Collège Jules Verne – Mathématiques – livret repères

Document 1 : la notation scientifique La notation scientifique (ou écriture scientifique) d’un nombre décimal et l’écriture est l’écriture de ce nombre sous la forme ˙10 ˝, le nombre a ne possédant qu’un chiffre non nul avant la virgule (1˛˙˚10 ) et n un nombre entier Document 2 : Passage en écriture scientifique

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• Calculer une puissance d’exposant positif • Calculer une puissance d’exposant négatif • Déterminer l’écriture scientifique d’un nombre 4 Théorème de Pythagore • Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle • Calculer une racine carrée • Reconnaître si un triangle est rectangle ( réciproque ou

MATHEMATIQUES - Notation scientifique

On parle de l'ordre de grandeur d'un nombre ou d'une quantité quand on en donne une valeur approximative, généralement sous la forme d'une notation scientifique limitée à un seul chiffre significatif Par exemple, on dira que l'ordre de grandeur-de la population belge est de 10 millions d'individus (10 • 10 6)

Collège Jules Verne – Mathématiques – livret repères - 3e page 1

⓫ Notation scientifique d'un nombre Définition La notation scientifique d'un nombre relatif est l’unique écriture de la forme a×10p où : • a est nombre décimal écrit avec un seul chiffre, différent de zéro, avant la virgule ; • p est un nombre entier relatif Exemples : Soient A = 32 657 000 et B = 0,000 486

Un dobble : Ecriture d’un nombre décimal

écriture décimale, sous forme fractionnaire, écriture en , écriture scientifique d’un nombre décimal Partie 1 Règle de construction Pour ???? )symboles par carte, il faut (????−12+(????−1)+1=???? images 1 (Montrer que ????−1 )2+(????−1+1=????2−????+1 2 Montrer que 4 est une racine du polynôme ????2−????−12 3 En

Nombres et calculs

• Tout nombre décimal non nul peut se noter sous la forme A × 10n, où A est un nombre déci-mal vérifiant 1 ≤ A < 10 et n est un entier relatif Cette écriture est la notation scientifique du décimal, qu’il convient d’introduire sur des exemples numériques Elle peut être rattachée à

Mathématiques Fiche Technique Puissances

est un nombre négatif car 13 est un nombre impair IV ELes puissances de 10 Définition xemple 10 0,000001 6 10 100004 V L’écriture scientifique d’un nombre décimal relatif : Définition 4 Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est Exemple Åge de la Terre : 500 000 000 ans = 4,5 x 10' ans

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Sommaire

A. Addition et soustraction

B. Multiplication

C. Division

❷ Valeurs approchées d'un quotient ..................................................................................................... 5

❸ Écritures fractionnaires égales .............................................................................................................. 5

❹ Critères de divisibilité .............................................................................................................................. 6

❺ Produits en croix ........................................................................................................................................ 6

❻ Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire ...................................... 6

❼ Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire ................................................. 7

A. Multiplication

B. Inverse

C. Division

❽ Puissances entières d'un nombre relatif ........................................................................................ 8

❾ Calculer avec des puissances ............................................................................................................... 9

❿ Préfixes scientifiques .............................................................................................................................. 9

⓫ Notation scientifique d'un nombre .................................................................................................. 9

⓬ Propriétés de géométrie ....................................................................................................................... 10

⓭ Formulaire - Aire et volume ................................................................................................................ 14

⓮ Unités d'aire ............................................................................................................................................... 15

⓯ Unités de volume ..................................................................................................................................... 15

⓰ Tableur mode d'emploi .......................................................................................................................... 16

⓱ Utilisation de la calculatrice ................................................................................................................ 17

⓲ Trucs et astuces de calcul mental ..................................................................................................... 18

⓳ Calcul littéral ............................................................................................................................................. 19

⓴ Grandeurs produits et grandeurs quotients ................................................................................. 19

