4 DEVOIR MAISON N°3
Exercice 6 : Vitesse Je parcours le 100 m en 39,5 s a Quelle est ma vitesse moyenne sur ce parcours en m/s ? b Quelle est ma vitesse moyenne sur ce parcours en km/h ? c Avec cette vitesse moyenne, quelle distance arrondie en mètres vais-je parcourir en 16 s ? d Avec cette vitesse moyenne, en combien de temps vais-je parcourir 25 km ?
DEVOIR MAISON N°3 Le corrigé - Maths974
4ème DEVOIR MAISON N°3 Le corrig c Avec cette vitesse moyenne, quelle distance arrondie en mètres vais-je parcourir en 16 s ? d = v t 2,5 m / s 16 s 40 m d
DEVOIR MAISON N° 1 / 4ème - mathsac-orleans-toursfr
c) Calculer la vitesse moyenne de ce cycliste sur la totalité du parcours Exercice 2 Le TGV Eurostar, à 200km/h, met 15 minutes pour traverser le tunnel sous la Manche Calculer la longueur du tunnel Exercice 3 Un train de 500 m de long rentre dans un tunnel de 500m de long Ce train roule à la vitesse de 72 km/h
Devoir maison n 1
{ Devoir maison n 1 {{ Pour le lundi 7 Septembre 2020 {Exercice 1 - Quand Zo e challenge Usain Bolt Lorsqu’en 2019, Usain Bolt am eliore son record du monde du 100 m (vitesse moyenne de 10;4 m=s), la tortue Zo e vivant au zoo de Beauval est tr es admirative Elle travaille alors chaque jour pour essayer d’ egaliser son record
CORRECTION DU DEVOIR MAISON N°2
Pour calculer la vitesse moyenne on applique la formule v = d/t (où v est la vitesse moyenne en km/h, d la distance parcourue en km, et t le temps en heure mis pour la parcourir) De 15h à 15h15, Nadia a parcouru 3km Elle roulait donc à une vitesse moyenne de 12km/h De 15h15 à 15h25, elle a parcouru 4km
Devoir maison n°3 A rendre pour le 3
Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442 km de son actuel domicile, M Dubois part de chez lui à 10 h 00 du matin Il roule 2 h 30 min, fait une pause de 80 minutes, puis roule à nouveau 1 h 45 min avant d’arriver au chantier 1) À quelle heure arrive-t-il au chantier ? Justifier la réponse
ASSR MATHEMATIQUES 3EME
une vitesse comprise entre 80 km/h et 140 km/h : c = 0,000 4v × v + 2,5 avec c en litres et v en kilomètres par heure a Calculer la consommation c de ce véhicule roulant à une vitesse v de 90 km/h Arrondir le résultat au dixième de litre b Utiliser un tableur pour recopier ce tableau
Devoir Surveillé n°6A Correction Quatrième
Déterminer la vitesse moyenne du train sur ce voyage La duréedutrajet est : 19 h03−17 h12=1 h51min=111min Vitesse Distance 393 km ?km Temps 111 min 60 min La vitesse moyenneest donc de: v = 393×60 111 ≈212 4 km/h 3 a vitesse du son est estimé à 340 m/s L 3 a Calculer la vitesse du son en km/h Le sonparcourt340 men 1 seconde
saut à ski 4eme cor
L’objectif est de calculer la vitesse moyenne du skieur sur la piste d’élan, en km/h • On peut calculer le dénivelé AB : AB 100 11 89 m= − = • Comme le triangle ABC est rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC AB BC2 2 2= + Par suite, AC 89 53 10 7302 2 2= + = D’où : AC 10 730 103,6 m= ≈ •
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Annee 2020-2021 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDM 1 {{ Devoir maison n 1 { { Pour le lundi 7 Septembre 2020 {
Exercice 1.- Quand Zoe challenge Usain Bolt
Lorsqu'en 2019, Usain Bolt ameliore son record du monde du 100m(vitesse moyenne de 10;4m=s), la tortue Zoe vivant au zoo de Beauval est tres admirative. Elle travaille alors chaque jour pour
essayer d'egaliser son record. En avril 2019, elle se sent pr^ete et contacte le Guiness des records. Elle
eectue alors une course a la vitesse de 4;8m=s, qui fera d'elle la tortue la plus rapide du monde! Mais cela ne lui sut pas. Elle souhaite se mesurer au grand champion en personne et lui propose une course en duel. Usain Bolt, quelque peu surpris, accepte nalement la demande mais, bon joueur, il propose de laisser 100m d'avance a la tortue. Le jour de la course, dans les gradins, on se demande si Usain Bolt va, ou non, rattraper Zoe, et si oui, au bout de combien de temps, et a quelle distance de leurs points de depart respectifs. 1. P arun simple calcul, r epondreaux questions pr ecedentes. 