MATHÉMATIQUES DISCRÈTES
7I 3 Opérations sur les ensembles Remarque I 3 On a P(˘) = f˘get P(P(˘)) = f˘,f˘gg La notation ˘ décrit un ensemble qui ne contient rien alors que f˘gdécrit un ensemble contenant un élément, l’ensemble vide
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MATHÉMATIQUES DISCRÈTESMathieu SABLIK
Table des matières
I Introduction à la théorie des ensembles
5I.1 Notions sur les ensembles
5 I.1.1 Construction par extension et compréhension 5I.1.2 Principales règles de fonctionnement
5I.1.3 Représentation
6I.2 Sous-ensembles
6I.2.1 Inclusion
6I.2.2 Ensemble des parties
6I.3 Opérations sur les ensembles
7I.3.1 Union et Intersection
7I.3.2 Différence et complémentaire
7I.3.3 Produit cartésien
8II Notions sur les langages
9II.1 Exemples de problèmes
9II.2 Mots sur un alphabet fini
9II.2.1 Un peu de vocabulaire
9II.2.2 Propriété d"équidivisibilité
10II.3 Langage
11II.3.1 Définition et exemples de langages
11II.3.2 Opérations sur les langages
11II.3.3 Equations sur les langages
11III Fonctions et applications
13III.1 Premières notions
13III.1.1 Définition
13III.1.2 Modes de représentation
14III.1.3 Composition de fonction et d"applications
16III.1.4 Applications singulières
17III.2 Propriétés sur les fonctions
17III.2.1 Injection et surjection
17III.2.2 Bijection et application réciproque
17III.3 Quelques classes importantes de fonctions
18III.3.1 Fonction caractéristique d"un ensemble
18III.3.2 Suites
19IV Cardinalité21
IV.1 Cardinalité des ensembles finis
21IV.1.1 Ensembles de même cardinalité
21IV.1.2 Cardinal d"un ensemble fini
21TABLE DES MATIÈRES2
IV.1.3 Principe des tiroirs
22IV.2 Dénombrement
23IV.2.1 Dénombrement et opération sur les ensembles 23
IV.2.2 Arrangements et combinaisons
26IV.3 Cas des ensembles infinis
29IV.3.1 Définition et premiers exemples d"ensembles dénombrables 29
IV.3.2 Critères de dénombrabilité
30IV.3.3 Ensembles non dénombrables
3131
V Relations sur les ensembles
33V.1 Vocabulaire des relations
33V.1.1 Définition
33V.1.2 Modes de représentations
33V.1.3 Quelques notions proches
34V.2 Propriétés sur les relations
35V.3 Relations d"équivalence
36V.3.1 Définition et exemples
36V.3.2 Classes d"équivalence et partition
37V.3.3 Ensemble quotient
38VI Relations d"ordre
39VI.1 Premières notions
39VI.1.1 Définition
39VI.1.2 Exemples de relations d"ordre classiques
39VI.1.3 Mode de représentation
40VI.1.4 Fonctions croissantes et décroissantes
40VI.2 Bornes d"un ensemble
41VI.3 Induction
42VI.3.1 Ordre bien fondé
42VI.3.2 Application à l"étude de la terminaison d"algorithme 42
VI.3.3?et le principe de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VI.3.4 Principe d"induction
45VI.3.5 Définition inductive
45VIIQuelques problèmes sur les graphes
49VII.1Différents problèmes à modéliser
49VII.2Premières propriétés
50VII.2.1 Graphe orienté ou non
50VII.2.2 Isomorphisme de graphe
51VII.2.3 Degré
51VII.3Quelques classes de graphe importantes
52VII.3.1 Graphes isolés
52VII.3.2 Graphes cycliques
52VII.3.3 Graphes complets
52VII.3.4 Graphe biparti
53VII.3.5 Graphes planaires
53VII.3.6 Arbres
53VII.4Problèmes de coloriages
54VII.4.1 Position du problème
54VII.4.2 Exemples d"applications
54VII.4.3 Nombre chromatique de graphes classiques
55VII.4.4 Comment calculer un nombre chromatique?
55VII.4.5 Résolution algorithmique
55VII.4.6 Cas des graphes planaires
573Table des MatièresVII.5Problèmes de chemins dans un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
VII.5.1 Définitions
58VII.5.2 Connexité
58VII.5.3 Chemin Eulérien
59VII.5.4 Chemins hamiltonien
61TABLE DESMATIÈRES4
ChapitreIIntroduction à la théorie des ensembles I.1Notions sur les ensembles
I.1.1Construction par extension et compréhension
Intuitivement, unensembleest une collection d"objets deux à deux distincts appeléséléments.
