Mathématiques pour la physique Cours + Exercices corrigés François Reynaud Professeur de physique à la faculté des sciences de Limoges Daniel Fredon Maître de conférences en mathématiques appliquées Michel Bridier Maître de conférences en physique de 9782100582655-Reynaud-lim qxd 9/07/12 7:39 Page III
[5]Jacques Gapaillard, Int egration pour la licence, Dunod 2002 [6]John Lamperti, Probability, Benjamin 1966 [7]W Rudin, Analyse r eelle et complexe, Masson 1977 [8]Laurent Schwartz, M ethodes math ematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965 [9]Laurent Schwartz, Th eorie des distributions, Hermann, 1966
La convergence de la suite de fonctions du deuxième membre vient de résultats purement mathématiques : théorème de Weierstrass (approximation d'une fonc-tion périodique par des polynômes trigonométriques) et algèbre sur des espaces complexes Calcul des coefficients de la décomposition On montre facilement en utilisant la
Les modèles mathématiques ont un succès inouï dans le domaine de la physique par leur capacité à prédire les phénomènes auxquels ils s’appliquent : mécanique classique, mécanique quantique, électromagnétisme, physique des particules, astrophysique, etc En un siècle, les mystères de la physique ont réduit comme peau de chagrin
LES MATHS EN PHYSIQUE La physique à travers le filtre des mathématiques avec éléments d’analyse numérique Cours et applications Jean-Pierre Provost Professeur à l’université de Nice-Sophia Antipolis Gérard vallée Maître de conférences à l’université de Nice-Sophia Antipolis 3e édition
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mathématiques physique chimie sciences de l’ingénieur informatique www dunod com 6493233 isBn 978-2-10-051941-5 lionel porcheron ingenieur de l’enseeiht à toulouse • Toutes les formules et définitions du pro-gramme de mpsi et mp en mathématiques, physique et chimie • pour chaque formule : la signification des
avoir de trop matériel la démonstration réduite à la sécheresse des chiffres ou à la rectitude des lignes Alexandre Dumas, Le comte de Monte-Cristo Edmond Dantès, le héros du roman d’Alexandre Dumas, dispose de deux ans pour apprendre les mathématiques, la physique, l’histoire, et « trois ou quatre langues vivantes », à
L’accent est mis sur la notion de référentiel barycentrique Les outils mathématiques nécessaires à la bonne compréhension d’un cours de physique et les notions de base de la mécanique céleste sont présentés en fin d’ouvrage MATHÉMATIQUES PHYSIQUE CHIMIE SCIENCES DE L’INGÉNIEUR INFORMATIQUE SCIENCES DE LA VIE SCIENCES DE LA
UEF1 3 : Méthodes mathématiques pour la physique 67h 30min 3h 1h 30min 3 6 33,33 66,67 UE méthodologie UEM1 1 : Modélisation et simulation des matériaux 60h 66,672h :30 1h 30min 3 5 33,33
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MATHÉMATIQUES
POUR L"ÉCONOMIE
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MATHÉMATIQUES
POUR L"ÉCONOMIE
Analyse - Algèbre
6 e
édition
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Graphisme de couverture : Pierre-André Gualino
Illustration de couverture : © metamorworks / fotolia.fr
Mise en pages : Lumina
© Dunod, 2019
11, rue Paul Bert, 92240 Malakoff
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-078912-2
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Table des matières
Introduction1
Chapitre
1
Langage mathématique, mode d'emploi3
1.Connecteurs logiques ET, OU, NON,⇒3
1.1. Le vrai et le faux 3
1.2. ET, OU, NON 5
1.3.⇒;Si...,Alors... 7
1.4.⇒, Bi-implication 9
2.Les quantificateurset10
2.1. Règles d"utilisation 10
2.2. Exemples 12
3.Application : opérations sur les ensembles13
3.1. Ensemble, élément, inclusion 13
3.2. Union, intersection, complémentaire, produit 14
3.3. Fonction, application, injection, surjection, bijection 16
Exercices22
Solutions24
Chapitre
2
Les ensembles numériques?,?,?,?26
1.Les entiers naturels?27
1.1. Propriétés de l"addition et de la multiplication 27
1.2. Le raisonnement par récurrence 28
1.3. Le signe∑30
1.4. Les nombres∫
33
2.L"ensemble?des nombres réels36
2.1. Insuffisance des ensembles?,?,?37
2.2. Concept nouveau : borne supérieure
d"une partie non vide de?40
2.3. L"ensemble(?,+,.,?,ABS)43
Exercices48
Solutions50
Chapitre
3
Suites et séries numériques53
1.Notations et définitions53
1.1. Illustrations 53
V
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Mathématiques pour l"économie
1.2. Définitions 55
1.3. Quelques exemples de suites 56
2.La notion de limite et son langage de définition58
2.1. Suites convergentes 58
2.2. Suites divergentes 60
2.3. Récapitulation 61
3.Propriétés des limites61
4.Premiers critères de convergence65
4.1. Suites monotones bornées 65
4.2. Suites adjacentes 65
5.Exemples66
5.1. Suite définie par une relation explicite 66
5.2. Suite définie par une relation (ou équation) de récurrence 67
5.3. Suites particulières 69
6.Séries numériques74
6.1. Définitions 74
6.2. Propriétés 75
Exercices79
Solutions81
Chapitre
4
Fonctions réelles d'une variable réelle87
1.Limite d"une fonction87
