[PDF] Mathématiques B30 - Government of Saskatchewan

3e Révisions équations

Résoudre les équations suivantes : 4x = 12 -6 x = 34 x – 5 = 15 x + 8 = 15 Pour sauver Jane, Tarzan traverse la forêt en sautant avec des lianes

Résolution déquations avec Mathematica

§ 3 Résolution d'équations avec Mathematica § 3 1 Introduction Mathematica dispose de plusieurs commandes et méthodes qui peuvent servir à résoudre des équations ou des systèmes d'équations : Factor, NSolve, Solve, FindRoot, FixedPoint, Linear-Solve, Reduce,

EQUATIONS AVEC VALEURS ABSOLUES CORRECTION

EQUATIONS AVEC VALEURS ABSOLUES Résoudre dans \ les équations suivantes : x−2=3 x+=512 3−x =5 x−5=−2 24x− =x+1 23xx+−2−=−3 CORRECTION Pour résoudre des équations faisant intervenir des valeurs absolues, deux méthodes sont possibles :

EXERCICES - RPN

Ce TD offre six séries d’exercices de difficulté croissante pour s’exercer : • Série 1 d’exercices : équations simples du 1er degré • Série 2 d’exercices : équations du 1er degré (avec fractions et développement) • Série 3 d’exercices : équations particulières du 1er degré (utiliser le produit en croix)

Équations qui se ramènent au premier degré

Équations qui se ramènent au premier degré Matières Identités remarquables, règles de calcul littéral, fractions littérales, factorisation Exercice1 Résoudre l’équation (3x 5) 1 2 x2 +7x+3 2 2= (3x 5)22 Exercice2 Résoudre l’équation 1 2 2x = x x22 44 Exercice3 Résoudre l’équation 5 (3x 2)2 +64 = x2 (x+8)(x 8) 2 2 2 2

TP3 : Résolution déquations, continuité, dérivation, intégration

Pour les équations plus compliquées, Maple peut trouver une partie des solutions, aucune des solutions, ou meme des solutions qui sont fausses Voir la feuille d'exercices 1 2 Résoudre un système d'équations Pour résoudre un système d'équations, on utilise la commande solve avec la syntaxe : solve({equations}, {variables})

Mathématiques B30 - Government of Saskatchewan

P ii - Math B30 - Équations second degré Liste des objectifs du programme d’études de Mathématiques B30 Objectifs généraux L’élève sera capable de: • Démontrer l’habileté à résoudre des équations du second degré • Écrire une équation du second degré en analysant les racines données Objectifs spécifiques

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

Vous savez résoudre les équations différentielles du type x0(t) = ax(t), où la dérivée x0(t) est liée à la fonction x(t) Par exemple, si a est une constante, les fonctions solutions sont les x(t) = x0eat (où x0 2R) Plus généralement, on apprend à résoudre les équations x0(t) = a(t)x(t)+ b(t) où a et b sont des fonctions de t

Chapitre 6 : Équations polynomiales Fascicule d’exercices

(2) Résoudre dans C l’équation (E) Exercice8: Résoudre, dans C, les équations suivantes : (1) z4 ¯4z2 ¡21 = 0 (2) z4 ¡7z2 ¯12 = 0 Exercice9: Vrai ou Faux (1) Si 1 est racine du polynôme az2 ¯bz¯c (avec a 6˘0), alors l’autre racine est c a (2) Les racines du polynôme z2 ¯z¯3 sont ¡1¯ p ¡11 2 et ¡1¡ p ¡11 2

Physique MPSI-PTSI Exercices incontournables

Outils mathématiques 1 Les équations différentielles linéaires 6 1 1 : Équation homogène du premier ordre 6 1 2 : Équation du premier ordre avec second membre 7 1 3 : Équation avec second membre fonction du temps 9 1 4 : Équation du deuxième ordre 12 2 Les nombres complexes 14 2 1 : Module et argument d’un nombre complexe 14

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Mathématiques B30

Équations du second degré

Module de l'élève

2002

Mathématiques B30

Équations du second degré

2

4DbacZJ

Module de l'élève

Bureau de la minorité de langue officielle

200
2

P.ii - Math B30 - Équations second degré

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L'élève sera capable de:

• Démontrer l'habileté à résoudre des équations du second degré • Écrire une équation du second degré en analysant les racines données

Objectifs spécifiques

L'élève sera capable de:

E.1 Résoudre des équations du second degré à l'aide de la formule quadratique E.2 Résoudre des équations du second degré ayant des racines complexes E.3 Résoudre des problèmes exigeant l'application des équations du second degré dans la vie courante E.4 Déterminer la nature des racines d'une équation du second degré à l'aide du discriminant E.5 Déterminer que la somme des racines d'une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 égale (-b/a), et que le produit des racines égale (c/a). E.6 Écrire une équation du second degré, étant donné les racines E.7 Résoudre des équations d'un degré supérieur à deux en les exprimant sous la forme d'une équation du second degré, ex.: x 4 - 34x 2 + 225 = 0 E.8 Résoudre des inéquations du second degré

P.ii - Math B30 - Équations second degré

Remerciements

Certains exercices et exemples ont été adaptés, avec permission, des documents de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public School Division, 1999) et Algèbre 30, manuel de l'élève, BMLO, 1988.