On peut définir un ensemble de deux manières : en extension: on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent;en compréhension: on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l"ensemble.
ExempleI.1.Voilà quelques exemples d"ensembles d"élèves : -fPierre; Paul; Marieg, on donne les trois éléments qui définissent l"ensemble; -félèves de la classe qui ont les yeux bleusg; -félèves qui viennent en cours en pyjamag, mais cet ensemble est certainement vide! ExempleI.2.Dans votre scolarité vous avez rencontré certains ensembles classiques de nombres : -?=f0,1,2,3,...gest l"ensemble des nombres naturels; -?=f1,2,3,...gest l"ensemble des nombres naturels non nul; -?=f...,3,2,1,0,1,2,3,...gest l"ensemble des nombres entiers; -?=fp/q:p2?etq2?avecq6=0g; -?l"ensemble des nombres réels; -?l"ensemble des nombres complexes. ExempleI.3.Les langages de programmation actuels exigent que certaines variables soient décla-rées avec un certaintype de données. Un type de données est un ensemble d"objets associés à une
liste d"opérations standards effectuées sur ces objets. Définir le type d"une variable équivaut à
déclarer l"ensemble des valeurs possibles et autorisées pour cette variable. Dans la sémantique de Python vous avez dû rencontrer : le type bools"interprète comme l"ensemblefVrai,Fauxg, le type ints"interprète comme l"ensemble des entiers le type floats"interprète comme l"ensemble des nombres à virgule flottante le type strs"interprète comme l"ensemble des chaînes de caractères le type lists"interprète comme l"ensemble des listes de longueur variable. I.1.2Principales règles de fonctionnement
On admettra l"existence d"ensembles. Sans rentrer dans l"axiomatique, la notion d"ensemble satisfait un certain nombre de règles de fonctionnement, en voici les principales : Relation d"appartenanceIl faut pouvoir dire si un objet est dans l"ensemble. On notex2Al"élé- mentxest dans l"ensembleA.Chapitre I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES ENSEMBLES6Objets distinctsOn peut distinguer deux éléments entre eux et un ensemble ne peut pas contenir
deux fois le même objet.Ensemble videIl existe un ensemble qui ne contient aucun élément, c"est l"ensemble vide et on le
noteAEoufg.Paradoxe de RussellUn ensemble peut être élément d"un autre ensemble mais pas de lui même.
RemarqueI.1.Cette dernière règle peut ne pas sembler naturelle. A la naissance de la théorie des
ensembles, les mathématiciens ne voyaient pas d"objection à envisager un ensemble dont les élé-
ments seraient tous les ensembles : l"ensemble des ensembles. Russell leur opposa le paradoxe suivant : A=fx2E:x/2xg. CommeEcontient tous les ensembles,Aappartient àE. Est-ce queA appartient àA? si A2Aalors par définition deA, on aA/2A, si A/2Aalors par définition deA, on aA2A. I.1.3Représentation
On peut représenter les ensembles à l"aide d"un diagramme de Venn, ce sont les fameux dia- grammes "patates". ExempleI.4.L"ensembefPierre; Paul; Marie; Julie; Karimgse représente par :KarimPierrePaulMarieJulie
I.2Sous-ensembles
I.2.1Inclusion
Définition I.1(Sous-ensembles).L"ensembleAest unsous-ensembledeBsi tous les éléments deA sont des éléments deB(autrement ditx2A=)x2B). On dit aussi queAestinclusdansB, on le noteAB.RemarqueI.2.Pour tout ensembleAon aAEAetAA.
ExempleI.5.On af1,2g f1,2,3g.
Bien sûr on a?????.
