[PDF] Valeurs propres, vecteurs propres - Exo7 : Cours et exercices

Valeurs propres, vecteurs propres - Exo7 : Cours et exercices

Valeurs propres, vecteurs propres Dans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes Notations K est un corps

Chapitre 5 - Valeurs propres et vecteurs propres

Chapitre 5 - Valeurs propres et vecteurs propres - Diagonalisation I) Valeurs propres et vecteurs propres 1) Définition Définition 1 Considérons une matrice A∈Mn(R) On recherche un vecteur X6= −→ 0 de dimension ntel que AXsoit proportionnel à Xsoit AX= λX; cette relation s’écrira encore : AX−λX= −→ 0 ou encore (A−λIn

Vecteurs propres, valeurs propres - IGM: IGM

Vecteurs propres et valeurs propres Diagonalisation : Le probl eme revient a trouver une matrice diagonale D : D = [diag( 1; 2;:::; n)] et une matrice r eguli ere P telles que : A = PDP 1 Les i sont les valeurs propres de A et les colonnes de P les vecteurs propres associ es Vincent Nozick Vecteurs propres, valeurs propres 17 / 26

Valeurs propres et vecteurs propres - French National Centre

vecteurs propres linéairement dépendants En fait, A = PDP 1, avec D matrice diagonale, si et seulement si les colonnes de P sont n vecteurs propres linéairement indépendants de A Dans ce cas, les entrées de la diagonale de D sont les valeurs propres de A rangées dans le même ordre que les vecteurs propres dans P

AVecteurs et valeurs propres d’un endomorphisme

Et des matrices carrées A Vecteurs et valeurs propres d’un endomorphisme Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur K 1) Définitions On dit qu’un vecteur x de E est un vecteur propre de f si : a) x est non nul b) il existe un scalaire tel que f x x

2 Matrices et vecteurs - Claude Bernard University Lyon 1

2 3 Valeurs propres et vecteurs propres Définition1 SoitA 2 Mn(K) une matrice carrée Un vecteurx 2 Kn,x ̸= 0 est unvecteur propre,et 2 K est unevaleur propre,si Ax = x: (3) Idée: la matriceA agit sur un sous-espace vectoriel deCn comme la multiplication scalaire ( x) Ce sous-espace vectorielS est appelésous-espace propre,et toutx 2 S

2 Valeurs propres et vecteurs propres 20 Diagonalisation

D eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de s 2 3 Le point de vue purement matriciel Soient une matrice A2M n(R) On note ul’endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique est A(endomorphisme canoniquement associ e a A) Les no-tions de valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres et spectre de Apeuvent

Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr

Valeurs propres et vecteurs propres Définition On dit qu’un vecteur ~v non nul est un vecteur propre de A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λ telle que A~v =λ~v On dit que λ est la valeur propre de A associée à ~v Reprenons notre exemple : A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1

Al4 : Diagonalisation des endomorphismes et des matrices

II 6 Eléments propres de matrices semblables a Valeurs propres : ce sont les mêmes Proposition Deux matrices semblables ont même spectre b Vecteurs propres et sous-espaces propres On peut aussi ramener la détermination des sous-espaces propres d’une ma-trice à celle des sous-espaces propres d’une matrice semblable Pour ceci, écri-7

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Valeurs propres,

vecteurs propresDans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d"une matrice.

Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes.

Notations.

K

est un corps. Dans les exemples de ce chapitre,KseraRouC. Les matrices seront des éléments deMn(K),

c"est-à-dire des matrices carrées, de taillenn, à coefficients dansK.

1. Valeurs propres et vecteurs propres

1.1. Motivation

Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1. h:x y 7!2 0 0 2 x y =2x 2y

L"applicationhest une homothétie deR2(centrée à l"origine). SiDest une droite passant par l"origine,

alors elle est globalement invariante par cette transformation, c"est-à-dire siP2Dalorsh(P)2D(mais

on n"a pash(P) =P). On retient ici que n"importe quel vecteurxyest envoyé sur son double 2xy. 2. k:x y 7!2 0 0 3 x y =2x 3y L"applicationkn"est plus une homothétie. Cependant l"axe(Ox)est globalement invariant park; de

même, l"axe(Oy)est globalement invariant. On retient qu"un vecteur du type(x0)est envoyé sur son

double 2(x0), alors qu"un vecteur du type0yest envoyé sur son triple 30y.

