Le théorème des deux carrés de Fermat - Blogdemaths
Etape 2 : on montre que si un multiple non nul de p s’écrit comme une somme de deux carrés, alors il existe un multiple non nul de p plus petit qui s’écrit aussi comme une somme de deux carrés On suppose donc qu’il existe trois entiers x,y et m ˚ 1 tels que x2 ¯y2 ˘ mp Il s’agit de trouver trois entiers x1,y1 et m1 tels que x2 1
Expressions algébriques Démontrer l’égalité de deux expressions
Les deux membres de l’égalité sont positifs et leur expression au carré est plus simple On va donc comparer les carrés et vérifier s’ils sont égaux 5 Exercices d’application Montrer que les égalités suivantes sont vérifiées pour tout réel de l’intervalle donné, en choisissant la méthode la plus adaptée
Activité 1 : Des Aires des carrés à l’égalité de Pythagore
Exercice 2 Je souhaite repeindre la façade de ma maison : les trois fenêtres ont la même dimension 2????×1???? la porte : 2????×2,40???? Un idon de peinture ontient 10 L oûte 75€ et permet de peindre une surface de 50????2 Je souhaite passer 2 couches de peinture sur la façade de la maison, calculer le nombre de bidons nécessaires
Comment d montrer une galit - académie de Caen
b)Utiliser cette égalité pour écrire 13 x 41 sous la forme d’une somme de deux carrés c)Même question avec 82 x 50 Exercice 3 : Montrer que tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs Par exemple 9 est la différence des carrés des deux entiers consécutifs 4 et 5 : 9 = 5² - 4²
THEOREME DU PARALLELOGRAMME - Maths & tiques
b) En déduire l'égalité établie à la question 2 c) Conclure en énonçant un théorème relatif au parallélogramme Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l
Egalité de Pythagore - Maths
Exemple 2 : On considère le triangle DEF tel que DE = 6 cm, DF = 4 cm et FE = 5 cm Quelle est la nature de ce triangle ? Dans le triangle DEF, [DE] est le plus grand côté Or, DE2 = 62 = 36 et DF2 + FE2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41 Donc, on a : DE2 ≠ DF2 + FE2 L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle DEF n'est pas
ThéorèmedePythagore
2 Dans le triangle ABC, on a les carrés de longueurs: AC2 = 79,21 ; AB2 = 15,21 ; BC2 = 64,25 Le triangle ABC ne vérifie pas l’égalité de Pythagore: On remarque que: AC2 ̸= AB2+BC2 Si un triangle ne vérifie pas l’égalité de Pythagore alors ce triangle n’est pas un triangle rectangle Le triangle ABC n’est pas un triangle
II) L’égalité de Pythagore
II) L’égalité de Pythagore Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés Autrement dit, Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2 Vocabulaire : L’égalité BC2 = AB2 + AC2 s’appelle l’égalité de
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 1) - maths et tiques
Il n’existe pas de valeur connue alors on utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée du résultat En effet, il n’existe pas de valeur décimale exacte dont le carré est égal à 14 z = 14 ≈ 3,74 2) Racines de carrés parfaits 4= 2 36 = 6 100 = 10 9 = 3 49 = 7 121 = 11
LONGUEURS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE : CORRIGE THEOREME DE
La relation « 2BC 2 = AB + AC2 » s’appelle « l’égalité de Pythagore » Dans cette égalité, l’hypoténuse au carré doit être isolée Les carrés des 2 côtés de l’angle droit forment l’autre membre de l’égalité Application : Pour chacun des triangles rectangles suivants, écrire l’égalité de Pythagore
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Trois méthodes principales permettent de répondre à cette question. ? Méthode 1 : On transforme le premier membre pour obtenir le second membre.
Exemple :
Démontrer que
( a + b )² - ( a - b )² = 4ab Il suffit de considérer le premier membre et de le développer. ( a + b )² - ( a - b )² = ( a² + 2ab + b² ) - ( a² - 2ab + b² )Donc :
( a + b )² - ( a - b )² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² ( a + b )² - ( a - b )² = 2ab + 2ab = 4abNous venons de démontrer que :
( a + b )² - ( a - b )² = 4abRemarque :
Parfois, il est préférable de considérer le second membre et de le transformer afin d"obtenir le premier.
? Méthode 2 :On transforme simultanément les deux membres.
Exemple :
Démontrer que, quels que soient les nombres a, b , c et d : ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² )Développons chacun des deux membres.
1er membre :
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a²c² + 2acbd + b²d² ) + ( a²d² - 2adbc + b²c² )
THEME :
COMMENT DEMONTRER UNE
EgalitE ?