Définition I.2(Egalité d"ensembles).Deux ensembles sontégauxsi et seulement si ils ont les mêmes éléments, autrement dit siABetBA. I.2.2Ensemble des parties
Définition I.3(Ensemble des parties).SoitAun ensemble, l"ensemble des parties de A, notéP(A), est l"ensemble des sous-ensembles deA. On remarque que l"on a toujoursAE2 P(A)carAEAetA2 P(A)carAA. ExempleI.6.SiA=f1,2,3galorsP(A) =fAE,f1g,f2g,f3g,f1,2g,f1,3g,f2,3g,f1,2,3gg.7I.3. Opérations sur les ensembles
RemarqueI.3.On aP(AE) =fAEgetP(P(AE)) =fAE,fAEgg. La notationAEdécrit un ensemble qui necontient rien alors quefAEgdécrit un ensemble contenant un élément, l"ensemble vide. Un tiroir
contenant un sac vide (fAEg) n"est pas vide et contient bien un objet. I.3Opérations sur les ensembles
On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles. I.3.1Union et Intersection
deAou deB. On le noteA[B. Proposition I.1 Propriétés de la réunionLa réunion admet certaines propriétés :Idempotence :A[A=A
Commutativité :A[B=B[A
Associativité :A[(B[C) = (A[B)[C
Elément neutre :A[AE=ADéfinition I.5(Intersection).L"intersectiondes ensemblesAetBest l"ensemble des éléments com-
muns àAet àB. On le noteA\B. On dit que deux ensembles sontdisjoints(ouincompatibles) siA\B=AE. Proposition I.2 Propriétés de l"intersectionL"intersection admet certaines propriétés :Idempotence :A\A=A
Commutativité :A\B=B\A
Associativité :A\(B\C) = (A\B)\C
Elément neutre :si l"on se place dans un ensembleWappelé univers et queAest un sous- ensemble deWalorsA\W=AProposition I.3 Propriétés de distributivité On a les distributivités suivantes entre l"union et l"intersection : de[sur\:A[(B\C) = (A[B)\(A[C) de\sur[:A\(B[C) = (A\B)[(A\C)I.3.2Dif férenceet complémentaireDéfinition I.6(Différence).Ladifférencede l"ensembleApar l"ensembleBest l"ensemble des élé-
ments qui sont dansAmais pas dansB, on le noteArB.Définition I.7(Différence symétrique).Ladifférence symétriqueentre les ensemblesAetBest l"en-
semble des éléments qui sont dansAouBmais pas dans les deux, on le noteADB= (A[B)r(A\B).
Définition I.8(Complémentaire).On se fixe un ensembleWappeléunivers. PourAW, on définit lecomplémentairedeApar rapport àWcomme l"ensemble des éléments deWqui ne sont pas éléments deA, on le noteA=WrAlorsqu"il n"y a pas d"ambiguïtés.Chapitre I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES ENSEMBLES8RemarqueI.4.Il faut obligatoirement se placer dans un ensemble de référence pour définir la com-
plémentation.Proposition I.4 Propriétés de la complémentationLa complémentation a plusieurs propriétés :
Involution :A=A
Loi de Morgan :A\B=A[BetA[B=A\B
AB W Union IntersectionDifférenceDifférence symétriquePassage au complémentaireA[BA\BArBADBA[BA\BArBADBFIGUREI.1 - Exemples de constructions d"ensembles à partir des ensemblesAetBcontenus dans
l"universW I.3.3Produit cartésien
Définition I.9(Produit cartésien).Leproduit cartésiendes ensemblesAetB(dans cet ordre) est l"ensemble descouples(a,b)oùa2Aetb2B, on le noteAB. Leproduit cartésiendes ensemblesA1,A2,...,Ak(dans cet ordre) est l"ensemble desk-uplets (a1,...,ak)oùai2Aipour touti2 f1,...,kg, on le noteA1 Ak. SiA1==Akon noteAkl"ensemble desk-uplets formés par les éléments deA.RemarqueI.5.Le couple(a,b)n"est pas un ensemble.
Sia6=balors(a,b)est distinct de(b,a).
ExempleI.7.Le système de codage informatique des couleurs RGB, (de l"anglais "Red, Green,Blue") reconstitue une couleur par synthèse additive à partir de trois couleurs primaires (rouge,
vert et bleu), formant sur l"écran une mosaïque trop petite pour être aperçue. Ainsi pour chacune
des trois couleurs primaires, on donne une valeur s"exprimant dans un intervalle entre 0 et 255. D"un point de vue informatique, une couleur est donc un élément de[0;255][0;255][0;255] = [0;255]3.ChapitreIINotions sur les langages
II.1Exemples de problèmes
La notion de langage est utilisée pour modéliser différents problèmes où l"information est sto-
ckée sous une forme de chaîne de caractères. Voici quelques exemples : Langage natur el: chaque mot est formé par un ensemble de lettr esconcaténées. L "ensemble desmots formeun dictionnaire.Puis cesmots sontorganisés pourformer desphrases. Dans ce cas, une structure apparaît qui est régie par la grammaire de la langue utilisé. Stocker de l"information sur un disque dur : toute information stockée sur un disque dur est codée par une succession de bits (0 ou 1), que ce soit du texte, image, musique... On peut se demander s"il est possible de compresser cette information, c"est-à-dire trouver une fonction qui a un chaîne def0,1grenvoie de manière bijective une chaîne plus courte. Recher chede chaîne de caractèr esdans un texte. Compilation : un pr ogrammeest une suite de caractèr es.Un compilateur s"intér esseessen- tiellement aux deux choses suivantes : Analyse lexicale : on cher cheles éléments de bases qui str ucturentle pr ogramme(If, For ,While, affectation...).