P.1 - Math B30 - Équations second degré

1. Résolution d'équations du second degré

Tu as déjà appris à résoudre des équations quadratiques en utilisant trois méthodes; la mise en facteurs, la complétion du carré et la formule quadratique. Revoyons-les à travers quelques exemples.

1.1 La mise en facteurs

Exemple 1 : Résous l'équation à l'aide de la 2

61360aaHHZ

factorisation.

Solution

EFHZ32230aaHHZ

ou320aHZ230aHZ ou Ĕ ensemble solution: 2 3aJZ3 2aJZ 33
2,

1.2 La complétion du carré

Exemple 2 : Détermine l'ensemble solution de l'équation en complétant le carré 2

21670xxHHZ

Solution

2

7802xxHHZ

2

782xxHZJ

2

7816 162xxHHZJH

EF

22542xHZ

2542xHZÎ

5524422xZJ Î ZJ Î

P.2 - Math B30 - Équations second degré

Ĕ ensemble solution:

2852
2,

P.3 - Math B30 - Équations second degré

ax bx c x b axc a x b axc a x b axb ab ac a x b abac a x b abac a x b abac a x bb ac a 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 44
2 4 4 2 4 4 2 4 2 4 2HHZ HHZ HZJ HHZJ H

ĕĔZJ

HZÎ

J

ZJ Î

J Z

JÎ J

1.3 L'utilisation de la formule quadratique

Avant de montrer un exemple de résolution d'équation du second degré en utilisant la formule quadratique, il est important de reconnaître qu'en complétant le carré de l'équation générale où , on arrive à développer cette 2

0ax bx cHHZ0aÖ

fameuse "formule quadratique» qui nous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique.

Voici le développement

de la formule: Plusieurs équations quadratiques ont des solutions dans l'ensemble des nombres réels. Toutefois, les équations quadratiques peuvent aussi avoir des solutions dans l'ensemble

P.4 - Math B30 - Équations second degré

des nombres complexes. Les deux exemples qui suivent illustrent ces deux possibilités.

P.5 - Math B30 - Équations second degré

xx ab c x bb ac a x x x x 2 2 2 890
189
4 2 88419
21
86436
21
828
2 827

247JHZ

ZZJZ Z

JÎ J

Z

JJ Î J J

Z ÎJ Z Z

ÎZÎ

ab c x bb ac a x x x x iiZZJZ Z

JÎ J

Z

JJ Î J J

Z ÎJ Z ÎJ Z

ÎZÎ1413

4 2

444113

21

4164113

21
436
2 46
223
2 2 Exemple 3 : Détermine l'ensemble solution de l'équation suivante en utilisant la formule quadratique: xx 2 89ZJ
Solution On doit tout d'abord s'assurer que l'équation est écrite sous la forme générale 2

0ax bx cHHZ

Exemple 4 :

La solution de est

xx 2

4130JHZ

montrée ci-contre.

P.6 - Math B30 - Équations second degré

Il est aussi possible d"utiliser la calculatrice

à affichage graphique pour résoudre une

équation du second degré. Par exemple, le

graphique de l"équation possède l"allure suivante. 2

12yx xZJJ

Il existe plus d'une méthode pour

détermine r les zéros de l'équation, qui représent ent son ensemble solution. Entre autres, nous pouvons déterminer un des zéros en appuyant sur y r et ensuite sur 2. L'écran suivant devrait apparaître: À l'aide de la flèche de déplacement gauche, il faut se déplacer de manière à ce que le curseur se trouve au-dessus de l'axe des x , comme le montre la figure ci-contre. Nous venons alors de déterminer la borne inférieure de l'intervalle à l'intérieur duquel nous voulons que la calculatrice détermine le zéro. Avant d'aller plus loin, il faut appuyer sur

P.7 - Math B30 - Équations second degré

Pour indiquer la borne supérieure, il faut déplacer le curseur avec la flèche de droite jusqu"à ce que celui-ci se trouve sous l"axe des x, tel qu'illustré ci-contre. Il faut alors appuyer sur

P.8 - Math B30 - Équations second degré

La calculatrice demandera alors d"estimer la

valeur. On peut entrer une valeur ou simplement appuyer de nouveau sur jusqu'à ce que la solution apparaisse.

La calculatrice nous indique alors que la

racine est située au point (-3,0). Une des solutions de l'équation est donc -3.

En répétant les mêmes étapes, nous

trouverons que l'autre racine est 4.

L'ensemble solution est donc .

˜Z3,4J

Il est à noter que les valeurs de x qui rendent f(x) égal à 0 ont des noms différents selon la situation. Lorsqu'on utilise le terme racines, on se réfère à une équation. Lorsqu'on utilise le terme zéros, on se réfère à une fonction. Lorsqu'on utilise le terme abscisses à l'origine, on se réfère à un graphique.

Équation Fonction Graphique

ax 2 + bx + c = 0 EF 2 fxaxbxcZHHquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10