Fiche aide-mémoire 7 : Commutant d’une matrice 1 Des
3 Commutant d’une matrice diagonale Pour trouver le commutant d’une matrice diagonale (ou d’une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre unsystèmeden2 équationsàn2 inconnues Ilpeutêtreutilederetenirque:
Matrices Feuille 24 - Free
,Mest diagonale 2 Soit M 2M R(n) une matrice commutant avec toutes les matrices diagonales Alors d’après la première question, Mest diagonale Réciproquement l’ensemble des matrices diagonales de M n(R) est une sous-algèbre commutative Généralisation : En supposant que Dest une matrice diagonale par blocs de la forme D= diag(1
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
Commutant, racines carrées, espaces stables
Commutant, racines carrées, espaces stables Voilà des applications très classiques de la réduction des matrices Souvent elles méritent un pro-blème entier avec différents exemples Je pose ici quelques points importants I Le commutant Définition et structure : Etant donnée une matrice A 2 M (K) on appelle commutant de A et
Édition 201 5 - archiveorg
2(R), la matrice f 1(M)1 Mf 1(M) soit diagonale 1 2 Commutant d'une matrice diagonale Soit B= 0 0 2M 2(R) avec 6= 1 2 1 Déterminer l'ensemble C(B) = fM2M 2(R) ; MB= BMg 1 2 2 Soit U, V 2M 2(R) Montrer que UBU1 = VBV1 si, et seulement si, la matrice V1 Uest diagonale 1 3 Une CNS de conjugaison à une matrice diagonale Soit (M;P) 2M
TD 03 : Matrices
(d)Déterminer les endomorphismes qui commutent avec u 6 / Montrer que 0 0 0 1 1 −1 2 2 −2 est semblable à −1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 / Montrer qu’une matrice A ∈M n(K) est semblable à la matrice dont tous les coefficients sont nuls exceptés ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à 1 si et seulement si A est nilpotente d’indice
Matrices (1/2)
En interprétant M comme étant la matrice d'un endomorphisme d'un espace vectoriel E, montrer qu'il existe une base (I,J,K) telle que cet endomorphisme a dans cette base pour matrice une matrice diagonale avec 1 , 2 , −2 sur la diagonale Calculer alors Mn Exprimer en fonction de n les termes u n, v n, w n où u n, v n, w
MPSI 2 DS 07 - Free
2 3 Calcul du commutant de A On note C(A) = {M ∈M3(R) AM = MA}l’ensemble des matrices qui commutent avec la matrice A Q 12 Montrer que C(A) est une sous-alg`ebre de l’alg`ebre M3(R) Q 13 Montrer que M ∈C(A) si et seulement si la matrice P−1MP est diagonale Q 14 En d´eduire que C(A) est l’ensemble des matrices de M3(R) de la
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