CHAPITRE IX : Calcul littéral

I. Rappels de cinquième

1. Conventions d'écriture

Afin d'alléger les écritures, on convient des règles suivantes :  Le symbole de la multiplication ( x ) disparaît : -entre deux lettres : a x b s'écrit ab Remarque :Entre deux même lettres, on utilise le carré ou le cube ( a x a =a2 ; a x a x a = a3) - entre un nombre et une lettre : 3 x a ou a x 3 s'écrit 3a - devant une parenthèse: 4 x ( 2x + 1) s'écrit 4(2x+1)  On conserve les parenthèses et le signe x dans certains cas :

5 x ( - 8) : des parenthèses pour séparer x et -

4 x 35 : sans le signe x on lirait 435 !

Ex 1 : Utilise cette convention pour :

2 x a = ...... 3 x a xa = ...... 4 x (a - 2) = .....................

 Les facteurs s'écrivent dans l'ordre suivant :

1)Les nombres

2) Les lettres et dans l'ordre alphabétique

3) Les parenthèses

Exemple : a x 2 x b s'écrit 2ab

a x ( x + 2 ) x (- 5) x b s'écrit -5ab(x + 2)

Ex 2 : Utilise cette convention pour :

4cx(-5)x(-3a) ; 3cx2ax(-a)x4xd ; 3a x (-6) b x 4c

2. Simplification d'écriture

Une expression littérale est une suite d'addition( ou de soustraction) de termes littéraux ou numériques relatifs. Par exemple, l'expression : E = 5 + a - 4b - 2 + 3a - b - 7 + 5a + 10a Simplifier ou réduire l'expression E, c'est compter ensemble les termes de même nature : + a + 3a + 5a + 10a = 19a - 4b - b = - 5b

5 - 2 - 7 = - 4Ainsi E = 19a - 5b - 4

Ex 3 : Réduis les expressions suivantes :

A = 2a + 3a ; B = -8b - 2,5 + 3b +3,5 ; C = 7 - 4a + 2a + 3b - 5 - 7b + 2a

D = axa - a ; E = 3x2 - 5x + 6 - x2 + 6x +12

3. Traduire les phrases suivantes par des expressions algébriques :

Si a et b désignent deux nombres :

La somme de a et de b : .................. Le produit de a et de b : .................. La somme de x et de 3 : .................. Le produit de x et de 3 : .................. Le double de a : .................. Le quotient de a par b : .............. La moitié de a : .............. Le produit de 3x et de 2x : ..............

L'inverse de a : .............. Le produit de 6 par la somme de x et de 3 : .................................

L'opposé de a : .............. La somme de 6 par le produit de x et de 3 : ..................................

4. Calculer des expressions pour les valeurs données :

Calculer une expression, c'est remplacer la lettre par un nombre donné.

Exemple : calcule 3a + 1 pour a = 2 3 a + 1 = 3 x a + 1 = 3 x 2 + 1 = 6 + 1 = 7

Ex 4 : calcule les expressions pour x = 1 puis pour x = - 3

5x - 5( x - 7) 2x² - 3x + 1

5.Tester une égalité

Ex 5

Tester l'égalité 31-x=20+x pour x=1 Tester l'égalité 6xy-2y=y(5x+1) pour x = 3 et y = 5

II. La distributivité

1) Exemple d'introduction

Un restaurateur a commandé 3 caisses de jus d'orange et 5 caisses de jus de raisin.

Chaque caisse contient 24 bouteilles de jus.

Combien a-t-il commandé de bouteilles en tout ?

Solution 1 :

Nombre de caisses en tout :

3 + 5 = 8

Nombre de bouteilles :

24 x 8 = 192Calcul effectué :

24 x (3 + 5 )Solution 2 :

Nombre de bouteilles de jus d'orange :

24 x 3 = 72

Nombre de bouteilles de jus de raisin :

24 x 5 = 120

Nombre de bouteilles en tout :

72 + 120 = 192

Calcul effectué :

= 24 x 3 + 24 x 52) Formule de distributivité

24 x ( 3 + 5 ) = 24 x 3 + 24 x 5

Je distribue une multiplication par 24 dans la parenthèse. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition De manière générale : Formules de distributivité (à connaître par coeur) k ( a + b ) = ka + kb k ( a - b ) = ka - kb

III. Développer

Définition : Développer une expression c'est transformer un produit en somme

Règle de la distributivité :

k ( a + b ) = ....................................... k ( a - b ) = .......................................

Ex 6 :a) Calcule astucieusement en développant :

A = 23 x 102B = 18 x 99

b) Développe A = 10( 1,72 + 3,85 )

Ex 7 : Développe

3 ( a + 4 )( 2 - y ) x 6 a ( 2a - 3 ) (

x - 4 ) x (-3x)2 211
Lorsque le signe + placé devant une parenthèse, on laisse le contenu de la parenthèse Lorsque le signe- placé devant une parenthèse, on remplace le contenu de la parenthèse

par les opposés.Exemple : A = 3 - a + (5 - b) + 2 - (3 - c) = 3 - a + 5 - b + 2 - 3 + c = 7 - a - b + cEx 8 : Supprime les parenthèses

3 + (a + 7)1 - (2

x - 3 ) (a + 2) - (7 - 2a)

Ex 9 : Développe et réduis

2 + 3(

x + 5 ) 4x - ( 4 + 3x )2y + 5 - 2y ( 1 - 3y ) 3(2x-7) - 5(x+1)

IV. Factoriser

Définition : Factoriser une expression, c'est transformer une somme en produit.Règle de la distributivité :

k a + k b = .................................... k a - k b = ....................................

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