Exercices sur les cercles

O,OA,

Formule d'Al-Kashi a²=b²+c²−2bccosα b²=a²+c²−2accosβ c²=a²+c²−2accosγ Formule de sinus c sin b sin a sin abc 2S α β γ = = = Théorème de médiane I =A*B 2 BC² AB²+AC²=2AI²+ Soit ABC triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A On a alors BC²=AB²+AC² AH×BC=AB×AC AH²=HB×HC AB²=AH×AC AC²=CH×CB

35 Relations métriques et - by C Boulonne & al

D'après la formule d'Al-Kashi : a 2 = b2 + c2 2bc cos A:b Donc : cos Ab = b2 + c2 a 2 2bc: On remplace par les valeurs numériques : cos Ab = 9+16 4 24 = 7 8: Or cos 2 Ab +sin 2 Ab = 1 , donc : sin 2 Ab = 1 49 64 = 15 64: Or ABC étant un triangle, l'angle Ab est compris entre 0 et rad donc son sinus est positif D'où : sin Ab = p 15 8:

Chapitre 6 PRODUIT SCALAIRE 1 STI2D spé

Al-Kashi maîtrise le calcul, on lui doit des extractions de racines sixièmes de nombres en écriture sexagésimale (système de numérotation utilisant la base 60), et un calcul de avec seize décimales, par une méthode traditionnelle, ertes, mais ave une préision inégalée jusqu’à la fin du s eizième sièle

Lec¸on n 16

C Boulonne (CBMaths), Le¸cons a l’oral du CAPES de Math´ematiques, session 2021 3Formules d’Al-Khashi Dans un triangle ABC, BC2 = AB2 + AC2 −2AB×AC×cos\BAC Theoreme 16 9

Correction DM 8 du 28 janvier

D'après le théorème d'Al-Kashi PR2 = + -2 x AP x AR x cos(A) a2 4a a 2a —2 x —x —x cos(60 ) = — 2 De la même manière qu'à la question 1, on démontre que RQ2 = PQ Or RQ, PR et PQ sont des grandeurs positives donc RQ = PR = PQ et le triangle PQR est équilatéral

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Programme du jour : Chll Produit Scalaire, p 4 : quelques propriétés, puis exercices p 228n033 p 229n042 et p 232n071 Formule d'AL-Kashi, Caractérisation du cercle, Théorème de la médiane (à compléter)

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Programme pour ce mardi 5 mai : corrigé les exercices p 228 n032/34 et p 229 n043 Lire p 5 du cours : Centre de gravité d'un tr*gle pour demain mercredi 6 Mai, p 234 n084

Chapitre - WordPresscom

d'Al Kashi Propriété 11 7 Pour tout triangle ABC, on a a 2= b +c2 − 2bccosA ˆ A B C a b c Remarque: le théorème de Pythagore en est un cas particulier t don la démonstration laissée en exercice ⋆ Vidéo 11 4 ttendus A et oir-faire v sa Déterminer une équation de droite t connaissan un ecteur v normal et pt oin récipro-t quemen

Lycée militaire de Saint-Cyr Exercices sur le produit

1 A l’aide du théorème d’Al Kashi : a) Déterminer la valeur exacte de BC ; b) Déterminer une valeur approchée à 10−1 près de la mesure de l’angle ̂ 2 En déduire une valeur approchée à 10−1 près de la mesure de l’angle ̂ Exercice 13 Problème Soit ???? réel et (???? ; −2), (????+4 ;????+3 2

Exercices sur les cercles

LGL Cours de Mathématiques 2015-16 AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours DOC Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 3 - x est un angle du troisième quadrant x est un angle du quatrième quadrant

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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 1 -

Sommaire

A Rappels de la trigonométrie de 4e

B Trigonométrie sur le cercle trigonométrique

B0 Eléments de base

B1 Réduction du 1er quadrant au 1er quadrant: Angles complémentaires

B2 Réduction du 2e quadrant au 1er quadrant

B21 Angles supplémentaires

B22 Angles anti-complémentaires

B3 Réduction du 3e quadrant au 1er quadrant : Angles anit-supplémentaires B4 Réduction du 4e quadrant au 1er quadrant : Angles opposés

B5 Réduction au 1er tour de cercle

B6 Résumé des différents signes des fonctions trigonométriques B7

B71 Pure utilisation des formules

B72 Détermination de valeurs exactes par réduction des angles à des angles du 1er quadrant C Le passage des valeurs trigonométriques aux fonctions trigonométriques

C1 Les déroulements du cercle

C2 Les différents effets du changement des coefficients

C21 Le déphasage

C22 Le changement de période

C23 C3 La fonction sinus et les fonctions polynômes de degrés croissants

D Les équations trigonométriques

D1 Les équations trigonométriques élémentaires

D11 Les équations en sinus

D12 Les équations en cosinus

D13 Les équations en tangente

D2 Réduction à des équations trigonométriques élémentaires

D21 Par changement de fonction

D22 Par factorisation élémentaire

D3 Equations trigonométriques du second degré : Utilisation de la substitution, illustration

