EXERCICES POUR CABRI-GEOMETRE

I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ; son rayon est r = a b c BC A sin = p S où l'aire du triangle est S = 2 BC sinA Relation d’Euler Si le cercle circonscrit a pour centre O et pour rayon R, la relation d’Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres : OI2 = R2 – 2Rr

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ALORS centre de gravité et centre du cercle circonscrit sont confondus centre du cercle inscrit est le point de concours des bissectrices des angles GA+G +GC=O Montrons: -_ò GA+GB+GC=O définition Propriété : G est le point de concours des médianes Propriété : Propriété : MAA2+MBA2+MCA2 est minimum pour M=G —Y Montrez et que CG=2/3CC'

La géométrie du triangle III – IV - V - Descartes et les

correspondants du cercle circonscrit Indications Nous avons vu au paragraphe précédent que l'homothétie de centre G et de rapport - transforme A en A’, B en B’ et C en C’ Appelons cercle d'Euler le cercle circonscrit au triangle A’B’C’, homothétique du cercle circonscrit au triangle dans cette homothétie

A LES CINQ SENS INTÉRIEURS

0 le cercle circonscrit à ABC, M, N les milieux resp de [AC], [AB], G le point médian de ABC, P le pied de la A-hauteur de ABC et 2 un cercle passant par M, N Donné : 2 est tangent à 0 en X si , et seulement si, X, P et G sont alignés Commentaire : la condition suffisante s'est développée dans la partie A

DU MONTHLY 1 K

1, 2 deux cercles passant par A et tangent à (BC) resp en B, C et U le second point d'intersection de 1 et 2 Donné : (AU) est la A-médiane de ABC VISUALISATION A B C U 2 1 0 T Notons 0 le cercle circonscrit à ABC T le second point d'intersection de (AU) avec 0

1 Propriétés du triangle rectangle

Réciproque de la propriété du cercle circonscrit : Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un de ses côtés diamètre du cercle, alors le triangle est rectangle Illustration: Hypothèses : • A, B et C sont sur le cercle c • [AC] est un diamètre de c Conclusion: ABC est rectangle en B Réciproque de la propriété de la médiane :

4ème DM2 : Triangles et Cercles CORRECTION

3 Cercle inscrit dans triangle rectangle ABC étant un triangle rectangle en A, C1 est son cercle circonscrit, C2 son cercle inscrit On note BC=a, AC=b et AB=c les longueurs des trois côtés du triangle et r le rayon du cercle inscrit C2