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Formule di Relativit a Ristretta

Formule di Relativit a Ristretta Trasformazioni di Lorentz x0= x vt q 1 v2 c 2 x= x0+ vt0 q 1 v2 c (1) t0= t v q c2 x 1 v2 c 2 t= t0+ v c2 x 0 q 1 c (2) Invarianti relativistici 1 La velocit a della luce c 2 L’intervallo spaziale s 2= c t2 x2 3 Il tempo proprio c 2 2˝ = c t2 x2 4 La massa a riposo, m, che e la massa di un oggetto nel suo

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Formule di Relativita Ristretta

Trasformazioni di Lorentz

x

0=xvtq

1v2c

2x=x0+vt0q

1v2c 2(1) t 0=tvc 2xq 1v2c

2t=t0+vc

2x0q 1v2c 2(2)

Invarianti relativistici

1.

La v elocitadell aluce c

2.

L'in tervallospaziale s2=c2t2x2

3.

Il temp oproprio c22=c2t2x2

4. La massa a rip oso,m, che e la massa di un oggetto nel suo riferimento di quiete.

Dilatazione dei tempi

t=t0q 1v2c 2(3)

Contrazione delle lunghezze

x= x0r1v2c 2(4)

Composizione delle velocita

w=u+v1 + uvc 2(5)

Incremento della massa

m=m0r1v2c 2(6) Espansione di Taylor dell'energia relativistica totale

E=mc2r1v2c

2mc2+12

mv2+38 mv4c 2(7)

Energia relativistica a riposo:

E=mc2(8)

1

Punti essenziali

Postulati

1. Le leggi della Fi sicasono le stesse p ertutti gli osserv atoriinerziali. 2. Qua lunqueosserv atore,indip endentementedal suo stato di moto, misura la stessa v elocita della lucec.

Per gli esercizi

1. La relazione fra le co ordinate( x;y) e le coordinate (x0;y0) di un diverso sistema di riferi- mento, che viene visto in moto a velocita costantev, e data dalle formule di trasformazione di Lorentz (1) e (2). 2. La relazione fra gli in tervallispaziali e temp orali( t;x) in un riferimento sono legati a quelli (t0;x0) in un altro riferimento dalle stesse formule. Ladilatazione dei tempi (3) e un caso particolare che si ottiene per x= 0, lacontrazione delle lunghezze(4) e l'altro caso particolare, che si ottiene per t= 0. 3. L' intervallo spaziotemporale(s2) = (ct)2(x)2fra due eventi e lo stesso in tutti i riferimenti (e uninvariante relativistico). 4. L'en ergiae la quan titadi mo tosono sempre conserv ati.Si denisce il 4-v ettoreenerg y- momentum (dall'Inglese)P= (E=c;p) che ha ha proprietaP2=m2c2. In particolare, se la massa e zero, alloraP2= 0.

Ricaviamo le formule

Le trasformazioni di Lorentz

Lavoreremo in due fasi: dapprima mostreremo che, dato il sistema di riferimento (x0;t0) in moto rettilineo uniforme con velocitavlungo la direzione positiva dell'asse dellexrispetto al riferimento (x;t), allora si possono rappresentare facilmente gli assix0= 0 et0= 0 nel riferimento (x;t). Successivamente, mostreremo da dove proviene il fattore =1q 1v2c 2 che compare nelle trasformazioni di Lorentz. Cominciamo allora col notare che, nel riferimento (x;t), la traiettoria di un raggio di luce e sempre rappresentata da una retta a 45 gradi, quindi di equazionex=ct, avendo postoc= 1. In tale riferimento, la traiettoria di un oggetto che si muove di moto rettilineo uniforme a velocita costantev, partendo da (x;t) = (0;0), si rappresenta con l'equazionex=vt. Questa e anche l'equazione corrispondente adx0= 0, cioe ad un oggetto fermo nel riferimento (x0;t0). Ci chiediamo ora come rappresentare l'asset0= 0: che equazione avra nel sistema (x;t)? Per scoprirlo, immaginiamo che tre amici, Alberto, Barbara e Carlo, si trovino all'istantet= 0 nelle posizioni indicate in gura, e che si muovano di moto rettilineo uniforme a velocitav.