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A. Addition et soustraction

Propriété : Si deux nombres relatifs sont de même signe alors leur somme : •a ce même signe ; •a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres. Exemples : (+13) + (+8) = + 21 = 21 (-12) + (-5) = - 17 écriture simplifiée : 13 + 8 = 21-12 - 5 = -17 Propriété : Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme : •a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; •a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres. Exemples : (-7) + (+19) = +12 = 12(+5) + (-13) = -8 écriture simplifiée : -7 + 19 = 12 5 - 13 = -8 Propriété : Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

Exemple : (+5) - (-9) = ( + 5) + (+9)

= 5 + 9 = 14

Simplification d'écriture

Convention

Dans une suite d'additions de nombres relatifs, on peut : •supprimer les signes d'addition et les parenthèses autour des nombres ; •supprimer le signe " + » devant un nombre s'il se trouve en début de ligne.

Exemple : A = (+13) + (-3) + (+7,6) + (-2,3)

A = (+13) + (-3) + (+7,6) + (-2,3)

A = +13 - 3 + 7,6 - 2,3

A = 13 - 3 + 7,6 - 2,3On supprime les signes d'addition et de parenthèses. On supprime le signe " + » en début de ligne. Les signes qui apparaissent dans l'expression finale sont donc les signes des nombres.

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B. Multiplication

Propriété : Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur produit : •est positif ; •a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres. Exemples : (+5) × (+7) = +35(-3) × (-4) = + 12 Propriété : Si deux nombres relatifs sont de signe contraire, alors leur produit : •est négatif ; •a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres.

Exemples : (+6)

× (-2) = -12 (-3) ×(+8) = -24

Propriété : Dans un produit de plusieurs nombres relatifs différents de zéro : •si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ; •si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

Exemples : (-1) × (-2)

× (+10) × (-4) × (-25) =(-0,5) × (+6) × (+10) × (-4) × (-25) =

C. Division

Propriété : Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur quotient : •est positif ; •a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :

+21
+7= +3 -20 -4 = +5 Propriété : Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur quotient : •est négatif ; •a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :

+12 -5 = - 12

5 = - 2,4

-18 +4 = - 18

4 = - 4,5

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❷ Valeurs approchées d'un quotient

Définition-Vocabulaire

A un rang donné :

- La troncature d'un nombre est sa valeur approchée par défaut.

- L'arrondi d'un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche.

Exemple : Nous allons procéder aux encadrements de 23

7 et 23 :7≈3,285714286 

RangEncadrement par les

valeurs approchées par défaut et par excèsTroncatureArrondiAxe gradué

A l'unité

Au dixième

Au centième

Au millième

❸ Écritures fractionnaires égales

Propriété On ne change pas un nombre en écriture fractionnaire si on multiplie (ou divise) le numérateur et

le dénominateur par un même nombre non nul.a b=a×k b×k=a÷k b÷k (b ≠ 0, k ≠ 0 )

Exemples :

0,2 1,23=

0,2×100

1,23×100=

20 123
15 20 =

3×5

4×5=3

4Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 5

❹ Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible par :

H2 si et seulement s'il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 c'est-à-dire s'il s'agit d'un nombre paire ;

H3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; H4 si et seulement si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par quatre H5 si et seulement s'il se termine par 0 ou par 5 ; H9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. ❺ Produits en croix Propriété Soient quatre nombres relatifs a, b, c et d ( avec b ≠ 0 et d ≠ 0).

Dire que a

b=c dsignifie que a × d = c × b.

Exemples :

•Les fractions 34

51 et 2

3 sont-elles égales ?

×34 = 102 et 51×2 = 102

Les produits en croix sont égaux donc les fractions 34
51 et
2

3sont égales.

•Compléter l'égalité 23

15=207

15×207

23 = 135

❻ Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire

Propriété Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire ayant le même

dénominateur : •on additionne (ou soustrait) leurs numérateurs ; •on garde le dénominateur. a b+c b=a+c b (b ≠ 0 )

Exemples :

-5 4 + 13 4= -5+13 4 = 8 4 = 2 9

7 - (-6

7) =

9-(-6)

7 = 9+6 7 = 15

7Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 6

Remarque : dans le cas où les dénominateurs sont différents, il faut commencer par écrire les écritures

fractionnaires avec le même dénominateur puis appliquer la règle précédente.