Pour une matrice quelconque, il s"agit de voir comment on se ramène à ces situations géométriques simples.

C"est ce qui nous amène à la notion de vecteurs propres et valeurs propres.

1.2. DéfinitionsDéfinition 1.

SoitA2Mn(K).

est ditevaleur proprede la matriceAs"il existe un vecteur non nulX2Kntel queAX=X.• Le vecteurXest alors appelévecteur propredeAassocié à la valeur propre. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES2

1.3. Exemples

Exemple 1.

SoitA2M3(R)la matrice

A=0 @1 3 3 2 112 87 61
A

Vérifions queX1=0

@1 0 11 A est vecteur propre deA.

En effet,

AX 1=0 @1 3 3 2 112 87 61
A0 @1 0 11 A =0 @2 0 21
A =20 @1 0 11 A =2X1. DoncX1est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1=2.

Vérifions queX2=0

@0 1 11 A est vecteur propre deA.

On calculeAX2et on vérifie que :

AX

2=13X2

DoncX2est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2=13.

Vérifions que3=7 est valeur propre deA.

Il s"agit donc de trouver un vecteurX3=0

@x 1 x 2 x 31
A tel queAX3=7X3. AX

3=7X3()0

@1 3 3 2 112 87 61
A0 @x 1 x 2 x 31
A =70 @x 1 x 2 x 31
A 0 @x

1+3x2+3x3

2x1+11x22x3

8x17x2+6x31

A =0 @7x1 7x2 7x31 A 8 :6x1+3x2+3x3=0

2x1+4x22x3=0

8x17x2x3=0On résout ce système linéaire et on trouve comme ensemble de solutions :

¦€tttŠ

jt2R© . Autrement dit, les solutions sont engendrées par le vecteurX3=0 @1 1 11 A On vient de calculer queAX3=7X3. AinsiX3est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre 3=7.

Exemple 2.

Soit A=0 1 1 1

Le réel=1+p5

2 est une valeur propre deA. En effet : A1 =1 VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES3

Exemple 3.

Soit A =0 @cossin0 sincos0

0 0 11

Ala matrice de la rotation de l"espace d"angleet d"axe(Oz). SoitX3=

€001Š

. AlorsAX3=X3. DoncX3est un vecteur propre deAet la valeur propre associée est 1.

Exemple 4.

Soit A=0 1 11

Le complexej=12

+ip3 2 =ei23 est une valeur propre deA. En effet : A1 j =j1 j

1.4. Cas d"une matrice diagonale

Le cas idéal est celui d"une matrice diagonale. Il est en effet très facile de lui trouver des valeurs propres et

des vecteurs propres. C"est le but de la " diagonalisation » de se ramener à ce cas!

Exemple 5(Cas d"une matrice diagonale).

SoitAla matrice diagonale

A=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10 0 0n1 C

CCCCA.

Alors les scalaires1,...,nsont des valeurs propres deA, admettant respectivement comme vecteurs propres associés : X 1=0 B BB@1 0 01 C

CCAXn=0

B BB@0 0 11 C CCA.

La preuve est immédiate. Le vecteurXi=

0 B ..010...1 C A (où toutes les coordonnées sont nulles, sauf1en positioni) vérifie en effet AX i=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10

0... 0n1

C

CCCCA0

B

BBBBB@.

0 1 0 ...1 C

CCCCCA=0

B

BBBBB@.

0 i 0 ...1 C

CCCCCA=iXi.

Conclusion : les éléments diagonaux sont des valeurs propres deA! On verra plus loin dans ce chapitre qu"il

n"y a pas d"autres valeurs propres. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES4

1.5. Les vecteurs propres forment une famille libreThéorème 1.SoitA2Mn(K). Soient1,2,...,rdes valeurs propres distinctes deA, et soitXiun vecteur propre associé

ài(pour16i6r). Alors les vecteurs X1,X2,...,Xrsont linéairement indépendants.Démonstration.Raisonnons par récurrence surr, le nombre de valeurs propres.

Initialisation.

Pourr=1, la famille constituée du seul vecteurfX1gest toujours une famille libre, car

X1est non nul.

Hérédité.

