[PDF] Longueurs des hauteurs, m dianes, bissectrices et m diatrices

TRIANGLE RECTANGLE, CERCLE, MEDIANE

rectangle de centre O Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse e point Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une

AIRES ET VOLUMES Médianes d un triangle : exercices 36 à 39

Dans ce triangle ABC, la droite (BO) est une médiane puisque les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu O (O milieu du segment [ACI ) Or, une médiane est une droite qui partage un triangle en deux triangles de mime aire Donc, l'aire du triangle ABO est la moitié de l'aire du triangle ABC Aire du triangle ABO — 9 cm2 : 2 = cm2

Longueurs des hauteurs, m dianes, bissectrices et m diatrices

Médianes du triangle ABC : a) Mesure de la médiane [AI] issue de A : Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse Donc AI = 5 ( cm 2 10 2 BC = = AI = 5 (cm ): ou ici, le segment [AB] : =5 AH

Triangle rectangle et cercle

circonscrit à ce triangle Propriété de la médiane : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de la longueur de l’hypoténuse preuve : Tracer un triangle ABC rectangle en B Marquer le milieu O du segment [AC], puis le symétrique D du point B par rapport au point O

Droites remarquables cours - AlloSchool

Droites remarquables d’un triangle 1 Médiane Définition Une médiane d’un triangle est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé Propriété et définition Les trois médianes d’un triangle sont concou - rantes Leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle Propriété

GEOMETRIE PLANE TRIANGLES - DROITES PARTICULIERES

triangle opposé à ce sommet Si dans un triangle la longueur de la médiane issue du sommet est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet Réciproque de Pythagore Cercle : Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce

Droites remarquables - Cas particuliers

Dans un triangle rectangle , les angles aigus sont complémentaires ( somme égale à 90° ) Propriété : Propriété dite de la médiane ( dans un triangle rectangle ) Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse

Utiliser les aires pour résoudre des problèmes Classe de 5e

Activité 3 : En utilisant les médianes Montrer qu’une médiane d’un triangle partage ce triangle en deux triangles de même aire Dans un triangle, une médiane est

1 Propriétés du triangle rectangle 2 Énoncé de Pythagore 3

3 Comment montrer qu'un triangle n'est pas rectangle 4 Comment montrer qu'un triangle est rectangle 1 Propriétés du triangle rectangle Angles du triangle rectangle En application de la règle de la somme des angles d'un triangle, et parce qu'un triangle rectangle a un angle droit, on peut énoncer la propriété suivante : Propriété:

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La construction est laissée au soin du lecteur !!!! b) Calcul de BC :

Dans le triangle ABC rectangle en A

Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

BC² = AB² + AC²

BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

BC = 100 = 10

? Hauteurs du triangle ABC : a) Construction des hauteurs de ce triangle ABC Dans un triangle, une hauteur est une droite issue d"un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème :

RAPPEL - DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

THEME

EXERCICE

HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES

ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

La construction est laissée au soin du lecteur !!!! le théorème de Pythagore :

BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

BC = 10 ( cm )

es hauteurs de ce triangle ABC : hauteur est une droite issue d"un sommet et perpendiculaire au côté Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème :

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dans un triangle, l"orthocentre est le point de

rencontre des trois hauteurs ( les hauteurs sont concourantes ).

La hauteur issue de B ( droite passant par le

sommet B et perpendiculaire au côté opposé, soit [AC] ) est la droite (AB)

La hauteur issue de C

sommet C et perpendiculaire au côté opposé, soit [AB] ) est la droite (AC) Ces deux droites sont sécantes en A, donc A est l"orthocentre du triangle ABC.

L"orthocentre du triangle ABC est le point A

THEME :

EXERCICE - "LONGUEURS" DES

HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES

ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

RECTANGLE

Correction

hauteur est une droite issue d"un sommet et perpendiculaire au côté

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dans un triangle, l"orthocentre est le point de

rencontre des trois hauteurs ( les hauteurs sont

La hauteur issue de B ( droite passant par le

sommet B et perpendiculaire au côté opposé, soit [AC] ) est la droite (AB)

La hauteur issue de C ( droite passant par le

sommet C et perpendiculaire au côté opposé, soit [AB] ) est la droite (AC) Ces deux droites sont sécantes en A, donc A est l"orthocentre du triangle ABC. re du triangle ABC est le point A "LONGUEURS" DES

HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES

ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

Correction

Remarque : Dans un triangle rectangle, l"orthocentre est ( toujours ) le sommet de l"angle droit. b) Mesures des hauteurs issues de B et C Une hauteur est une droite. Si maintenant nous lui associons une longueur, la hauteur doit être considérée ( une droite n"a pas de longueur ) comme le segment d"extrémités le sommet et le pied de la hauteur ( intersection de la hauteur et du côté opposé au sommet considéré ) La hauteur issue de B est la droite (AB) ou ici, le segment [AB].