Analyse syntaxique : on vérifie que les expr essionssont corr ectes(ex : var+varvarvaêtre interprété commevar+ (varvar)).
Bio-informatique : l"ADN code l"information génétique à l"aide de 4 bases azotées : adénine
(A), cytosine (C), guanine (G) ou thymine (T). II.2Mots sur un alphabet fini
II.2.1
Un peu de vocabulaire
AlphabetUnalphabetAest un ensemble fini dont les éléments sont appelés des lettres. ExempleII.1.B=f0,1gest l"alphabet binaire,A=fa,b,cgest un alphabet à trois lettres,B=fa,...,zgun alphabet à 26 lettres . On peut considérer n"importe quel ensemble fini, par exemple
C=fhello,wordgest un alphabet à deux lettres.
Mots sur un alphabet finiUnmotest une suite finie d"éléments deAon le noteu=u1u2...un etnest la longueur du motu, notéejuj. Le mot vide est noté#. On noteAl"ensemble des mots surAetA+l"ensemble des mots sans le mot vide. Opérations sur les motsSoientuetvdeux mots deA, on définit la concaténationw=u.v comme le mot de longueurjuj+jvjtel quew=u1u2...ujujv1v2...vjvj.Chapitre II. NOTIONS SUR LES LANGAGES10Pourn2?on définit par récurrence la puissance d"un mot paru0=#etun+1=u.unpour
n2?. On dit quevest unpréfixedeus"il existe un motwtel queu=v.wetvest unsuffixedeus"il existe un motwtel queu=w.v.Distance sur les motsOn peut définir différentes distances sur les mots. On s"intéressera ici à
la distance édition définie comme étant le plus petit nombre d"opérations d"édition élémentaires
nécessaires pour transformer le mot u en le mot v. Les opérations d"édition élémentaires sont la
suppression ou l"insertion d"un symbole. De multiples variantes de cette notion de distance ont été proposées, qui utilisent des en-sembles d"opérations différents et/ou considèrent des poids variables pour les différentes opé-
rations. Pour prendre un exemple réel, si l"on souhaite réaliser une application qui " corrige » les
fautes de frappe au clavier, il est utile de considérer des poids qui rendent d"autant plus proches
des séquences qu"elles ne diffèrent que par des touches voisines sur le clavier, permettant d"inté-
grer une modélisation des confusions de touches les plus probables. L"utilitaire Unixdiffimplante une forme de calcul de distances. Cet utilitaire permet de com-parer deux fichiers et d"imprimer sur la sortie standard toutes les différences entre leurs contenus
respectifs.II.2.2
Propriété d"équidivisibilité
Lemme II.1 Lemme de LeviSoientu,v,z,tdes mots sur l"alphabetAtels queuv=zt. Alors il existe un motw2 Atel
qu"un des deux cas suivant est vérifié : ou bien u=zwett=wysijuj jzj,ou bien z=uwetv=wtsijuj jzj.Démonstration:On considère queuv=zt=a1a2...anoù lesaksont des lettres deA. Soitil"entier tel
queu=a1a2...aietv=ai+1...an. De même soitjl"entier tel quez=a1a2...ajett=aj+1...an. Sijuj jzj, alorsijet on au=zwett=wvavecw=aj+1...ai.Si au contrairejuj jzj, alorsijet on az=uwetv=wtavecw=ai+1...aj.Graphiquement cela signifie que l"on a une des deux décompositions suivantes :
uv ztwou bien ztuv w mots. Commeanti.constitutionnellement=anticonstitutionnel.lement, et que de plusjantij Une conséquence importante : si on applique le Lemme de Levi avecu=z, on aw=eet donc v=t. On en déduit que siuv=utalorsv=t, autrement dit, on peut simplifier à gauche. De même, on peut simplifier à droite une équation sur les mots. Proposition II.2Soientu,v,zett2 A. Siuv=utalorsv=t.