Supposons queX1,X2,...,Xr1soient des vecteurs propres linéairement indépendants (oùr>2est fixé). Soitrune autre valeur propre, et soitXrun vecteur propre associé. Soient

1,2,...,r1,r2Ktels que

1X1+2X2++r1Xr1+rXr=0. (1)

Ainsi

A1X1+2X2++r1Xr1+rXr=0

donc

1AX1+2AX2++r1AXr1+rAXr=0.

Comme lesXisont des vecteurs propres, alors

11X1+22X2++r1r1Xr1+rrXr=0. (2)

À partir des équations (

1 ) et ( 2 ), on calcule l"expression(2)r(1):

1(1r)X1+2(2r)X2++r1(r1r)Xr1=0 (3)

(le vecteurXrn"apparaît plus dans cette identité). Comme la famillefX1,X2,...,Xr1gest une famille

libre, alors la combinaison linéaire nulle ( 3 ) implique que tous ses coefficients sont nuls :

1(1r) =02(2r) =0r1(r1r) =0

Mais comme les valeurs propres sont distinctes alorsir6=0 (pouri=1,...,r1). Ainsi

1=02=0r1=0.

En se souvenant qu"un vecteur propre n"est pas le vecteur nul, alors l"équation ( 1 ) implique en plus r=0. Bilan : on vient de prouver que la famillefX1,X2,...,Xrgest une famille libre.

Conclusion.

Par le principe de récurrence, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

sont linéairement indépendants.Mini-exercices. 1. SoitA=2 53 4. Montrer queX1=11etX2=53sont des vecteurs propres deA. Quelles sont les valeurs propres associées? Même question avecA=211 3,X1=2p51,X2=2 p51. 2.

SoitA=

€11 002 01 0 0Š

. Montrer que1=2,2=1et3=0sont valeurs propres deA. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre associé. 3.

Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice identitéIn? Et de la matrice

nulle 0n? 4. Montrer qu"une matriceA2Mn(K)a au plusnvaleurs propres distinctes (utiliser un résultat du cours). 5.

SoitA=

€57 70 5 00 72Š

. Montrer que les vecteursX1=

€311Š

,X2=

€022Š

,X3=

€511Š

sont vecteurs propres de A. Montrer quefX1,X2,X3gne forme pasune famille libre. Est-ce que cela contredit un résultat du VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE5cours?

2. Polynôme caractéristique

Comment trouver les valeurs propres d"une matrice parmi tous les éléments deK?

2.1. Caractérisation des valeurs propres

Voici le résultat fondamental pour déterminer les valeurs propres.Proposition 1.

Soient A2Mn(K)et2K. Alors :

est une valeur propre de A()det(AIn) =0.Rappel :Inest la matrice identité de taillenn; quel que soit le vecteurX2Kn,InX=X.

Démonstration.

est une valeur propre deA() 9X2Knnf0g,AX=X () 9X2Knnf0g,(AIn)X=0 ()Ker(AIn)6=f0g ()AInn"est pas injective ()AInn"est pas inversible ()det(AIn) =0.2.2. Polynôme caractéristique Nous transformons la caractérisation précédente en un outil pratique :Définition 2. SoitA2Mn(K). Lepolynôme caractéristiquedeAest

A(X) =det(AXIn).La proposition1 devient alors :

valeur propre deA()A() =0Remarque. La matriceAXInest à coefficients dansK[X], donc son déterminantA(X)appartient àK[X]. On notera aussi souventA() =det(AIn)comme un polynôme en, plutôt queA(X).

Pour tout2K, det(InA) = (1)nA().La matriceAétant de taillenn, alors le polynôme caractéristique deAest un polynôme de degrén. Cela

conduit aux propriétés suivantes :Corollaire 1. Soit A2Mn(K). Alors A admet au plus n valeurs propres. Si le corpsK=C, alors toute matrice A2Mn(C)admet au moins une valeur propre.

VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE6En effet, nous savons qu"un polynôme de degréna au plusnracines. Et surCun polynôme non constant

admet toujours au moins une racine.Proposition 2. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Autrement dit, siB=P1APalors

A(X) =B(X).Démonstration.On écrit

BXIn=P1APX(P1InP) =P1(AXIn)P.

Maisonsaitqueledéterminantvérifiedet(MN) =det(M)det(N)pourtoutesmatricesMetNetdet(M1) =

1det(M)pour une matriceMinversible. Donc

B(X) =det(BXIn) =1det(P)det(AXIn)det(P) =det(AXIn) =A(X).2.3. Exemples

Reprenons les exemples du début de ce chapitre et traitons-les en utilisant le polynôme caractéristique.