Quindi, avremo le seguenti equazioni del moto:

2

Albertox0= 0x=vt

Barbarax0= 1x=vt+ 1

Carlox0= 2x=vt+ 2(9)

I tre amici restano equidistanziati durante l'intero esperimento, quindi, se Alberto e Carlo, simultaneamente, inviano un segnale luminoso a Barbara, quest'ultima non potra che rice- vere i due segnali simultaneamente, altrimenti sarebbe possibile rilevare la condizione di moto assoluto, in contraddizione col primo postulato.xt AB

Cx=vtx

0= 0x=vt+ 1x

0= 1x=vt+ 2x

0= 2t=vxt

0= 0Sappiamo anche che i raggi di luce sono rappresentati da rette a 45 gradi, quindi, partendo

dall'origine (l'esperimento viene condotto pert= 0), abbiamo x=t x=vt+ 1!( x=11v t=11v che sono le coordinate in cui Barbara riceve il segnale da Alberto. Ma sono anche le coordinate in cui Barbara riceve anche il segnale da Carlo, che quindi deve averlo lanciato da un punto che si trova intersecando la retta a 45 gradi decrescente per la posizione di Barbara con la traiettoria di Carlo, che conosciamo dalle equazioni (9): x+t=21v x=vt+ 2

Otteniamo:

(1 +v)t=21v2!t=2v1v2 da cui, per lax, 3 x=vt+ 2 =2v21v2+ 2 =21v2 quindi, il punto C dal quale Carlo emette il suo segnale si trova alle coordinate (

21v2;2v1v2).

E chiaro che i tre amici concordano su un fatto: i segnali sono stati lanciati da Alberto e da Carloallo stesso istantet0= 0. Allora, nelle coordinate (x;t), l'espressione dell'asset0= 0 sara t=vx

Occupiamoci adesso della seconda fase.

Abbiamo capito che dobbiamo cercare equazioni di trasformazione del tipo x

0= (xvt)f(v)

t

0= (tvx)g(v)

perche, qualunque sia la velocitav, deve esserex0= 0 quandox=vtet0= 0 set=vx. Imponiamo ora il secondo postulato: tutti gli osservatori inerziali misurano la stessa velocita della luce (c= 1 nel nostro caso), quindi x=t x 0=t0 da cui x

0= (xvx)f(v)

x

0= (xvx)g(v)

per cui deve essere per forzaf(v) =g(v): x

0= (xvt)f(v)

t

0= (tvx)f(v)

Inne, ricordiamo che la condizione dei due sistemi di riferimento deve essere del tutto simmetrica: non puo essercene uno privilegiato rispetto all'altro, per cui 8 >>:x

0= (xvt)f(v)

t

0= (tvx)f(v)

x= (x0+vt0)f(v) t= (t0+vx0)f(v) che risolviamo per sostituzione: x= [(xvt)f(v) +v(tvx)f(v)]f(v) =x(1v2)[f(v)]2 per cui 4 [f(v)]2=11v2!f(v) =1p1v2(10) Possiamo allora scrivere letrasformazioni di Lorentz x

0=xvtq

1v2c

2x=x0+vt0q

1v2c 2(11) t 0=tvc 2xq 1v2c

2t=t0+vc

2x0q 1v2c 2(12) L'invarianza dell'intervallo e la metrica di Minkowsky

Vogliamo dimostrare che l'intervallo

s2=c2t2x2 e invariante per trasformazioni di Lorentz. Deve quindi risultare, per due diversi riferimenti inerziali (x;t) e (x0;t0), t

2x2= (t0)2(x0)2

Procediamo per sostituzione:

(t0)2(x0)2=(tvx)21v2(xvt)21v2=t22vtx+v2x2x2+ 2vtxv2t21v2= (1v2)(t2x2)1v2 =t2x2 che conferma l'invarianza dell'intervallo. Se, dunque, nell'ordinario spazio euclideo, la metrica indotta dal prodotto scalare e quella pitagorica, riassunta dalla matrice M=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A che signica che il prodotto scalare di due vettoriu,ve dato da uv=uxvx+uyvy+uzvz per cui il quadrato della norma del vettoreve data da jjvjj

