Table des matières 1 Analyse - Maths en ECS2-Poincaré-Nancy

1 2 Suites Recueil d’exercices corrigés de première année ECS 1 ANALYSE Exercice 13 Étudierlasuiteudéﬁnieparu 0 = 2 et8n2N;u n+1 = p u n+1 Correctionno 13 Setraitecommel’exerciceprécédent Lasuiteestdécroissante Salimitevériﬁe ‘= p ‘+ 1 ,‘2 ‘ 1 = 0 ,‘= 1 p 5 2 Comme1 p 5 0, ‘= 1 + p 5 2 Exercice 14

Mathématiques Tout-en-un ECS 2e année

Tout-en-un • ECS 2e année Cours et exercices corrigés Christian Gautier André Warusfel Serge Nicolas Professeur au lycée HENRI IV à Paris Bruno Caminade Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-l’École Sous la direction de Prépas commerciales et

MATHÉMATIQUES - EDHEC Business School

4/4 3) a) Donner p tn( ) pour tout entier naturel n et pour tout réel t positif b) Conclure que Nt suit la loi de Poisson de paramètre λt 4) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note Sn la variable aléatoire égale à l’instant où

Suites arithmétiques et géométriques - Corrigé

N Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 2 b) ièmeCalculer la somme des termes consécutifs du 16 ièmeau 38 (de l’indice 15 à l’indice 37) c) Calculer la somme des 10 premiers termes consécutifs

Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE

Exercices avec solutions : Limite et continuité Exercices d’applications et de réflexions PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF : PC et SVT Exercice1 : Déterminer les limites suivantes : 1) 1 ² 3 1 lim x 21 x o x 2) lim 2 432 x x x x o f 3) 24 23 2 5 7 lim x 10 14 x x x o f x x x 4) 25 26

Exercices - Réduction des endomorphismes : corrigé

Exercices - Réduction des endomorphismes: corrigé et Ak= 2k−k k+1−2k k −k k+1 k 2k−1 1−2k 1 Exercice 5 - Trigonalisation - sans indication-L2/Math Spé-?? On commence par calculer le polynôme caractéristique de A, on trouve P

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Exercices et problèmes de statistique et probabilités Thérèse Phan Jean-Pierre Rowenczyk 2e édition “doc” (Col : Science Sup 19 3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page i — #1

Mathématiques - Dunod

le concours, des compléments de cours et des exercices supplémentaires sont disponibles pour chaque chapitre sur le site www dunod com Connectez-vous à la page de l’ouvrage (grâce aux menus déroulants, ou en saisissant le titre, l’auteur ou l’ISBN dans le champ de recherche de la page d’accueil)

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Recueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSETable des matières

1 Analyse 1

1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Algèbre 19

2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Probabilités 30

3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Informatique 33Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constitue

une collection quasiment exhaustive des propriétés et méthodes que doit maîtriser un

étudiant en fin de première année. Il constitue une base de révision pour l"étudiant de

seconde année.

NicolasMaillard

colasmaillard@free.fr1 Analyse

1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX

k=0k 2.

2.En calculant de deux façonsnX

k=0 (k+ 1)

4k4, retrouver la formule donnant

n X k=0k

3.Correction n

o1.

1.Pourn2N;P(n): "nX

k=0k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

2.Par télescopagenX

k=0 (k+ 1)4k4= (n+ 1)4, et en développant : (k+ 1)4k4== 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+ 6nX

k=0k

2+ 4nX

k=0k+nX k=01 (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler

n X k=0k

3==n2(n+ 1)24

.Exercice2.Calculer nX i=10 nX j=1max(i;j)1 A .Correction n o2.nX i=1 nX j=1max(i;j)! =nX i=1 iX j=1i+nX j=i+1j! =nX i=1 ii+n(n+ 1)2 i(i+ 1)2 nX i=1 i22 i2 +n(n+ 1)2 =12 n(n+ 1)(2n+ 1)6 n(n+ 1)2 +n2(n+ 1)

Lycée HenriPoincaré1/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSE=

n(n+ 1)(2n+ 1)3 + 6n)12 =n(n+ 1)(8n2)12 =n(n+ 1)(4n1)6 Exercice3.Soitdetfdeux entiers naturels tels qued6f(d=début etf=fin!).

1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];

i d! i+ 1 d+ 1! i d+ 1! b)En déduirefX i=d i d!

2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n

o3.

1. a)Formule de Pascal :

i+ 1 d+ 1! i d! i d+ 1! b)Télescopage : fX i=d i d! =fX i=d i+ 1 d+ 1! i d+ 1!! f+ 1 d+ 1! d d+ 1! f+ 1 d+ 1!

1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par

0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o4.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique :2et3.8n2N;un=

2 n+ 3n.Exercice5.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 2,u1=2 +p3

2 et8n2N; un+2=un+1un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o5. Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique : 1ip3 2 =ei=3:9(a;b)2R;8n2N; un=asin(n=3) +bcos(n=3) u

0= 2)b= 2,u1=2 +p3

2 )a= 1:8n2N;un= sin(n=3) + 2cos(n=3).Exercice6.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o6.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, unique racine de l"équation caractéristique :2:9(a;b)2

R;8n2N; un= 2n(an+b)

0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et

8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unCte)n2NoùCteest une constante adéquate.Correction n o7.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+= 4vn+1+ 44vn4+ 2 ,vn+2= 4vn+14vn+ (2)

En prenant= 2,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex24x+ 4 = 0dont la racine double est2. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.

On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),

puis :8n2N; un= 2n1(4n)2.Exercice8.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1,u1= 0et

8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unn)n2Noùest une constante adéquate.Correction n o8.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+ (n+ 2)=vn+1(n+ 1)+ 2vn+ 2n+ 3 ,vn+2=vn+1+ 2vn+ (3)

Lycée HenriPoincaré2/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSEEn prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex2+x2 = 0dont les racines sont2et1. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.

On trouve alors :8n2N; vn=43

(2)n13 =13 (2)n+21, puis :8n2N; un=13 (2)n+21+ 3n.Exercice9.Soitvla suite définie par v

[PDF] Table des matières 1 Analyse - Maths en ECS2-Poincaré-Nancy

1 Analyse 1

1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Algèbre 19

2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Probabilités 30

3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Informatique 33Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constitue

NicolasMaillard

1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX

2.En calculant de deux façonsnX

4k4, retrouver la formule donnant

3.Correction n

1.Pourn2N;P(n): "nX

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

2.Par télescopagenX

3+ 6nX

2+ 4nX

3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler

3==n2(n+ 1)24

Lycée HenriPoincaré1/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSE=

1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];

2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n

1. a)Formule de Pascal :

1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par

0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.

Calculerunen fonction den.Correction n

0= 2,u1=2 +p3

Calculerunen fonction den.Correction n

0= 2)b= 2,u1=2 +p3

0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.

Calculerunen fonction den.Correction n

R;8n2N; un= 2n(an+b)

0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et

8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;

8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.

On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),

8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;

Lycée HenriPoincaré2/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSEEn prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.

On trouve alors :8n2N; vn=43

0=eet8n2N; vn+1=ev2n:

1.Montrer quevest strictement positive et strictement croissante.

2.Montrer quevdiverge et quelimn!+1vn= +1.

3.Pour toutndeN, on pose :un= ln(vn). Exprimerunen fonction denet en

à l"aide de cette expression.Correction n

1.On montre par récurrence que :8n2N; vn>e.

Du coup :8n2N;vn+1v