Exemples : 3

7 - 1

8 = 3×8

7×8 - 1×7

8×7 17

9 + -5

12 =

17×4

9×4+-5×3

12×3 =

24
56 -
7

56 =

68
36 +
-15

36 = 18

56 = 53

2×9

2×28 = 9

28
❼ Multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire

A. Multiplication

Propriété Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : on simplifie si possible les deux nombres ; on multiplie les numérateurs entre eux ; on multiplie les dénominateurs entre eux. a b×c d = a×c b×dExemples : -3

4×5

7=-3×5

4×715

14×21

10=3×5

2×7×3×7

2×5 = 3×3

2×2 = 9

B. Inverse

Définition Dire que deux nombres sont inverses l'un de l'autre signifie que leur produit est égal à 1.

Exemples : 2 × 0,5 = 17

× 1

7= 13

4×4

3 = 1 Donc 2 et 0,5 sont inverses l'un de l'autre ; 7 et 1

7 sont inverses l'un de l'autre ; 3

4 et 4

3 sont inverses l'un

de l'autre. Propriété a et b étant deux nombres relatifs non nuls, l'inverse de a est 1 a et l'inverse de a b est b a. Exemples : •L'inverse de 9 est •L'inverse de 1

6 est •L'inverse de 7

6 est

Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 7 56 est le plus petit

dénominateur commun

à 7 et 836 est le plus petit

dénominateur commun

à 9 et 12

Décomposition en produit

de facteurs premiers pour simplifier et calculer plus facilement.

C. Division

Propriété Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse. a b = a:b = a×1 bet a b:c d = a b × d c

Exemples :

2 5 : 7 9 = 2

5×7

9•

12 17 : 4 11 = 12

17×11

4•

-4 5

3= = -4

5×1

3❽ Puissances entières d'un nombre relatif

Définition a désigne un nombre non nul, n désigne un entier strictement positif : an = a

× a×....× a×a a-n = 1

an n facteurs an est une puissance de a. n s'appelle l'exposant et an se lit " a exposant n.

10a a1=aa-1 = 1

a avec a ≠ 0

Exemples :

33 = 3×3

×3 = 27

(-4)² = (-4) × (-4) = 16 -4² = - 4

× 4 = 16

2-3 = 1 23 =
1

2×2×2=

1 8 (-3)-2 =1 (-3)2 = 1(-3)×(-3) = 1 9 (3

5)2= 3×3

5×5=9

25Propriété Cas particulier des puissances de 10

n est un entier positif.

10n= 10 × 10 × ...... × 10 = 1 0 ........ 0

n facteurs n zérosn est un entier positif non nul.

10-n=1

10n=1

10...0=0,0...01 n zéros n chiffres après la virgule

Exemples : 109 =1 000 000 00010-3 = 0,001

Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 8

❾ Calculer avec des puissances

Propriété a et b étant deux nombres relatifs ( a g 0 et b ≠ 0 ),m et n étant deux nombres entiers relatifs, on a les

égalités :nmnmaaalnm

n m aa a nnnbaabl n n n b a b a)( : (an)m =an×mExemples : 107

×104 = 107+4=1011105×10-8=105+

(-8)=10-3

102 =106-2=104

(104)3 = 104×3=1012 (10-3)2 =10-3×2=10-6

23×53 =(2×5)3

=10³

10⁵

10-4 =105-(-4)=105+4=109Propriété Dans un calcul, on effectue dans l'ordre :

•les calculs entre parenthèses ; •les puissances ; •les multiplications et les divisions; •les additions et les soustractions.Exemples : 3

×(5 - 3) + 2 - 5² =

❿ Préfixes scientifiques

Le tableau ci-contre permet d'indiquer, à l'aide des puissances de 10, par quel facteur est multipliée une unité

pour obtenir des multiples de cette unité.

Préfixegigamégakilomillimicro nano

SymboleGMk m µ n

Signification109106

10310-310-610-9

⓫ Notation scientifique d'un nombre

Définition La notation scientifique d'un nombre relatif est l'unique écriture de la forme a×10p où :

•a est nombre décimal écrit avec un seul chiffre, différent de zéro, avant la virgule ;

•p est un nombre entier relatif.