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + 2acbd + b²d² + a²d² - 2adbc + b²c²
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c² ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + b²d² + a²d² + b²c²2ème membre :
( a² + b² )( c² + d² ) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²Soit en changeant l"ordre des termes
( a² + b² )( c² + d² ) = a²c² + b²d² + a²d² + b²c² En comparant les deux résultats, nous pouvons affirmer que : ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² ) ? Méthode 3 : On démontre que la différence des deux membres est nulle. Un exemple sera étudié dans la suite des exercices.Exercice 1 :
a)Vérifier les égalités suivantes :5² - 4² = 5 + 4
12² -11² = 12 + 11
38² - 37² = 38 + 37
b)Quelle conjecture peut-on faire ? c)Démontrer ce résultat général.Remarque :
Conjecture : Propriété qui semble vraie, mais qui n"est pas encore démontrée .Exercice 2 : Au Moyen-Age
Dans le Livre des nombres carrés de Léonard de Pise en 1225, on trouve l"égalité ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² ) a)Démontrer cette égalité b)Utiliser cette égalité pour écrire 13 x 41 sous la forme d"une somme de deux carrés. c)Même question avec 82 x 50 .Exercice 3 :
Montrer que tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs.Par exemple 9 est la différence des carrés des deux entiers consécutifs 4 et 5 : 9 = 5² - 4²
Exercice 4 : Carrés parfaits
a)Vérifier que les nombres suivants sont des carrés parfaits ( un carré parfait est le carré d"un nombre
entier )2 x 3 x 4 x 5 + 1
3 x 4 x 5 x 6 + 1
4 x 5 x 6 x 7 + 1
b) On se propose d"étudier le cas général :" Lorsque l"on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs, obtient-on un carré parfait ? »
Soit n un entier . On pose a = n( n + 3 )
Vérifier que ( n + 1 )( n + 2 ) = a + 2
Exprimer n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 ) + 1 en fonction de a et conclure.Exercice 5 :
Choisir deux nombres non nuls.
Calculer le carré de leur somme, puis retrancher au nombre obtenu le carré de leur différence et enfin,
diviser ce dernier résultat par leur produit. Refaire le même calcul avec deux autres nombres. Peut-on prévoir le résultat obtenu ? Justifiez.Exercice 6 :
Développer :
( 1 - x )( 1 + x )( 1 + x² )( 1 + x4 )( 1 + x8 )
Exercice 7 :
Vérifier que :
3 x 4 x 5 + 4 = 4
38 x 9 x 10 + 9 = 9
3Montrez que le produit de trois entiers consécutifs augmenté du nombre du milieu est un cube parfait (
c"est à dire le cube d"un entier )Est-ce toujours vrai ?
Exercice 8 :
Calculez x² - ( x + 1 )( x - 1 ) pour x = 5 , puis pour x = 2,3.Que constatez-vous ? Justifiez.
Effectuez alors ce calcul pour x = 1234567890 .
Exercice 9 :
Montrez les égalités :
2² + 2 = 3² - 3
3² + 3 = 4² - 4
20² +20 = 21² -21
Enoncez un résultat général, puis démontrez le.Exercice 10 :
Démontrer que, quel que soit l"entier positif n, le triangle de côtés2n + 1 , 2n( n + 1 ) et 2n( n + 1 ) + 1
est rectangle.Exercice 11 : Des multiples de 3
a)Vérifier que les nombres suivants sont des multiples de 3 : 23 - 2 ; 53 - 5 ; 73 - 7
b)Factoriser n3 - n et en déduire un résultat général .
Exercice 12 :
Vérifier, généraliser et prouver :
1² + 2² =
213²+
2² + 3² =
215²+
3² + 4² = 2
17²+
Exercice 13 :
Simplifier les expressions suivantes :
1 a1 - 1 a
a² ++ (1 - a¹ ) ; ) 1 - a et 1 a ( 1 a²2 1 a1¹¹-++ ;
) 1 - a et 1 a ( 1 a² 2 1 a1 1 a1¹¹-+-++
Exercice 14 :
On diminue de 1 le carré d"un nombre impair. Montrer que ce nombre est toujours divisible par 8 .Exercice 15 :
Montrez que, pour tout entier naturel n, le nombre n3 - n est divisible par 6.Exercice 16 :
Ecrire A sous la forme d"une fraction :
a 1 1a 1 -1 1 a1LES MACHINES CALCULENT BIEN,
MAIS PRUDENCE
Considérons l"expression suivante, où x et y sont des nombres quelconques ( avec y différent de 0, un
dénominateur ne pouvant être nul ) y x - y x+ Calculons cette expression pour x = 109 et y = 10-9Deux types de réactions sont possibles !
? Tout d"abord, la réaction de l"élève qui n"est pas esclave de sa machine et qui conclura immédiatement :
1 yy y y x - x yx - y x==+=+
? Autre réaction, utiliser sa machine. Mais au lieu de 1, l"élève pourra obtenir la valeur fausse 0
( résultat dépendant de la qualité , de l"âge de la machine et principalement de son prix )
Pourquoi ? Parce que la machine a négligé un milliardième (10 -9 ) devant un milliard (109 ),ce qui apparemment ne semble pas très grave, mais alors : x + y = 10