Mathématiques pour l’ingénieur
Mathématiques pour l’ingénieur Daniel Choï 1 LMNO Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen
Mathématiques pour lingénieur
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Mathématiques pour lingénieur
Maths pour l’ing enieur : organisation et evaluation Organisation 7 s eances d’1h30 de cours 8 s eances d’1h30 de TD Evaluation : 1 examen interm ediaire de 30 min sans documents en S9 1/4 note nale Tutorat en S13 1 examen nal de 1h30 avec documents en S15 3/4 note nale Thomas Cluzeau Math ematiques pour l’ing enieur
MAT-1900 : Mathématiques de lingénieur I
• 1 1 Démontrer, à un niveau universitaire, l’acquisition de connaissances en mathématique Les indicateurs cibles pour cette composante seront : o 1 1 1 Compréhension des notions mathématiques
MT12 Mathématiques pour lingénieur
mathématiques utiles à l'ingénieur par la mise en oeuvre de certaines techniques mais aussi par la tenue de raisonnements quelquefois di ciles Les mathématiques pour l'ingénieur présentées dans ce cours s'appuient sur l' intégrale , ou plutôt les intégrales, comme on le verra au chapitre 1
Outils Mathématiques pour l’Ingénieur
1 1 1 2 Basefonctionnelle Dans ce paragraphe, on montre qu’une famille de fonctions est orthonormée et peut donc servir à construire une base dans laquelle il sera possible de représenter d’autres
AIDE-MÉMOIRE Mathématiques de l’ingénieur
1 1 Symboles usuels de l’algèbre 3 1 2 Structures algébriques 4 1 3 Calculs dans l’ensemble des nombres réels 6 1 4 Numération binaire 10 1 5 Algèbre de la logique ou algèbre de Boole 13 1 6 Analyse combinatoire 15 1 7 Équations algébriques 18 1 8 Déterminants, systèmes linéaires et matrices 24 1 9 Fonctions usuelles simples 40
Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur
Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur Suite de la boite à outils en 5 séances de cours + 5 séances de TD 1
Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur ISTIL 1ère année
Corrigé de la feuille 1 1 Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur ISTIL 1ère année Corrigé de la feuille 11 Exercice 1 1 a Rappel sur les coniques Les coniques interviennent dans un nombre d’applications physiques et ma-thématiques si grand qu’il est indispensable de bien connaître leurs proprié-tés
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Mathematiques pour l'ingenieur
Thomas Cluzeau
Ma^tre de Conferences
Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.ensil.unilim.fr/ ~cluzeauThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurMaths a l'ENSIL en TC1
Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyseAlgebre lineaire
A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S1Mathematiques pour l'ingenieur (coe. 2) A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S2Analyse numerique (coe. 2)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Maths pour l'ingenieur : organisation et evaluationOrganisation7 seances d'1h30 de cours
8 seances d'1h30 de TD
Evaluation: 1 examen intermediaire de 30 min. sans documents en S91/4 note nale Tutorat en S131 examen nal de 1h30 avec documents en S15
3/4 note nale
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Plan du cours
1Introduction aux distributions
2La convolution
3La transformation de Fourier
4La transformation de Laplace
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Chapitre 1
Introduction aux distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IPourquoi introduire les
distributions ?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Historique
Distributions : utilisees depuis tres longtemps par lesphysiciens Theoriemath ematiquerigoureuse plus r ecente: Sob olev(1936),L. Schwartz (1950)
, Gelfand (1964) Theorie la mieux adaptee al' etudede nom breuxsyst emes physiques (systemes lineaires continus) Convolution et Transformee de Fourieroutils tr espuissants gr ^ace aux distributionsDenition intuitive d'une distribution :
outil math ematiqueutilis e pour representer des phenomenes physiques que les fonctions classiques s'averent incapables de transcrireThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif (1)
