p159 probabilites conditionnelles 1 2 3 4 - MAL – Maths
b Calculer la probabilité de tirer deux boules vertes c Calculer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur Vrai ou Faux ? Le tableau recense les élèves d'un lycée Dem i- Externes Total pensionnaires Filles Garçons Total 150 150 300 240 260 500 OF OF OF 90 110 200 ov ov a 48 des élèves sont des filles
ProbabilitéssansThéoriedelaMesure
UniversitéPierre&MarieCurie(Paris6) Licence(S5) UE3M245“Probabilitésélémentaires” Année2019–20 ProbabilitéssansThéoriedelaMesure AmauryLambert1
LOIS DE PROBABILITE USUELLES´ - Mathématiques
Aa pour loi la loi de Bernoulli de param`etre p A q Si X est une variable al´eatoire de loi la loi de Bernoulli de param`etre p P r 0,1 s, alors elle admet des moments a tout ordre et on a : E r Xn s p pour tout n ¡ 0, et Var p X q p p2 p 1 p La fonction caract´eristique de X est ϕX p θ q 1 p pexp iθ pour tout θ P R 1 3 Lois
Atelier Probabilit és et statistiques
1)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit comprise entre 45,8 et 52,2 cm ? 2)Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit inférieure à 48 cm ?
ALGORITHMIQUE AU LYCÉE Thème 1 - Probabilités
Question 2 : Justifier que la probabilité que le mobile retourne à l'origine est nulle si t est impair Question 3 : Écrire un algorithme qui simule une marche aléatoire et qui renvoie la valeur de t pour laquelle la particule revient pour la première fois à l'origine
1 Loi uniforme - lycmassenamathsdebfr
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite Pour tout réel a compris entre 0et1, ilexiste ununique réelu a positiftelque : P(−u a ≤ X ≤ u a)=1−a Le principe On utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires La démonstration P(−x < X < x)=2P(0< X < x)par la symétrie de la courbe P
80 questions « type-bac » 2020 - Spécialité-Maths
Pour cela, on suppose P(n) pour un certain entier n (vérifiant n > n0) et on en déduit la propriété au rang suivant, c’est-à-dire P(n +1); 4 on conclut en affirmant que l’on a ainsi démontré que, pour tout entier n (vérifiant n >n0), on a P(n) 1 On peut se contenter de dire « P(n0) » au lieu de « P(n0) est vraie » Qui dit
11Probabilitésetvariablesaléatoiresdiscrètes
11 Probabilitésetvariablesaléatoiresdiscrètes Page 6 NB: cette formule permet de calculer la probabilité d’un événement, connaissant ses probabilités
DS n°4
On lance indé niment une pièce donnant Pile avec la probabilité p et Face avec la probabilité q = 1 p On suppose que p 2]0; 1[ et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2, on dit que le kieme lancer est un changement s'il
Feuille d’exercices n 14 : Convergence approximation
ECE2-B 2019-2020 Exercice 13 (˝˝) Soit (X n) n2N une suite de variables aléatoires indépendantes, suivant la mêmeloidePoissondeparamètre1 1 Pour tout n2N, donner la loi de S
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ECE2-B2019-2020Feuille d"exercices n°14 : Convergence approximation
Inégalité de Markov
Exercice 1.(☀)
On se propose de démontrer l"inégalité de Markov dans le cas particulier où la v.a.r. considéréeTest une v.a.r. à densité. On suppose queTest à valeur dansR+et queTadmet une espérance.1.Soita >0. Démontrer que :E(T) =Z
a 0 tf(t)dt+Z +1 a tf(t)dt.2.En déduire que :E(T)>aZ
+1 a f(t)dt.3.Conclure.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Exercice 2.(☀)(extrait deEDHEC 2007)
SoitXune variable discrète à valeurs dansN, de loi définie par :8i2N;P([X=i]) =+1P
k=i1k 12 k On admet queXa une espérance et une variance respectivement égale àE(X) =32
etV(X) =11121.Écrire l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour la variableX.
2.En déduire queP([X>3])61127
.Exercice 3.(☀☀) En utilisant l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que :8x >0;Z
x 1 et22 dt>p2 112x2Convergence en loi
Exercice 4.(☀☀)
Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant la même loi uniforme sur[0;1].Pour toutn>1, on pose :
M n= max(X1;X2;:::;Xn)etYn=n(1Mn) On admet queMnetYnsont des variables aléatoires à densité.1.Déterminer la fonction de répartition deMn, puis celle deYn.