2. Nelson qui commen tela course assure p ourtantque Usain ne rattrap erajamais Zo e: "C'est evident que Zoe restera toujours en t^ete! Re echissez un peu! Le temps que Usain arrive a l'endroit ou est partie Zoe, elle aura avance, elle! Il faudra donc que Usain court de nouveau pour arriver a l'endroit ou Zoe etait arrivee. Mais pendant ce temps, elle aura encore avance! Ainsi, a chaque fois que Usain va arriver sur une ancienne position de Zoe, celle-ci sera un peu plus loin. Il ne la rattrapera donc jamais!". D'apres la question precedente, on sait que Nelson a tort. Pourtant, on a du mal a trouver l'erreur dans son raisonnement. C'est pourquoi ce probleme est un paradoxe bien connu en mathematiques. Voyons comment expliquer ce qu'il se passe en raisonnant avec les arguments de Nelson. On noteD1= 100ml'ecart initial entre Usain et Zoe. Pour simplier les calculs, on considerera dans cette partie que Zoe court a 5m=set Usain Bolt a 10m=s. (a) Com biende tem psmettra Usain aparcourir D1? On note ce tempsT1. Quelle distance aura alors parcourue Zoe pendant ce tempsT1? On notera cette distanceD2. (b) Com biende temps mettra Usain p ourparcourir D2? On note ce tempsT2. Quelle distance aura alors parcourue Zoe pendant ce tempsT2? On notera cette distanceD3. Par recurrence, et gr^ace aux conditions initiales mentionnees dans les questions precedentes, on denit alorsTnetDnpour toutn2 de la maniere suivante :Dnest la distance parcourue par Zoe lorsque Usain parcourt la distanceDn1en le tempsTn1. (c)Mon trerque p ourtout n2N,Dn= 10012
n1etTn= 1012 n1. (d) On note Sn, pour toutn2N, le temps total que met Usain pour rejoindrenfois successives, les positions de Zoe. ExprimerSnen fonction des donnees precedentes de l'enonce. (e) Mon treralors par r ecurrenceque, p ourtout n2N,Sn= 20112 n. (f) F airetendre nvers l'inni et expliquer l'erreur dans le raisonnement de Nelson.Exercice 2.- Encore une recurrence!
Pour toutn2N, on poseP(n) : "2n> n2".
1. Mon trerque p ourtout n3, siP(n) est vraie, alorsP(n+ 1) l'est aussi. 2.Que p eut-onen conclure ?
1 Annee 2020-2021 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyDM 1 {Exercice 3.- Pourvu qu'ils aient eu 20! Pour toutn2N, on poseP(n) : "Si une classe d'ECS contientnetudiants, alors lesnetudiants ont eu la m^eme note au bac de maths". Nous allons demontrer par recurrence queP(n) est vrai pour toutn2N.Initialisation :
Soit une classe d'ECS den= 1 etudiant. Alors cet etudiant a eu la m^eme note au bac de maths que lui-m^eme doncP(1) est vraie.Heredite :
Soitn2N. On suppose queP(n) est vraie, c'est a dire que pour toute classe d'ECS denetudiants, tous les etudiants ont eu la m^eme note au bac de maths. On considere une classe quelconque den+1 etudiants. On met de c^ote un etudiant au hasard (qu'on appelleraE1). Il reste alorsnetudiants dans la classe. D'apres l'hypothese de recurrence, cesnetudiants ont eu la m^eme note au bac de maths. On remet alorsE1 avec ses camarades et on met de c^ote un autre etudiant (qu'on appelleraE2). Laclasse sansE2 est composee denetudiants. Ainsi, d'apres l'hypothese de recurrence, tous les etudiants
hormis eventuellementE2 ont eu la m^eme note au bac. Mais nous avons demontre plus haut queE2 avait eu la m^eme note que tous les autres (hormis eventuellementE1). Donc lesn+ 1 etudiants ont eu la m^eme note au bac. DoncP(n+ 1) est vraie. Conclusion :D'apres le principe de recurrence, nous avons demontre que pour toutn2N, lesn etudiants de toute classe d'ECS denetudiants ont eu la m^eme note au bac.Commenter ce raisonnement.
2 Annee 2020-2021 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyCorrige du DM 1 {Proposition de solutionsSolution 11.Soit xle temps en seconde au bout duquel se fera la rencontre. On a, d'apres les donnees de l'enonce
10;4x= 100 + 4;8x:
Ainsi,x=10010;44;8.
Conclusion :Usain va rattraper Zoe en environ 17,86 secondes. Il aura alors parcouru 185;74 m et Zoe 85;74 m.2.(a) Usain mettra T1=D110;4=10010
= 10 secondes pour parcourir la distanceD1. Zoe se trouvera alorsD2=5T1= 510 = 50 metres plus loin.
Conclusion :T1= 10 etD2= 50.(b)Usain mettra T2=D210 =5010 = 5 secondes pour parcourirD2. Pendant ce temps, Zoe aura parcouru D3= 5D2= 55 = 25 metres.
Conclusion :T2= 5 etD3= 25.(c)D emontronsle r esultatpar r ecurrence.P ourtout n1, on poseP(n) : "Dn= 10012
n1etTn= 1012 n1". Initialisation :Pourn= 1, on sait par l'enonce queD1= 100. Or, 1001211= 100. De plus, on a montre
dans la question 2.a. queT1= 10. Or, 101211= 10 doncP(1) est vraie.