1.1. Limite en un point 87
1.2. Limite à gauche, limite à droite 88
1.3. Limite infinie en un point 90
1.4. Limite à l"infini 91
1.5. Propriétés des limites 92
1.6. Cas d"une fonction monotone 93
1.7. Quelques limites classiques, utiles... incontournables 94
2.Fonctions équivalentes95
ou vers±97
3.Continuité97
3.1. La notion de continuité 97
3.2. Propriétés des fonctions continues 100
3.3. Les fonctions continues usuelles 101
3.4. Théorèmes fondamentaux 101
VI
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Table des matières
3.5. Applications 103
3.6. Fonction réciproque d"une fonction continue
strictement monotone sur un intervalle 105
Exercices106
Solutions108
Chapitre
5
Dérivation111
1.La notion de dérivée111
1.1. Nombre dérivé 111
1.2. Dérivabilité sur un intervalle 114
1.3. Fonction dérivée 115
1.4. Propriétés des fonctions dérivables 115
1.5. Dérivées des fonctions usuelles 118
1.6. Élasticité 118
1.7. Différentielle 119
2.Théorème des accroissements finis et applications120
2.1. Théorèmes 120
2.2. Applications 123
3.Recherche d"extrema, convexité129
3.1. Extrema d"une fonction 129
3.2. Convexité 135
3.3. Récapitulation des conditions d"optimalité 138
Exercices140
Solutions143
Chapitre
6
Intégration148
1.Primitive148
2.Intégrale définie150
2.1. Étude d"un exemple 151
2.2. Fonction Riemann-intégrable sur un intervalle [a,b] 152
2.3. Méthodes de calculs 160
3.Intégrale généralisée163
3.1. Cas où l"une des bornes de l"intervalle
d"intégration est infinie 163
3.2. Cas où la fonction devient infinie
sur l"intervalle d"intégration 168
Exercices172
Solutions174
VII
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Mathématiques pour l"économie
Chapitre
7
Algèbre linéaire 1177
1.La structure d"espace vectoriel177
1.1. Définitions 178
1.2. Exemples 179
1.3. Propriétés du calcul dans un⩽e.v. 182
1.4. Combinaison linéaire de vecteurs 183
2.Sous-espace vectoriel, système générateur, système
libres 184
2.1. Définitions, propositions, exemples 184
2.2. Système générateur, espace vectoriel engendré
par un système de vecteurs 187
2.3. Système libre, système lié 189
2.4. Base d"un espace vectoriel 192
3.Application linéaire201
3.1. Définitions 201
3.2. Exemples 203
3.3. Espaces vectoriels isomorphes 205
3.4. Propriétés 206
3.5. Noyau et image d"une application linéaire 209
4.Matrice d"une application linéaire212
4.1. Écriture matricielle 212
4.2. Étude d"exemples 214
4.3. Algèbre des matrices 215
4.4. Matrices et applications linéaires 226
Exercices234
Solutions238
Chapitre
8
L'ensemble?des nombres complexes243
1.Généralités244
1.1. Forme algébrique d"un nombre complexe 244
1.2. Conjugué d"un nombre complexe 245
1.3. Le plan complexe 246
1.4. Forme trigonométrique d"un nombre complexe 247
2.Équations dans?250
2.1. Le Théorème de d"Alembert-Gauss 250
2.2. Équation du second degré à coefficients réels 250
2.3. Équation du second degré à coefficients complexes 250
VIII
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Table des matières
3.Espaces vectoriels sur?251
Exercices252
Solutions253
Chapitre
9
Algèbre linéaire 2254
1.Déterminants254
1.1. Déterminant d"une matrice (2,2) 254
1.2. Déterminant d"une matrice (n,n) 258
1.3. Applications 261
1.4. Déterminant d"un système denvecteurs 264
2.Diagonalisation d"une matrice267
2.1. Valeurs propres 267
2.2. Diagonalisation 270
3.Formes quadratiques274
Exercices279
Solutions282
Chapitre
10
Fonctions réelles
de plusieurs variables réelles 288
1.Normes et distances sur?
2 288
1.1. L"ensemble?
2 288
1.2. Produit scalaire, normes et distances 289
1.3. Généralisation à?
294
2.Fonctions de deux variables et généralisation
aux fonctions denvariables 296
2.1. Définitions, exemples, graphes 296
2.2. Limite, continuité 298
2.3. Dérivées partielles, élasticités partielles 301
2.4. Différentielle 305
2.5. Dérivées partielles secondes 309
3.Théorème des accroissements finis et applications311
3.1. Théorème des accroissements finis 311
3.2. Dérivées de fonctions composées (dérivation en chaîne) 312
3.3. Fonctions positivement homogènes 315
3.4. Théorème des fonctions implicites 316
3.5. Formule de Taylor 318
Exercices321
Solutions323
IX
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Mathématiques pour l"économie
Chapitre
11
Recherche d'extrema, convexité327
1.Présentation des problèmes327
2.Extrema d"une fonction sans contraintes329
2.1. Conditions nécessaires 329
2.2. Conditions suffisantes 331
3.Convexité333
3.1. Sous-ensemble convexe de?
333
3.2. Fonction convexe sur un sous-ensemble convexe de?
333
3.3. Fonction concave sur un sous-ensemble convexe de?
336
4.Récapitulation des conditions338
5.Extrema sous contraintes : théorème d"existence339
6.Extrema d"une fonction sous contraintes d"égalité :
conditions nécessaires, conditions suffisantes 341
7.Extrema d"une fonction sous contraintes d"égalité et
d"inégalité : conditions nécessaires, conditions suffisantes 352
Exercices357
Solutions359
Chapitre
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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