2.Montrer que la suite(Yn)n2Nconverge en loi vers une variable remar-
quable.Exercice 5.(☀☀)
1.SoitXune v.a.r. suivant une loi exponentielle de paramètre 1.
SoitZla variable aléatoire définie parZ=ln(X).Déterminer la loi deZ.
2.On considère une suite(Xn)n2Nde variables aléatoires indépendantes
suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1. On pose pour tout n2N,Yn= max16k6n(Xk)ln(n). a)Déterminer la fonction de répartition deYn. b)Montrer que la suite de variables aléatoires(Yn)n2Nconverge en loiversZlorsquentend vers+1.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
ECE2-B2019-2020Exercice 6.(☀☀)
Soitn2N. On considère une variable aléatoire réelleXnde loi exponentielle de paramètre1n , et on définit la variable aléatoireYn, parYn=bXnc, oùbxc désigne la partie entière du réelx. On rappelle quebxcest égal à l"unique entierkvérifiantk6x < k+ 1. 1. a) Préciser les valeurs prises parYnet déterminer la loi deYn. b)Calculer l"espéranceE(Yn)et la varianceV(Yn).2.Pour toutndeN, on poseZn=XnYn.
On définit ainsi une suite(Zn)n>1de variables aléatoires réelles. a)Montrer que pour toutn2N,Znest une variable aléatoire à densité et déterminer une densité deZn. b)Montrer que la suite(Zn)n>1converge en loi vers une variable aléatoireUdont on donnera la loi.
c)Calculer l"espéranceE(Zn). Montrer que la suite(E(Zn))n>1admet une limite que l"on déterminera. A-t-onlimn!+1E(Zn) =E(U)?Exercice 7.(☀☀)
Soitnun entier supérieur ou égal à2.
Un groupe denpersonnes portant des numéros de1àntire à tour de rôle, avec remise, un numéro compris entre 1 etndans une urne. Si l"une des personnes a tiré son propre numéro, on recommence la série desntirages, sinon on arrête. On noteXnle nombre de séries dentirages qu"il faut effectuer pour que chaque personne ait tiré un numéro différent du sien.1.Montrer queXnsuit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
2.Pour toutk2N, calculerlimn!+1P([Xn=k]).
En déduire que la suite(Xn)n2Nconverge en loi vers une variable aléa- toireXdont on précisera la loi.Exercice 8.(☀☀) Soitnun entier naturel strictement positif. On définit la fonctionfnpar :8x2R; fn(x) =(
a n 1xn nsi06x6n 0 sinon1.Détermineranpour quefnsoit une densité de probabilité.
2.Soit alors(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires à densité telle que
X nadmettefnpour densité. a)Déterminer la fonction de répartitionFndeXn. b)Pourx2R, déterminer la limite deFn(x)lorsquentend vers+1. c)Montrer que la suite de variables aléatoires(Xn)n2Nconverge en loi vers une variable aléatoireZque l"on déterminera.3.On considère la fonction et le programme suivant :1functionX = simulX (n)
2Y =n?rand()
3fork = 1 :n
4U =n?rand()
5ifU < Y then
6Y = U
7end8X = Y
9end10endfunction1m = 20 000
2n = 100
3S = 0
4fork = 1: m
5ifsimulX(n) <= 1 then
6S = S+1
7end 8end9disp(S / m)
a)Montrer que la fonctionsimulXde paramètrensimule une variable aléatoire de même loi queXn. b)On donne e1'0;37. En utilisant la question2, ainsi que la loi faible des grands nombres, expliquer pourquoi le résultat affiché, après exécution du programme,est proche de0;63.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2
ECE2-B2019-2020Exercice 9.(☀☀)(d"aprèsEML 2017) On considère une urne contenant initialement une boule bleue et deux boules rouges. On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon sui- vante : on pioche une boule au hasard et on note sa couleur, puis on la replace dans l"urne en ajoutant une boule de la même couleur que celle qui vient d"être obtenue.Pour toutkdeN, on note :
B kl"événement : " on obtient une boule bleue aukèmetirage », R kl"événement : " on obtient une boule rouge aukèmetirage ».Partie I : Simulation informatique
1.Recopier et compléter la fonction suivante afin qu"elle simule l"expérience
étudiée et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors desnpremiers tirages, l"entiernétant entré en argument.1functions= EML(n)2b = 1==nb de boules bleues présentes dans l"urne
3r = 2==nb de boules rouges présentes dans l"urne
4s= 0==nb de rouges obtenues lors des n tirages
5fork = 1: n
6x = rand()
7if... then
8... 9else 10... 11end 12end13endfunction2.On exécute le programme suivant :1n = 10