E La trigonométrie dans un triangle quelconque

E1 Les bases nécessaires sur les angles du cercle

E2 Le théorème du sinus

E3 Le théorème du cosinus / Pythagore généralisé / Al-Kashi

E4 Exercices mélangés

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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 2 -

Trigonométrie sur le cercle trigonométrique

Propriété: Tout point du cercle trigonométrique détermine un seul angle orienté et tout angle orienté

détermine un seul point du cercle trigonométrique:

MM détermine le seul angle orienté XOM

Définition: Dans un repère orthonormé du plan, si le point M est l'unique point du cercle trigonométrique

déterminé par l'angle orienté x, alors: cosx est l'abscisse du point M sinx est l'ordonnée du point M sinx cosxtanx , si cosx 0 et cotx , si sinx 0cosx sinx Par conséquent: Le point M du cercle trigonométrique est le point

M(cosx,sinx)

Etude des signes des fonctions sinus, cosinus et tangente x est un angle du premier quadrant x est un angle du deuxième quadrant

On constate:

x sinx cosx tanx cotx

0 0 1 0

0x2

S

x sinx cosx tanx cotx

1 0 02

x2 f

S S

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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 3 -

x est un angle du troisième quadrant x est un angle du quatrième quadrant x sinx cosx tanx cotx 0 1 0 3x2

SS

x sinx cosx tanx cotx

31 0 02

3x22 f

S S

Propriétés

1. Tout angle orienté a un cosinus et un sinus.

Seuls l'angle droit positif et l'angle droit négatif n'ont pas de tangente. Seuls l'angle nul et l'angle plat n'ont pas de cotangente.

2. Quel que soit l'angle orienté x,

1 cosx 1

1 sinx 1

cos x sin x 1Relation fondamentale de la trigonométrie d d

Autres formules de trigonométrie

Sous l'hypothèse des formules connues:

22sinxtanx avec cosx 0 et sin x cos x 1cosx

, établir une formule directe de calcul de la valeur de

2sin x

en fonction de

2tan x

Résolution:

222 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 22
2 sin x sin xtan x (1 sin x)tan x sin xcos x 1 sin x tan x sin x tan x sin x tan x sin x (1 tan x) tan xsin x avec cosx 01 tan x z

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AB Beran - 2016-Cours3BCD-TrigonometrieSurLeCercle-Cours.DOCTrigonométrie sur le cercle trigonométrique - 4 -

Sous l'hypothèse des formules connues:

22sintan avec cos 0 et sin cos 1cos

xx x x xx , établir une formule directe de calcul de la valeur de 2cosx en fonction de 2tanx

Résolution:

222 2 2 2

22
2 2 2 22
2 2 sin 1 costan cos tan 1 coscos cos cos tan cos 1 cos (1 tan ) 1

1cos avec cos 01 tan

xxx x x xxx x x x xx xxx z

Exercice : Calculez la valeur exacte de A, B et C

22
22

5sin 2cos 3avec tan3cos 4sin 4

3cos 4sin 7avec cot5sin 2cos 3

2sin 3cos 2avec cot4sin 3sin cos 5cos 5

xxAxxx xxBxxx xxCxx x x x Exercices du livre: 64, 65, 66 p. 245/246 et 106, 107, 108 p. 253

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Sommaire

A Rappels de la trigonométrie de 4e

B0 Eléments de base

B2 Réduction du 2e quadrant au 1er quadrant

B21 Angles supplémentaires

B22 Angles anti-complémentaires

B5 Réduction au 1er tour de cercle

B71 Pure utilisation des formules

C1 Les déroulements du cercle

C21 Le déphasage

C22 Le changement de période

D Les équations trigonométriques

D11 Les équations en sinus

D12 Les équations en cosinus

D13 Les équations en tangente

D21 Par changement de fonction

D22 Par factorisation élémentaire

E La trigonométrie dans un triangle quelconque

E2 Le théorème du sinus

E4 Exercices mélangés

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Trigonométrie sur le cercle trigonométrique

MM détermine le seul angle orienté XOM

M(cosx,sinx)

On constate:

0 0 1 0

S

1 0 02

S S

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SS

31 0 02

S S

Propriétés

1. Tout angle orienté a un cosinus et un sinus.

2. Quel que soit l'angle orienté x,

1 cosx 1

1 sinx 1

Autres formules de trigonométrie

 Sous l'hypothèse des formules connues:

22sinxtanx avec cosx 0 et sin x cos x 1cosx

2sin x

2tan x

Résolution:

222 2 2 2

2 2 2 2

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 Sous l'hypothèse des formules connues:

22sintan avec cos 0 et sin cos 1cos

Résolution:

222 2 2 2

1cos avec cos 01 tan

Exercice : Calculez la valeur exacte de A, B et C

5sin 2cos 3avec tan3cos 4sin 4

3cos 4sin 7avec cot5sin 2cos 3

2sin 3cos 2avec cot4sin 3sin cos 5cos 5

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Formules de changement de quadrants

Définitions

Deux angles

Deux angles

Deux angles

Deux angles

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Sous l'hypothèse des formules connues:

Sous l'hypothèse des formules connues: