter les éléments.On s"aidera pour raisonner sur les ensembles de schémas où ces ensembles seront représentés sous forme
de patatoïdes.On noterax2El"assertion
<< xest un element deE >>Supposons maintenant queRsoit une assertion dans laquelle figure un symbole matérialisé par une
lettrex(par exemplex3oux2R, ou encore(x2[1;+1[) =)(x0)). On note (pour tenir compte de la présence de ce caractèrex) l"assertionRen l"écrivant plutôtRfxg.6CHAPITRE 1. BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
SiEest un ensemble etRfxgune telle assertion, on définit deux nouvelles assertions que l"on note ainsi :8x2E Rfxg
9x2E Rfxg
La première se lit :
<La seconde se lit :
<elle est vraie s"il existe au moins un élémentxdeEtel que l"assertionRfxgsoit vraie; elle est fausse
sinon.On a donc la règle (que l"on vérifie en introduisant par exemple le sous-ensembleAdeEconstitué des
élémentsxpour lesquelsR(x)est vraie et son complémentaire) non(8x2E ; Rfxg))
9x2E ;non(Rfxg))
On peut également introduire des assertions dans lesquelles figurent plusieurs symboles mathématiques,
par exemple deux symbolesxety; on notera une telle assertionRfx;yg(par exemple "x+y1" ou "xdivisey"). SiEetFsont deux ensembles, on peut alors introduire les six assertions :8x2E ;8y2F ; Rfx;yg
8x2E ;9y2F ; Rfx;yg
9x2E ;8y2F ; Rfx;yg
9x2E ;9y2F ; Rfx;yg
8y2F ;9x2E ; Rfx;yg
9y2F ;8x2E ; Rfx;yg
On vérifiera facilement les règles suivantes : non8x2E ;8y2F ; Rfx;yg)
9x2E ;9y2F ;nonRfx;yg)
non8x2E ;9y2F ; Rfx;yg)
9x2E ;8y2F ;nonRfx;yg)
non9x2E ;8y2F ; Rfx;yg)
8x2E ;9y2F ;nonRfx;yg)
non9x2E ;9y2F ; Rfx;yg)
8x2E ;8y2F ;nonRfx;yg)
9x2E ;8y2F ; Rfx;yg)
8y2F ;9x2E ; Rfx;yg)
Les symboles8et9(dont on remarque qu"ils doivent être échangés lorsque l"on prend la négation d"une
assertion) sont appelésquantificateurs. L"ordre dans lequel on les écrit est important : par exemple "8x2
E;;9y2F ;:::" signifie littéralement : "pour toutxdeE, il existeydansF, dépendanta prioridex alors que "9y2F ;8x2E ;:::" signifie "il existeydansFtel que, pour toutxdansE, ....". Définition 1.2.SiEest un ensemble, on appellesous-ensembledeEtoute sous-famille composée d"éléments deE(donc extraite deE); on dit aussi qu"un sous-ensemble deEest unepartiedeE.1.2. ENSEMBLES ET PARTIES D"UN ENSEMBLE; QUANTIFICATEURS7
On convient que la partie n"ayant aucun élément, que l"on appelle l"ensemble videet que l"on note∅,
est un sous-ensemble particulier deE. C"est donc un sous-ensemble de tous les ensembles. Définition 1.3.SiEest un ensemble etAetBdeux parties deE, on noteAB(AinclusdansB) l"assertion "8x2A;x2B". Pour toute partieAdeE, les assertionsAEet∅ Asont donc vraies. Deux partiesAetBsont diteségales(on noteA=B) siABetBA, c"est-à-dire siAetBont exactement les mêmes éléments.On définit maintenant deux opérations importantes entre les sous-ensembles d"un même ensembleE.
Définition 1.4.SiAetBsont deux parties deE, on appelleuniondeAetBet on noteA[Bla partie deEdont les éléments appartiennent àAouàB. On appelleintersectiondeAetB(et on note
A\B) la partie deEdont les éléments appartiennent àAetàB.
Deux partiesAetBsont ditesdisjointessiA\B=∅, c"est-à-dire siAetBn"ont aucun élément en commun. Si une partieAs"écritA=A1[A2avecA1\A2=∅, on dit queA1etA2réalisent une partitiondeA. On aA[B=B[AetA\B=B\A. Les opérations[et\sont ditescommutatives. De plusA[ ∅=∅ [Apour toute partieAdeE, ce qui fait dire que∅estélément neutrepour l"opération[.
EnfinA\ ∅=∅pour toute partieAdeE, ce qui fait dire que∅est cette foisélément absorbantpour
l"opération\. Définition 1.5.SiAest une partie deE, on appellecomplémentairedeAdansEet on noteCEAou encoreEnA(ou aussiAclorsqu"il est implicite que l"on travaille dans un ensembleE) le sous-ensemble constitué des éléments deEn"appartenant pas àA. Par exemple, le complémentaire def1;2;3;4;5gdansNestfn2Nt:q: n6g.On vérifie les deux égalités :
(A\B)c=Ac[Bc (A[B)c=Ac\Bc: Définition 1.6.SiAetBsont deux parties deE, on noteAnBl"ensemble des éléments deAqui n"appartiennent pas àBetA∆B(différence symétriquedeAetB) l"ensembleA∆B:= (AnB)[(BnA):
On vérifiera que
A[B= (A\B)[(A∆B)
et que les deux partiesA\BetA∆Bréalisent une partition deA[B.La preuve de ces diverses assertions sera illustrée par des diagrammes où les parties seront représentées
par des patatoïdes; faites les dessins!Dernières règles importantes à retenir :
(A[B)[C=A[(B[C) (A\B)\C=A\(B\C) (on dit que les deux opérations[et\sontassociatives) et (A[B)\C= (A\C)[(B\C)8CHAPITRE 1. BASES DE LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES
(on dit que l"opération\estdistributivepar rapport à l"opération[). Les deux opérations[et\
semblent se comporter respectivement comme l"addition et la multiplication des nombres réels; d"ailleurs
∅joue exactement le même rôle que0(neutre pour la première opération, absorbant pour la seconde).
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