Les vecteurs - WordPresscom
Les vecteurs 1 Translation : A B M Une translation est un d eplacement particulier du plan : \un glissement parall ele " Soient A et B deux points donn es, la translation qui transforme A en B transforme tout point M en un autre point unique M0tel que ABM0 soit un parall elogramme En particulier, cela signi e que les segments [AM0]
vecteurs
Les vecteurs AB et →→→→ CD sont égaux →→→→ si, et seulement si, ABDC est un parallélo- gramme EF a pour → direction celle de (EF) , pour sens celui de A vers B , pour
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vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, sens et rme no riété Prop 6 1 Soient A,B,C et D quatre p oints distincts du plan Les quatre a rmations ci-dessous sont équivalentes: 1 Les vecteurs −→ AB et −→ CD sont égaux 2 D est l'image de C r pa la translation −→ vecteur AB 3 [AD] et [BC] ont le même milieu 4 ABDC
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Chapitre 4 re VECTEURS (1 partie) de 2
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires, on en déduit que les points F,B et E sont alignés 2) On a ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
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DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués
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Manipuler les vecteurs du plan - WordPresscom
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http://www.maths-videos.com 1 A B C D
Vecteurs
I) Vecteurs et translation :
a) notion de translation : Pour aller de A à B, le marcheur se déplace :· dans le
sens indiqué par la flèche· sur une
longueur correspondant à celle de [AB] · dans la direction indiquée par celle de la droite (en pointillés)Le point B est obtenu par une translation du
point A. En utilisant la même translation, on trans- forme C en D. définition : Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à C l"unique point D tels que les seg- ments [AD ] et [BC] ont le même milieu. Ex : b) notion de vecteur : Le vecteur permet de définir une translation. Il doit donc préciser un sens, une direction, une longueur. On le représente sous forme de segment fléché. A B C D ABDC est un parallélogramme ! (attention à l"ordre des points) B D A C¾¾®u
E F http://www.maths-videos.com 2 La translation qui transforme A en B est la translation de vecteurE est l"origine du vecteur
¾¾®EF
F est l"
extrémité du vecteur¾¾®EF
► Les vecteurs¾¾®AB et
¾¾®CD caractérisent la même translation que¾¾®EF.
¾¾®AB,
¾¾®EF,
¾¾®CD sont des vecteurs égaux.
► Si A et B sont confondus,¾¾®AB s"écrit
¾¾®AA. C"est le vecteur nul.
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AA = ► Le vecteur opposé ྾¾¾¾¾¾¾®®®®AB est le vecteur associé à la translation transformant B en A.
On le note
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AB. -¾¾®AB =
¾¾®BA
► Le point I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AI = b) vecteurs égaux : définition : Soient A, B, C, D quatre points du plan avec A B.Les vecteurs
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AB et¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®CD sont égaux si, et seulement si, ABDC est un parallélo-
gramme ¾¾®EF a pour direction celle de (EF), pour sens celui de A vers B, pour longueur AB !. On peut le noter par une seule lettre,¾¾®u par exemple.
On peut dire que
¾¾®AB et
¾¾®CD sont des représentants du vecteur¾¾®u
B A A B D C Si A, B, C, D sont alignés; ABDC sera un parallélogramme aplati ! A B I http://www.maths-videos.com 3II) Coordonnées d"un vecteur :
définition : Dans un repère (O; I; J); les coordonnées du vecteur ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u sont les coor- données du point M tel que ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®OM = Les coordonnées du vecteur nul ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®0 sont (0;0) Ex :Les coordonnées de
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u sont (3;1), celles de ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®v sont (3;-1) et celles de ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®w sont (- 4;2) propriété : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées dans un repère sontégales.
Soient
¾¾®u de coordonnées (x, y) et
¾¾®v de coordonnées (x ",y") dans un repère (O,I,J) ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u = ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®v si, et seulement si x = x" et y = y" ► démonstration· Si
¾¾®u =
¾¾®v , il existe un unique point M (xM;yM) tel que¾¾®OM =
¾¾®u =
¾¾®v
Donc¾¾®u et
¾¾®v ont les mêmes coordonnées que celles de M : x = xM = x"
y = yM = y"
· Réciproquement, si deux vecteurs
¾¾®u (x,y) et
¾¾®v (x",y") sont tels que x = x" y = y" alors¾¾®u =
¾¾®OM et
¾¾®v =
¾¾®OM (avec M de coordonnées (x;y) ) donc¾¾®u =
¾¾®v =
¾¾®OM
le repère (O;I;J) est également souvent noté (O;¾¾®i ;
¾¾®j )
avec¾¾®i =
¾¾®OI et
¾¾®j =
¾¾®OJ
¾¾®w
M O I J 3 4 -1 - 4 + 2 3 1 3 - 1 http://www.maths-videos.com 4 A B O M I J propriété : Soient deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère. Les coordonnées du vecteur ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AB sont (xB - xA;yB - yA) ► démonstrationPar définition,
il existe un unique point M(xM; yM) tel que
¾¾®OM =
¾¾®AB. Les coordonnées de
¾¾®AB sont
celles du point M.¾¾®OM =
¾¾®AB
donc OMBA est un parallélogramme par suite [AM] et [OB] ont le même milieu . cela se traduit par : xA + xM2 = 0 + xB
2 yA + yM2 = 0 + yB
2 xA + xM = xB yA + yM = yB donc xM = xB - xA yM = yB - yA donc¾¾®AB (xB - xA;yB - yA)
E x :E a pour coordonnées (-2;4)
F a pour coordonnées (4;3)
Les coordonnées de
¾¾®EF sont :
xF - xE;yF - yE) = (4 - (-2);3 - 4) = ( 4 + 2; 3 - 4) = (6 ; - 1) E F I J O -2 4 4 3Dans un repère (O;I;J), le vecteur nul
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®0 a pour coordonnées (0;0) ! http://www.maths-videos.com 5 A B C D ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®AB +II) Somme de deux vecteurs :
définition :Soient
¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u et ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®v deux vecteurs. La somme des deux vecteurs ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u et¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®v est le vecteur associé à la translation ayant
les mêmes effets que la translation de vecteur ¾¾¾¾¾¾¾¾®®®®u suivie de celle de vecteur