SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES I Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (u n) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u 0 = 3, u 1 = 8, u 2 = 13, u 3 = 18
Suites arithmétiques Suites géométriques
• Les suites arithmétiques sont les suites de la forme • Les suites géométriques sont les suites de la forme (an+b) n∈N (a×bn) n∈N où aet bsont deux réels (ou deux complexes) où aet bsont deux réels (ou deux complexes) • Pour tous entiers naturels net p, • Pour tous entiers naturels net p, u n = u p+(n−p)r u n = u p×qn−p
Terminale ES - Suites géométriques
II) Les deux formules de calculs de termes (????????) ????≥????0 est une suite géométrique de premier terme ???????? 0 et de raison ???? (????∈ℝ∗) Soit (????????)????≥???? , une suite, et ???? un entier naturel supérieur ou égal à ???? , On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur
Suites arithmétiques Suites géométriques
• Les suites arithmétiques sont les suites de la forme • Les suites géométriques sont les suites de la forme (an+b) n∈N (a bn) n∈N où aet bsont deux réels (ou deux complexes) où aet bsont deux réels (ou deux complexes) • Pour tous entiers naturels net p, • Pour tous entiers naturels net p, u n =u p +(n−p)r u n =u p ×qn−p
Suites arithmétiques et géométriques - Corrigé
Suites arithmétiques et géométriques - Corrigé Exercice 1 1) La suite définie pour tout entier par est-elle arithmétique ? Géométrique ? La suite est donc géométrique de raison 2) a) Préciser la nature et les éléments caractéristiques des deux suites définies pour tout entier naturel par et
Résumé sur les suites arithmétiques et géométriques
Résumé sur les suites arithmétiques et géométriques Suitearithmétique Suitegéométrique Formule de récur-rence u n 1 u n r (oùr estlaraison) Siu n 1 u n r alorspu nqestarithmétiquesderaisonr v n 1 q v n (oùq estlaraison) Si v n 1 v n q alorspv nqestgéométriquederaisonq Variations Sir ¡0 lasuitepu nqestcroissante Sir €0
Chapitre 2 : - SUITES ARITHMETIQUES - SUITES GEOMETRIQUES I
Cours de Terminale « maths complémentaires » – Patricia Pouzin – chapitre 2 : Les suites arithmétiques et géométriques Page 1 Plan du cours : I Les suites arithmétiques – quelques rappels II Les suites géométriques a) Définition et propriétés b) Somme des premiers termes d’une suite géométrique
LES SUITES (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques LES SUITES (Partie 2) I Comportement à l’infini des suites géométriques 1) Rappels Définition : Une suite (u n) est une suite géométrique s'il existe un nombre tel que pour tout entier ", on a : # $ &=×# $ Le nombre est appelé raison de la suite Exemple : La
MATHEMATIQUES : PROBLEMES ET SOLUTIONS
Created Date: 11/22/2015 6:49:08 PM Title () Keywords ()
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0
1 3 5 nn u uu. Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : 1nn
uur. Le nombre r est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk 1) La suite (un) définie par :
u n =7-9n est-elle arithmétique ? 2) La suite (vn) définie par : v n =n 2 +3 est-elle arithmétique ? 1) u n+1 -u n =7-9n+1 -7+9n=7-9n-9-7+9n=-9. La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (un) est une suite arithmétique de raison -9. 2)
v n+1 -v n =n+1 2 +3-n 2 -3=n 2 +2n+1+3-n 2 -3=2n+1. La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique. Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a :
u n =u 0 +nr. Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation
u n+1 =u n +r . En calculant les premiers termes : u 1 =u 0 +r u 2 =u 1 +r=u 0 +r +r=u 0 +2r u 3 =u 2 +r=u 0 +2r +r=u 0 +3r u n =u n-1 +r=u 0 +(n-1)r +r=u 0 +nr. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4 Considérons la suite arithmétique (un) tel que
u 5 =7 et u 9 =19. 1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme
u n =u 0 +nrAinsi 50
57uur=+=
et 90919uur=+=
. On soustrayant membre à membre, on obtient :5r-9r=7-19
donc r=3 . Comme u 0 +5r=7 , on a : u 0 +5×3=7 et donc : u 0 =-8 . 2) 0n uunr=+ soit 83 n un=-+× ou encore 38 n un=-2) Variations Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. Démonstration :
u n+1 -u n =u n +r-u n =r . - Si r > 0 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors u n+1 -u n <0 et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02MYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3La suite arithmétique (un) définie par
u n =5-4nest décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. RÉSUMÉ (un) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u0. Exemple : r=-0,5
et u 0 =4Définition
u n+1 =u n +r u n+1 =u n -0,5 La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Propriété u n =u 0 +nr u n =4-0,5n Variations Si r > 0 : (un) est croissante. Si r < 0 : (un) est décroissante. r=-0,5<0La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4II. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. La suite est donc définie par :
u 0 =5 u n+1 =2u nVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a :
u n+1 =q×u n. Le nombre q est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est géométrique Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ La suite (un) définie par :
u n =3×5 n est-elle géométrique ? u n+1 u n3×5
n+13×5
n 5 n+1 5 n =5 n+1-n =5. Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5. (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme
u 0 =3×5 0 =3. Exemple concret : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u
1 =1,04×500=520 u 2 =1,04×520=540,80 u 3 =1,04×540,80=562,432De manière générale : u
n+1 =1,04×u n avec u 0 =500 On peut également exprimer un en fonction de n : u n =500×1,04 nPropriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a :
u n =u 0 ×q nYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5Démonstration : La suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u0 vérifie la relation
u n+1 =q×u n . En calculant les premiers termes : u 1 =q×u 0 u 2 =q×u 1 =q×q×u 0 =q 2 ×u 0 u 3 =q×u 2 =q×q 2 ×u 0 =q 3 ×u 0 u n =q×u n-1 =q×q n-1 u 0 =q n ×u 0. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10 Considérons la suite géométrique (un) tel que
u 4 =8 et u 7 =512. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). Les termes de la suite sont de la forme
u n =q n ×u 0 . Ainsi u 4 =q 4 ×u 0 =8 et u 7 =q 7 ×u 0 =512 . Ainsi : u 7 u 4 q 7 ×u 0 q 4 ×u 0 =q 3 et u 7 u 4 5128 =64 donc q 3 =64
. On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 64. Ainsi
q=64 3 =4 Comme q 4 ×u 0 =8 , on a : 4 4 ×u 0 =8 et donc :quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10