Exemple 6.

A=0 @1 3 3 2 112 87 61
A Alors

A(X) =det(AXI3)

=det0 @0 @1 3 3 2 112 87 61
A X0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A1 A 1X3 3

2 11X2

87 6X
=X3+18X251X182 =(X+2)(X7)(X13).

Donc les valeurs propres sont :

2, 7 et 13.

Exemple 7.

A=0 1 1 1 Alors

A(X) =0X1

1 1X =X2X1= X1p5 2 X1+p5 2 donc les valeurs propres sont : 1p5 2 et1+p5 2 VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE7

Exemple 8.

A=0 1 11

Alors :

A(X) =0X1

11X =X2+X+1= (Xj)(X¯j) oùj=12 +ip3 2 . Bilan : surK=R, la matriceAn"a aucune valeur propre, surK=C, la matriceAa deux valeurs propres :jet¯j.

Exemple 9.

A=cossin

sincos

Alors :

A(X) =cosXsin

sincosX =X22cos()X+1= (Xei)(Xei).

SurC, les valeurs propres sonteietei.

Exemple 10(Cas des matrices triangulaires).

SoitAune matrice triangulaire supérieure

A=0 B

BBBBBBBB@a

11a12 a1n

0a22 a2n............

0 0ann1

C

CCCCCCCCA.

Alors

A(X) =

a

11X a12 a1n

0a22X a2n............

0 0annX

n Y i=1(aiiX) = (1)nnY

i=1(Xaii).Le calcul de ce déterminant se fait d"abord en développant la première colonne, puis par récurrence.

L"ensemble des valeurs propres est doncfaiij16i6ng. On retient :Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sont exactement ses éléments diagonaux.

2.4. Coefficients du polynôme caractéristique

La somme et le produit des valeurs propres peuvent se calculer facilement à partir de la matrice.Proposition 3.

Si une matrice A2Mn(K)admet n valeurs propres alors :La somme des valeurs propres vauttrA.

VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE8Le produit des valeurs propres vautdetA.Rappel : latracedeA, trA, est la somme des coefficients diagonaux deA.

Cette proposition est évidente pour une matrice diagonale. Elle se démontre aussi facilement si la matriceest diagonalisable. Nous allons ici déduire cette proposition d"un résultat plus général sur les coefficients du

polynôme caractéristique.Proposition 4.

Soit A2Mn(K). SoitA(X)son polynôme caractéristique. C"est un polynôme de degré n qui vérifie :

A(X) = (1)nXn+(1)n1(trA)Xn1++detA.Exemple 11.

Voici le casn=2. SoitA=a b

c d . On a

A(X) =aX b

c dX = (aX)(dX)bc=X2(a+d)|{z} trAX+adbc|{z} detA.

Exemple 12.

Si1,2,...,n2Ksont les valeurs propres deA, alors le polynôme caractéristique s"écrit aussi

A(X) = (1)n(X1)(X2)(Xn).

En développant cette expression, on trouve

A(X) = (1)n€

Xn(1++n)Xn1++(1)n(12n)Š

En identifiant ce polynôme avec l"expression de la proposition 4 , on obtient la proposition 3 Voici les grandes lignes de la preuve de la proposition 4 (on reviendra sur cette preuve dans le chapitre suivant " Diagonalisation »).

Démonstration.SiA= (aij)16i,j6n, on a

A(X) =

a

11X a12a1n

a

21a22Xa2n............

a n1an2annX

On a alors :

Le polynômeA(X)est de degrén.

Les termes de degrénetn1 proviennent du produit (a11X)(annX) = (1)nXn+(1)n1(trA)Xn1+ Le terme constant, quant à lui, est donné parA(0) =detA.2.5. Matrice compagnon

Est-ce que n"importe quel polynôme peut être réalisé comme polynôme caractéristique? La réponse est oui!Proposition 5.

SoitP(X) =Xn+cn1Xn1++c1X+c02K[X]. SoitA2Mn(K)lamatrice compagnondu polynôme VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE9P : A=0 B

BBBBB@0 0c0

1.........

0 .........0...

00 1cn11

C

CCCCCA

Alors A(X) = (1)nP(X).Démonstration.La preuve est par récurrence surn>1.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47