Heredite :Soitn2N. On suppose queP(n) est vraie. Ainsi, Usain a misTn= 1012 n1seconde pour parcourir la distance precedente. Pendant ce temps, Zoe aura alors parcouru D n+1=Tn5 = 1012 n15 = 5012 n1= 10012 12 n1= 10012 n: Puis, on calculeTn+1, c'est a dire le temps que mettra Usain a courirDn+1metres : T n+1=Dn+110 =10012 n10 = 10012 n: Conclusion :D'apres le principe de recurrence, on a demontre les proprietes demandees.(d)On a : S n=nX k=1T k=nX k=11012 k1= 10nX k=1 12 k1 (e) D emontronsle r esultatpar r ecurrence.P ourto utn1, on poseP(n) : "Sn= 20112 n". Initialisation :Pourn= 1, on aS1=T1= 10 d'apres les questions precedentes. Or, 20 1121 = 10 doncP(1) est vraie. Heredite :Soitn1. On suppose queP(n) est vraie. On a alors : S n+1=n+1X k=1T k=nX k=1T k+Tn+1=Sn+Tn+1: Utilisons alors l'hypothese de recurrence puis la question 2.c. S n+1= 20 112
n + 1012 n = 202012 n + 1012 n = 20 + 12 n (1020) = 2012 n
10 = 20
112n 12 = 20 112
n+1!
Ainsi,P(n+ 1) est vraie.
Conclusion :D'apres le principe de recurrence, on a demontre que pour toutn1,Sn= 20112 n.1Annee 2020-2021 { ECS1 { ECS2 { Lycee Janson de SaillyCorrige du DM 1 {(f)Lorsque ntend vers +1, on aSnqui tend vers 20 par operation et car12
2]1;1[. On notera que ce resultat
est coherent avec notre calcul de la question 1, la dierence s'expliquant par l'arrondi que nous avons fait
sur les vitesses dans cette partie.Ainsi, m^eme si Usain doit faire une innite d'etapes (rattraper une innite de fois Zoe pendant qu'elle avance
aussi), il nira par rattraper Zoe en un temps ni! L'erreur de raisonnement de Nelson vient du resultat
contre-intuitif suivant : lorsqu'on somme un nombre inni de termes strictement positifs, le resultat n'est
pas forcement inni! L'etude de ses sommes innies que l'on appelleles seriesest un large domaine des mathematiques. Nous commencerons a en parler plus tard dans l'annee.Solution 21.Soit n3. On suppose queP(n) est vraie c'est a dire que 2n> n2. On a alors 2n2 = 2n+1>2n2. On
souhaite alors montrer que 2n2>(n+1)2=n2+2n+1. Etudions pour cela le signe de 2n2(n+1)2=n22n1. X22X1 est un trin^ome dont le discriminant est = 8>0. Ses racines sontX1=2p8
2 = 1p2 et X2=2+p8
2 = 1 +p2. Le trin^ome est positif a l'exterieur de ses racines.Comme 1 +p2<3 (car 22= 4>3 et la fonction racine carree est strictement croissante surR+) etn3, alors
2n2(n+ 1)2<0 i.e 2n2>(n+ 1)2et donc 2n+1>(n+ 1)2doncP(n+ 1) est vraie.
Conclusion :Pour toutn3, siP(n) est vraie, alorsP(n+ 1) l'est aussi.2.Nous a vonsr edigeune h eredite,vraie apartir d en= 3. Il semble alors naturel de rediger une initialisation pour
n= 3. Mais 23= 8<32= 9. Ainsi,P(3) est fausse. De m^eme, 24= 16 = 42doncP(4) est fausse. En revanche,
25= 32>52= 25 doncP(5) est vraie. Ainsi, l'initialisation etant vraie a partir den= 5 et l'heredite a partir de
n= 3 (donc den= 5), on peut conclure.Conclusion :D'apres le principe de recurrence, pour toutn5,P(n) est vraie.Solution 3Le resultat est evidemment faux! L'erreur de raisonnement se trouve dans la partie heredite. En eet, on
commence par xern2N. Ainsi, la suite du raisonnement doit ^etre vraie pour toutn2N. En particulier pourn= 1.
Mais sin= 1, alors la classe n'est composee que d'un seul etudiant. Il n'est alors pas possible de trouver deux etudiants
distinctsE1 etE2 et le raisonnement s'ecroule!On retiendra cet exercice qui montre a quel point la redaction de l'heredite d'une recurrence doit ^etre soignee. Ici,
l'initialisation est vraie mais l'heredite n'est vraie qu'a partir den= 2! Ainsi, nous avons montre queP(1)est vraie.
Puis, que siP(2)est vraie, alorsP(3)l'est aussi, etc... Mais nous n'avons pas demontre que siP(1)est vraie, alorsP(2)
l'est aussi. Le principe de recurrence ne s'applique donc pas. Le resultat n'a donc pas ete demontre pour toutn2N!
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