2=vv=v2x+v2y+v2z

e questo e notoriamente invariante per isometrie. Nello spaziotempo quadrimensionale di Minkowsky la metrica e data dalla matrice 5 M=0 B

B@1 0 0 0

01 0 0

0 01 0

0 0 011

C CA a cui corrisponde il prodotto scalare fra due 4-vettori dato da uv=u0v0u1v1u2v2u3v3 per una denizione della norma quadra del vettorevche risulta in jjvjj

2=vv=v20v21v22v23

che e, come abbiamo provato, invariante per trasformazioni di Lorentz. La denizione della metrica di Minkowsky indica con certezza che siamo di fronte a uno spaziotempo non euclideo (non vale il teorema di Pitagora).

La perdita della simultaneitaxt

B

ACDx=vtx

0= 0t=vxt

0= 0Osservazioni suggerite dall'esame della gura:

L'osservatore fermo rispetto al riferimento (x;t) dice: la sequenza degli eventi e: A, C-D (simultanei), B L'osservatore fermo rispetto al riferimento (x0;t0) dice: la sequenza che io vedo e: A simultaneo a D, poi C simultaneo a B Ne deduciamo che il concetto di simultaneita non e assoluto: esso dipende dall'osservatore. 6

La dilatazione dei tempi

xt

OA(t= t)Bx=vtx

0= 0t=vxt

0= 0L'eventoOe l'eventoAhanno, nel riferimento (x;t), la stessax, e sono separati soltanto dal

tempo t. Che cosa si osserva nel riferimento (x0;t0)? Per l'eventoOabbiamo subitox0O= 0, t

0O= 0. Applichiamo la trasformazione di Lorentz per trovare le coordinate del secondo evento

in (x0;t0); otteniamo: t

0=tvxq

1v2c 2 per cui, considerato che in questo casox= 0,t= t, t0=tq 1v2c 2(13) Pensiamo a un'astronave che viaggia a velocitavrispetto a noi. Un astronauta emette due lampi di luce, a distanza di un secondo uno dall'altro. Noi li percepiremo distanziati di un tempo piu lungo del fattore1q 1v2c 2>1. E interessante notare che non c'e un osservatore privilegiato: la situazione e perfettamente simmetrica. Infatti, se siamo noi a emettere i due segnali a distanza di un secondo, l'astronauta li percepira con un intervallo temporale dato ancora da1q 1v2c 2. 7

La contrazione delle lunghezze

xt OB AL

0x=vtx

0= 0t=vxt

0= 0Stavolta non consideriamo due eventi, ma i due estremi di una barra che, misurata quando

e ferma nel riferimento (x;t), ha lunghezzaL0. In gura, l'asse dellete la retta tratteggiata rappresentano la barra in istanti successivi. Supponiamo che il primo estremo della barra si trovi nell'origine comune dei due riferimenti, il puntoO, nel momento in cui viene eettuata la misurazione. In quel preciso istante, il riferimento (x;t) vede il secondo estremo inA. Nel riferimento (x0;t0), il punto contemporaneo diOdove viene visto il secondo estremo della barra eB, che si trova all'intersezione frax=L0et0= 0, che corrisponde at=vx. Ma allora, sostituendo questi valori nella trasformazione di Lorentz x

0=xvtq

1v2c 2 otteniamo l'ascissa spazialex0, cioe la lunghezza della barra,L, misurata nel sistema di riferimento (x0;t0): x

0=L0v2L0q

1v2c

2=1v2q

1v2c 2L

0=L0r1v2c

2(14) dunque concludiamo che se la barra ha lunghezzaL0quando viene misurata da ferma (la cosiddettalunghezza a riposo), essa appare piu corta per un osservatore che la vede muoversi.

