DM du 30 novembre : Généralités sur les fonctions
DM du 30 novembre : Généralités sur les fonctions Ex 78 page 81 1 fp 2q 3e 2 2 1,59 à 10 2 près; fp0q 1e0 2 1 ; fp2q e2 2 9,39 à 10 2 près 2 f1pxq ex p x 1qex xex Puisque ex ¡0, le signe de f1pxqdépend du signe de x: x f1pxq fpxq 2 0 2 0 1 59 1 9 39 3 Tout d’abord fp1q p1 1qe1 2 2 donc le point A est bien un point de la courbe
Devoir maison (généralités sur les fonctions)
Devoir maison (généralités sur les fonctions) Exercice 1 Soit , et trois fonctions définies sur [− ; ] 1) déterminer les images de -7 ; -3 ; 2 et 8 par la fonction 2) déterminer les antécédents de 6 ; 5 ;4 et 2 par la fonction ℎ 3) Résoudre les équations et inéquations suivantes : (????)< (????) ( ) ????=0
Correction : Les fonctions sinus et cosinus
alors f est croissante sur − π 4;− π 6 5) Proposition 5 : Vraie Il faut déterminer les extremum de la fonction f Il faut alors résoudre sur I : f′(x) = 0 ⇒ sin2x = 0 ou sin2 x = 1 4 ⇒ x = 0 ou sin x = 1 2 ou sin x = − 1 2 ⇒ x = 0 ou x = π 6 ou x = − π 6 D’après les résultats des questions 3) et 4), on peut dresser le
NOM : DERIVATION 1ère S
NOM : DERIVATION 1ère S Exercice 5 On considère les deux fonctions fet gdéfinies sur R par : f(x) = x2 3x g(x) = x3 3x 1) Etude de f a) Calculer la dérivée f0de f b) Etudier le signe de la dérivée f0
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Ils sont signalés sur les fiches des solutions Fiches 1 à 12 (Primaire et Collège) Pour les Sudomaths 4 x 4 et 6 x 6 des fiches 1 à 12, destinés plutôt aux classes des cycles 2 et 3 de l’école primaire, le fait d’utiliser les nombres de 1 à 4 ou de 1 à 6 comme dans les Sudokus habituels aurait vraiment limité les possibi-
Sujet et corrigé mathématiques bac s - Maths Expertes
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants Le candidat doit traiter tous les exercices Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée
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NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 1
Dériver les fonctions suivantes :
f(x) =x2 g(x) = 3x42x3+ 5x4h(x) =px 11x k(x) =x+ 5x2+ 1D. LE FUR 1/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 2
Dériver les fonctions suivantes :
f(x) = 4x23x+ 1 g(x) = (2x+ 3)(3x7)h(x) =2x+ 43x1pourx6=13 k(x) = (2x2+ 3x+ 1)2D. LE FUR 2/??NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 3
On considère la fonction définie parf(x) =x2x1. On note(Cf)sa courbe représentative.On considère également la fonctiongdéfinie parg(x) = 3x. On note(D)sa représentation graphique.
1)Calculer la dérivéef0def.
2)Déterminer une équation de la tangente(T)à la courbe(Cf)au point d"abscissex0= 2.
3)Résoudre par le calcul l"équationg(x) =f(x).
4)Préciser les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(D).
5)Tracer sur un même repère les droites(T),(D)et la courbe(Cf).
IllustrationO~
i~ j(Cf)(D)A65432101234563210123456789
D. LE FUR 3/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 4
Soitfla fonction définie surRnf1gpar :f(x) =2x+ 3x1.On note(Cf)sa courbe représentative.
1)Calculer la dérivéef0def.
2)SoitAle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
Calculer les coordonnées deA, puis une équation de la tangente(TA)à la courbe(Cf)au pointA.3)SoitBle point d"intersection de(Cf)avec l"axe des ordonnées.