Exemple : choc elastique & choc dur entre deux objetsPartie de squash : vitessev0avant puisv0apres tLoi de la mecanique Newtonnienne)F=m_vThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif 1
Partie de petanque : on passe dev0av0sans tOn a encoreF=m_vdoncF(t) = 0;8t6= 0De plus
1m R +11F(t)dt=v(+1)v(1) =2v0
ce qui est absurde p ourdes fonctions )Probleme ne pouvant ^etre traite au sens des fonctions )On a besoin d'objets plus generaux :les distributions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples
Distributions de charges en
electrostatique (cf. p olycopie) En m ecanique , dans le cadre de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, comment ecrire l'equation du mouvement d'un solide lorsque le systeme est soumis a une force intense appliquee pendant un intervalle de temps tres court a partir de l'instantt=t0?En electricite, comment va se comporter un circuit dont l'entree varie brusquement ; par exemple par fermeture d'uninterrupteur sur une source de tension continue ?Enhydraulique , comment va se comporter un systeme dont
on ouvre brusquement une vanne a l'instantt=t0?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IIFonctionnelles et espaceDdes
fonctions testsThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Fonctionnelles
Denition
On dit que l'on a
u nefonctionnelle sur un ensemble de f onctions appelees fonctions tests , si a chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe.FonctionnelleTsur un espace de fonctionsF:T:F !C; '7!
Plus les conditions de regularite imposees aux fonctions tests sont severes, plus les fonctionnelles denies sont generales Les distributions seront denies comme fonctionnelles sur un certain espace, noteD, que nous allons presenter maintenantThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
L'espace des fonctions testsDRESTRICTION POUR CE COURS: fonctions aune seule va riableDenition
Soit f une fonction a valeurs complexes denie surR. Lesupp ort de f , not eSupp(f), est l'adherence des x2Rtels que f(x)6= 0.Supp(f) =fx2R;f(x)6= 0g:Denition
On denit l'ensembleDcomme l'espace des fonctions a valeurs complexes denies surRindeniment derivables et a support borne (compact).Remarques: C'est un espace vectoriel de dimension innie. Les fonctions deDont deslimites nulles e n1Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDDes exemples ne viennent pas immediatement a l'espritExemple fondamental:
a(x) =0pourjxj 1=a; exp(11a2x2)pourjxj<1=a;
aveca>0.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDPlus generalement, toute fonctionabdenie par ab(x) =0pourx=2]a;b[; exp( 12 [1xb1xa])pourx2]a;b[:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples et theoreme d'approximation
Autre famille de fonctions deD:
k(x) =1(k x)R1(k x)dxTheoreme
Si'2 Det si f est une fonction sommable (integrable) a support borne, alors (x) =Rf(t)'(xt)dt est une fonction deD.Soit k(x) =Rf(t) k(xt)dt fcontinue)( k)kconverge uniformement versfTheoreme (Theoreme d'approximation) Toute fonction continue a support borne peut ^etre approchee uniformement par une suite('n)n>0de fonctions deD.8 >0;9N2N;tel que;8nN;8x;jf(x)'n(x)j:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Topologie deDDenie par un critere de convergence pour les suitesDenition Une suite('n)n>0de fonctions deDconverge vers une fonction' lorsque n tend vers l'inni si :1Il existe un ensemble borne B (independant de n) deRtel que pour tout n>0,Supp('n)B ;2Pour tout entier k0, la suite des derivees('(k)n)nconvergeuniformement surRvers'(k).On peut montrer que la limite'appartient alors aDThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IIIL'espaceD0des distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (1)
Denition
On appelle
distribution toute fonctionnelle lin eairecontinue sur l'espace vectorielD.DistributionT:T:D !C; '7!=T(')1Linearite
8 >0;9N2Ntel que;8k>N;jjThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (2)
Ensemble des distributions =espace vecto rielnot eD0 La somme de deux distributions et le produit d'une distributionpar un scalaire sont denis comme suit :=+