La composizione delle velocita

Il riferimento (x0;t0) e in moto rispetto al nostro riferimento (x;t) con velocitavverso la

direzione positiva dellex. Al tempo stesso, il riferimento (x00;t00)e in moto rispetto al riferimento

(x0;t0) con velocitauverso la direzione positiva dellex0. Ci chiediamo quale sia la velocita con la quale il riferimento (x;t) vede muoversi il riferimento (x00;t00). 8 Newton (e Galileo) non avrebbero dubbi: la velocita, secondo loro, sarebbe semplicemente la somma w=u+v senza ulteriori discussioni. Ma tutte le considerazioni fatte circa l'eetto del moto relativo su intervalli di spazio e di tempo dovrebbe averci insegnato ad essere piu cauti. Vediamo che cosa succede. Scriviamo le trasformazioni di Lorentz (conc= 1 per semplicita): x

0=xvtp1v2t0=tvxp1v2

x

00=x0ut0p1u2t00=t0ux0p1u2

e sostituiamo le prime due nella terza (non useremo la quarta equazione in questa di- mostrazione): x

00=xvtp1v2utvxp1v2p1u2=(1 +uv)x(u+v)tp1u2p1v2(15)

Ora, dal momento che vogliamo sapere la velocita del riferimento (x00;t00) rispetto a (x;t), sara suciente porrex00= 0, per ottenere dalla (15): (1 +uv)x(u+v)t= 0!x=wt=u+v1 +uvt(16) che restituisce la legge relativistica di composizione delle velocita: w=u+v1 + uvc 2(17) in cui abbiamo reinserito esplicitamente la velocita della luceccon semplici considerazioni dimensionali.

PercheE=mc2?

La 4-velocita

La nostra denizione standard di velocita di un corpo e data dav= dxdt ;dydt ;dzdt , ed e facile vedere che questa denizione non e compatibile con le trasformazioni di Lorentz.

Deniamo allora la4-velocita

U =dxd cdtd ;dxd ;dyd ;dzd (18) che utilizza iltempo propriocome coordinata temporale. L'equazione (3) contiene la relazione fra l'intervallo di tempo proprio e quello tmisurato da un altro sistema di coordinate: t=q 1v2c 2 9 da cui x

0=ct=cq

1v2c 2 ma allora, derivando rispetto al tempo proprio, U

0=dx0d

=cq 1v2c 2 e per le altre componenti spaziali del vettoreUpossiamo usare la regola di derivazione delle funzioni composte: U i=dxid =dxidx 0dx 0d =dxidx 0cq 1v2c

2=dxidct

cq 1v2c

2=dxidt

1q 1v2c 2 per=i= 1;2;3.

Quindi, la 4-velocita ha componenti

U =U0;U1;U2;U3=dxd =0 cq 1v2c 2;vq 1v2c 21
A =1q 1v2c

2(c;v) (19)

E possibile dimostrare che la 4-velocita e un invariante relativistico, infatti, usando la met- rica di Minkowsky, calcoliamo il prodotto scalare UU= 11v2c

2(c2v2xv2yv2z) =11v2c

2(c2v2) =c2

e il quadrato dice ovviamente un invariante relativistico! Deduciamo cheUe pure invari- ante.

La quantita di moto relativistica

Sarebbe bello poter utilizzare la quantita di moto denita da Newton: p=mvSfortunatamente, la formula relativistica di trasformazione delle velocita fra riferimenti inerziali non conserva il vettorepcome invece ci aspetteremmo, il che ci costringe a cercare una diversa denizione, relativistica, dip: p= (px;py;pz) =mdxd ;dyd ;dzd (20) che ci conduce ancora a p= mq 1v2c 2 dxdt ;dydt ;dzdt =mvq 1v2c 2(21) che si conserva nei riferimenti inerziali e, perv << c, approssima la sua controparte newto- niana. 10

L'energia cinetica relativistica

Limitandoci al moto in una sola dimensione (coordinatax), sappiamo che il lavoro di una forza

Flungo uno spostamento sha l'espressione

L=Z s1 s 0F dx d'altra parte, per la seconda legge di Newton, F=ma e allora L=Z s1 s

0madx=Z

s1 s

0mdvdt

dx=Z s1quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13