Calculer les coordonnées deB, puis une équation de la tangente(TB)à la courbe(Cf)au pointB.4)Tracer sur un même repère(TA),(TB)et(Cf).Illustration
O~ i~ j(Cf)A B 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5 43210123456789
D. LE FUR 4/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 5
On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) =x23x g(x) =x33x1)Etude def.
a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.2)Etude deg.
a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.3)Comparaison des deux fonctions.
a)Graphiques.i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf
etg. On se limitera à l"intervalle[2 ; 2]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d"intersections entre (Cf)et(Cg)? B.Quelles sont leurs coordonnées ?
b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x).ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).Illustration
O~ i~ j(Cf)(Cg) 2 1 0 1 2 3210123
D. LE FUR 5/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 6
On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =xx2+ 1surR.
1)Démontrer quefest une fonction paire.
2)Calculer la dérivéef0def.
3)Quel est le signe du dénominateur def0(x)?
4)Résoudre l"inéquationf0(x)>0.
5)Dresser le tableau de variations de la fonctionfen précisant la valeurMde son maximum et la valeurm
de son minimum.6)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[4 ; 4].
IllustrationO~
i~ j(Cf)43210123421012D. LE FUR 6/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 7
On considère les deux fonctionsfetgdéfinies surRnf1gpar : f(x) =x1g(x) =x2x11)Etude def.
a)Calculer la dérivéef0def. b)Etudier le signe de la dérivéef0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.2)Etude deg.
a)Calculer la dérivéeg0deg. b)Etudier le signe de la dérivéeg0. c)En déduire le tableau de variations de la fonctiong.3)Comparaison des deux fonctions.
a)Graphiques.i.Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes(Cf)et(Cg)représentant les fonctionsf
etg. On se limitera à l"intervalle[3 ; 5]. ii.A l"aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de point(s) d"intersection(s) entre (Cf)et(Cg)? B.Quelles sont leurs coordonnées ?
b)Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i.Résoudre l"équationf(x) =g(x). ii.En déduire, par calcul, les coordonnées des pointsAetBd"intersection de(Cf)et(Cg).IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4321012345678
D. LE FUR 7/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 8
On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x34x2+ 4x.1)Calculer la dérivéef0def.
2)Etudier le signe de la dérivéef0.
3)En déduire le tableau de variations de la fonctionf. On précisera les éventuels extremums.
4)Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonctionfsur l"intervalle[1 ; 3].
5)Déterminer par le calcul les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
IllustrationO~
i~ j(Cf)101238765432101234D. LE FUR 8/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 9
1)Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x23x+ 2.
2)Résoudre l"équationf(x) = 0.
IllustrationO~
i~ j(Cf)210123451012345678910D. LE FUR 9/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 10
On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x33x3.On note(Cf)sa représentation graphique.
1)Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.
2)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
3)Déterminer une équation de la tangente(T)à(Cf)au point d"abscisse0.
4)Tracer(T)et(Cf)dans un même repère.
5)Démontrer que l"équationf(x) = 0admet une solution uniquedans l"intervalle[2 ; 3].
6)Donner une valeur approchée de, par défaut, à101près.Illustration
O~ i~ j(Cf)A 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 58765432101234
D. LE FUR 10/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 11
On considère un rectangle dont le périmètrePest égal à4m.1)Déterminer ses dimensions (longueurLet largeurl) sachant que son aireSest égale à34
cm2.2)On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aireSsoit maximale.
a)ExprimerSen fonction del. b)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x(2x). Calculer la dérivéef0defpuis étudier son signe.Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
Tracer la représentation graphique(Cf)de la fonctionfsur[0 ; 2].c)En déduire les dimensons du rectangle dont le périmétrePest égal à4met l"aireSest maximale.
IllustrationO~
i~ j(Cf)10121012D. LE FUR 11/??
NOM : DERIVATION 1ère S
Exercice 12
1)On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 2x360x2+ 450x.
a)Etudier les variations defsur l"intervalle[0 ; 20]. Dresser le tableau de variations def.b)Déterminer une équation de la tangente()à la courbe représentaive(Cf)defau point d"abscisse0.
c)Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d"intersection de(Cf)avec l"axe des abscisses.
d)Tracer()et(Cf)pourx2[0 ; 20].2)Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de
même largeur dans une feuille carrée.Le côté de la feuille mesure30cmet on désigne parxla mesure (en centimètres) de la largeur des bandes
découpées. On suppose que0< x <15. a)Démontrer que le volume (encm3) de la boîte estV(x) = 2x360x2+ 450x. b)Pour quelle valeur dexle volumeV(x)est-il maximal? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.D. LE FUR 12/??