Exemples : Soient A = 32 657 000etB = 0,000 486

NombreNotation scientifiqueEncadrementOrdre de grandeur A = 32 657 0003,2657×1073×107 < A < 4×107

3×107B = 0,000 5865,86 ×10-4

5×10-4 < B < 6×10-46×10-4

Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 9 

⓬ Propriétés de géométrie

En plus des propriétés ci-dessous, il faut bien évidemment connaître les définitions qui ne sont pas citées ici :

par exemple, la définition d'un triangle isocèle, d'un triangle équilatéral... Les propriétés étudiées en classe

de 3e sont précédées d'une flèche.

DroitesD1 : Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

D2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

D3 : Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

D4 : Si AC + CB = AB, alors A, C et B sont alignés, ou encore C appartient à la droite (AB). D5 : Si deux droites sont parallèles et possèdent un point commun alors elles sont confondues.

Droites remarquables d'un triangle:DR1 : La médiatrice d'un segment est une droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est

perpendiculaire.

DR2 : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au

côté opposé.

DR3 : La bissectrice d'un angle est une demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même

mesure.

DR4 : Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit.

DR5 : Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point qui est l'orthocentre. MédiatriceM1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors c'est la médiatrice de ce segment. M2 : Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

M3 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce

segment.

M4 : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce

segment.

M5 : Si par une droite passe par deux points équidistants des extrémités d'un segment, alors c'est la

médiatrice de ce segment.

M6 : Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d'un segment et est perpendiculaire à ce

segment alors c'est la médiatrice de ce segment.

ParallélogrammeP1 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux,

alors c'est un parallélogramme. P2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. P3 : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 10

P4 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

P5 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.

P6 : Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme.

P7 : Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un

parallélogramme.

P8 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure et les angles

consécutifs sont supplémentaires.

LosangeL1 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

L2 : Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à

deux et ses quatre côtés sont de même longueur. L3 : Si un quadrilatère a ses diagonales qui sont perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu, alors c'est un losange. L4 : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et se soupent en leur milieu.

L5 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.

L6 : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors, c'est un losange. RectangleR1 : Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c'est un rectangle. R2 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur, et ses quatre angles sont droits. R3 : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont la même longueur, alors c'est un rectangle. R4 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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Rappels de mathématiques

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MATHEMATIQUES - Notation scientifique

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Un dobble : Ecriture d’un nombre décimal

Nombres et calculs

Mathématiques Fiche Technique Puissances

Sommaire

A. Addition et soustraction

B. Multiplication

C. Division

A. Multiplication

B. Inverse

C. Division

A. Addition et soustraction

Exemple : (+5) - (-9) = ( + 5) + (+9)

Simplification d'écriture

Convention

Exemple : A = (+13) + (-3) + (+7,6) + (-2,3)

A = (+13) + (-3) + (+7,6) + (-2,3)

A = +13 - 3 + 7,6 - 2,3

B. Multiplication

Exemples : (+6)

× (-2) = -12 (-3) ×(+8) = -24

Exemples : (-1) × (-2)

C. Division

Exemples :

Exemples :

5 = - 2,4

4 = - 4,5

Définition-Vocabulaire

A un rang donné :

7 et 23 :7≈3,285714286 

RangEncadrement par les

A l'unité

Au dixième

Au centième

Au millième

Exemples :

0,2×100

1,23×100=

3×5

4×5=3

4Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 5

Un nombre entier est divisible par :

Dire que a

Exemples :

51 et 2

3 sont-elles égales ?

×34 = 102 et 51×2 = 102

3sont égales.

15=207

15×207

23 = 135

Exemples :

7 - (-6

9-(-6)

7Collège Jules Verne - Mathématiques - livret repères - 3e page 6

Exemples : 3

8 = 3×8

7×8 - 1×7

8×7 17

9 + -5

17×4

9×4+-5×3

12×3 =

56 =

36 = 18

56 = 53

2×9

2×28 = 9

A. Multiplication

4×5

7=-3×5

4×715

14×21

10=3×5

2×7×3×7

2×5 = 3×3