2m = 0
3fori = 1 :1000
4m = m + EML(n)
5end6disp(m/1000)
On obtient6:657. Comment interpréter ce résultat?Partie II et III
EnPartie II, on définit la v.a.r.Yégale au rang d"apparition de la pre- mière boule bleue et la v.a.r.Zégale au rang d"apparition de la première boule rouge. EnPartie III, on définit, pour toutkdeN, la v.a.r.Xkégale à1si l"on obtient une boule rouge aukèmetirage et égale à0sinon. On définit, pour toutndeN, la v.a.r.Snégale au nombre de boules rouges obtenues au cours desnpremiers tirages. On démontre :8n2N;8k2J0;nK;P[Sn=k]=2(k+ 1)(n+ 1)(n+ 2)
Partie IV : Étude d"une convergence en loi
On s"intéresse dans cette partie à la proportion de boules rouges obtenues lors desnpremiers tirages. On pose, pour toutndeN,Tn=Snn3.Justifier, pour toutndeN:8x <0,P([Tn6x]) = 0,
et :8x >1,P([Tn6x]) = 1.4.Soitx2[0;1]. Montrer :8n2N;P([Tn6x]) =(bnxc+ 1)(bnxc+ 2)(n+ 1)(n+ 2).
5.En déduire que la suite de variables aléatoires(Tn)n2Nconverge en loi
vers une v.a.r. à densité, dont on précisera la fonction de répartition etune densité.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3
ECE2-B2019-2020Théorème Central Limite (TCL)Exercice 10.(☀☀)
Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre1.On pose, pour toutn2N,X
n=1n n P i=1X ietXn=pn(X n1). On note F nla fonction de répartition deXn. 1. a) Donner l"espérance et la variance deX n. b)Montrer queX nconverge en probabilité vers1, c"est-à-dire :8" >0;limn!+1PX
n1> "= 0 2. a) Quelle est, pourx2R, la limite deFn(x)lorsquentend vers+1? b)Calculer une valeur approchée deP 12pn 6X n61 +2pn pournassez grand. Sila fonction de répartition de la loi normale réduite, on donne (2)'0;977.Exercice 11.(☀☀)
Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi uniforme sur[0;1].On noteTn=1n
n P k=1X k, etTnla variable centrée-réduite associée àTn.1.Étudier la convergence en loi de la suite de variables(Tn)n>1.
2.En déduire une fonction qui simule la loi normale centrée-réduite.
Puis, écrire une fonction de paramètresmetsqui simule une variablealéatoire de loi normale d"espérancemet d"écart-types.Exercice 12.(☀☀)(d"aprèsEML 2006)
1.SoitZune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètrep:
Ainsi, pour toutk2N;P([Z=k]) =p(1p)k1.
a)Rappeler la valeur deE(Z)etV(Z). b)Écrire une fonctionsimulZen langageScilab, de paramètrep, qui simule la variable aléatoireZ.2.Soient un entiernsupérieur ou égal à2;etnvariables aléatoires indépen-
dantesZ1,Z2,:::,Zn, suivant toutes la loi géométrique de paramètrep. On considère donc unn-échantillon(Z1;Z2;:::;Zn)de variables indépen- dantes et de même loi queZ.On considère la variable aléatoireMn=1n
(Z1+Z2++Zn): a)Déterminer l"espérancemet l"écart-typendeMn. b)Montrer quelimn!+1P([06Mnm6n])existe et exprimer sa va- leur à l"aide de Z 1 0 ex22 dx. c)Écrire une fonctionsimulMenScilab, de paramètresnetp, utilisant la fonctionsimulZdéfinie à la question1.b), qui simule la v.a.r.Mn. d)En se référant à la loi faible des grands nombres, et en utilisant la question2.b), écrire un programme enScilab, utilisant la fonction simulM, qui calcule et affiche une valeur approchée deZ 1 0 ex22 dx. On rappelle quesqrt(x)calculepxenScilab, et que'3;14. e)Justifier le résultat suivant :Z 1 0 ex22 dx= limn!+11n n1P k=0e kn 22En déduire un second programme enScilabqui calcule et affiche une valeur approchée de l"intégraleZ 1 0 ex22
dx.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4
ECE2-B2019-2020Exercice 13.(☀☀)
Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes, suivant la même loi de Poisson de paramètre1.1.Pour toutn2N, donner la loi deSn=nP
k=1X k, son espérance et sa variance.2.À l"aide du théorème de la limite centrée, déterminerlimn!+1ennP
k=0n kk! Exercice 14.(☀☀)(d"aprèsHEC 2001 - Maths III) On réalise une suite de lancers indépendants d"une pièce de monnaie équili- brée. On associe à cette expérience une suite(Xn)n>1de variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé( ;A;P)et suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre12 Pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on poseSn=X1++Xn.1.Déterminer la loi de probabilité de la variableSn.
Quelles sont l"espérance et la variance deSn?
2. a) Montrer que pour tout réel"strictement positif, on peut trouver une constanteK"telle que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on ait l"inégalité :P S nn 12 6K"n b)Déduire de la majoration obtenue que : 8r2 0;12 ;limn!+1P S nn 12 >1n r = 03.Montrer d"autre part, à l"aide du théorème de la limite centrée, que la
suite P S nn 12 >1pn n2Nadmet une limite non nulle.Approximation Exercice 15.(☀☀)(extrait deHEC 2002 - Maths III) On appelle durée de vie d"un composant électronique la durée de fonction- nement de ce composant jusqu"à sa première panne éventuelle. On suppose que la durée de vie d"un composant suit la loi géométrique de paramètrep=1200 Un premier composant est mis en service à l"instant0et, quand il tombe en panne, est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à l"instant de sa première panne dans les mêmes condi- tions, et ainsi de suite. Pour toutn2N, on noteUnla variable aléatoire désignant le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusqu"à l"instantninclus. On admet queUnsuit la loi binomiale de paramètresnetp. On considère un appareillage électronique utilisant simultanément1000com- posants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi géométrique de paramètrep=1200 À chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des compo- sants identiques comme précédemment.1.Préciser la loi de la variable aléatoireUdésignant le nombre total de
remplacements de composants effectués jusqu"à l"instantn= 100inclus.2.On désire qu"avec une probabilité de0;95, le stock de composants de
rechange soit suffisant jusqu"à l"instantn= 100inclus.À combien peut-on évaluer ce stock?
On donne :r995
2 '22;3et, en désignant parla fonction de répartitionde la loi normale centrée réduite,(1;65)'0;95.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5
ECE2-B2019-2020Exercice 16.(☀☀)(extrait deECRICOME 2008) Pour ce jeu de hasard, la mise pour chaque partie est de 1 euro. L"observation montre qu"une partie est gagnée avec la probabilité110 , perdue avec la probabilité 910Toute partie gagnée rapporte 3 euros. Les différentes parties sont indépen- dantes. Une personne décide de jouerNparties(N>2). On noteXNla variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées etYNla variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
1.Donner la loi deXNainsi que la valeur de l"espérance et de la variance
de cette variable.2.ExprimerYNen fonction deXN.
En déduire la valeur de l"espérance et de la variance deYN.3.La personne décide de jouer 60 parties.
On admet que l"on peut approcherX60par une loi de Poisson. a)Donner le paramètre de cette loi de Poisson. b)À l"issue des 60 parties, quelle est la probabilité que le joueur perde moins de 50 euros? (cette probabilité sera impérativement calculée en utilisant l"annexe si- tuée à la fin de l"exercice)Table de Poisson donnant les probabilités cumulées : kPi=0eii!k = 3= 4= 5= 6= 70 0;0498 0;0183 0;0067 0;0025 0;00091 0;1991 0;0916 0;0404 0;0174 0;00732 0;4232 0;2381 0;1247 0;0620 0;02963 0;6472 0;4335 0;2650 0;1512 0;08184 0;8153 0;6288 0;4405 0;2851 0;17305 0;9161 0;7851 0;6160 0;4457 0;30076 0;9665 0;8893 0;7622 0;6063 0;44977 0;9881 0;9489 0;8666 0;7440 0;59878 0;9962 0;9786 0;9319 0;8472 0;72919 0;9989 0;9919 0;9682 0;9161 0;830510 0;9997 0;9972 0;9863 0;9574 0;901511 0;9999 0;9991 0;9945 0;9799 0;946712 1;0000 0;9997 0;9980 0;9912 0;973013 0;9999 0;9993 0;9964 0;987214 1;0000 0;9998 0;9986 0;994315 0;9999 0;9995 0;997616 1;0000 0;9998 0;999017 0;9999 0;999618 1;0000 0;999919 1;000020
(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 6