La hauteur issue de B mesure 8 cm.

La hauteur issue de C est la droite (AC)

La hauteur issue de B mesure 6 cm.

c) Aire du triangle ABC : L"aire du triangle ( rectangle ) ABC est égale à cm² 24 soit 26 8´ Calcul de la mesure de la hauteur [AH ] issue de A Nous venons d"utiliser, pour calculer l"aire du triangle ABC une formule propre aux triangles rectangles. L"aire du triangle ABC est également égale à : 2

AH25 2

AH10 2

AH BC´´=´=´

Mais cette aire est cependant égale à 24 cm² ( question précédente ) donc

5 AH = 24

soit

4,8 524 AH==

? Médianes du triangle ABC : a) Mesure de la médiane [AI] issue de A : Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l"hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l"hypoténuse.

Donc AI =

cm ( 5 210 2BC==

AI = 5 (cm )

Dans un triangle rectangle, l"orthocentre est ( toujours ) le sommet de l"angle droit. esures des hauteurs issues de B et C : Une hauteur est une droite. Si maintenant nous lui associons une longueur, la hauteur doit être considérée ( une droite n"a pas de longueur ) comme le segment d"extrémités le sommet et le pied de la hauteur ( intersection de la hauteur et du La hauteur issue de B est la droite (AB) ou ici, le segment [AB]. La hauteur issue de C est la droite (AC) ou ici, le segment [AB]. L"aire du triangle ( rectangle ) ABC est égale à la hauteur [AH ] issue de A : Nous venons d"utiliser, pour calculer l"aire du triangle ABC une formule propre aux triangles rectangles.

ABC est également égale à :

AH 5= Mais cette aire est cependant égale à 24 cm² ( question précédente ) ) cm ( AH = 4,8 ( cm ) Dans le triangle ABC, les hauteurs issues de A, B et C mesurent respectivement 4,8 cm, 8 cm et 6 cm e de la médiane [AI] issue de A : Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : rectangle, la médiane relative à l"hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de ) cm

AI = 5 (cm )

Dans un triangle rectangle, l"orthocentre est ( toujours ) le sommet de l"angle droit.

AH = 4,8 ( cm )

Dans le triangle ABC, les hauteurs issues de A, B et C mesurent respectivement 4,8 cm, 8 cm et 6 cm b) Mesure de la médiane issue de B

K est le milieu de [AC] , donc

) cm ( 3 26 2AC AK ===

Dans le triangle ABK rectangle en A

Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

BK² = AB² + AK²

BK² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73

BK= 73 ) cm ( 8,5 »

B

Mesure de la médiane issue de C :

J est le milieu de [AB] , donc

) cm ( 4 28 2AB AJ===

Dans le triangle ACJ rectangle en A

Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

CJ² = AC² + AJ²

CJ² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52

CJ = 52 134134=´=´

CJ ? Bissectrices du triangle ABC :

Par longueur d"une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l"intérieur du

triangle. a) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de A : ? Positions relatives des droites (A"J") et (AC) (AC) ^ (AB) ( ABC est rectangle en A ) (A"J") ^ (AB) ( hypothèse ) Donc (AC) et (A"J") sont parallèles. ? Calcul, en fonction de x, de la longueur

Par définition, la bissectrice d"un angle est

l"ensemble des points équidistants des deux côtés de l"angle.

(A"J") et (AB) sont perpendiculaires donc A"J" représente la distance du point A à la droite (AB) .

(A"K") et (AC) sont perpendiculaires donc A"K" représente la distance du point A à la droite (AC) .

A" est un point de la bissectrice issue de l"angle ? Calcul de AJ" :

Le quadrilatère AJ"A"K" a trois angles droits.

Donc AJ"A"K" est un rectangle

de B : Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

BK ) cm ( 8,5 »

Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

132= ) cm ( 7,2 »

CJ ) cm ( 7,2 »

Par longueur d"une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l"intérieur du

Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue

droites (A"J") et (AC) : (AB) ( ABC est rectangle en A ) (AC) et (A"J") sont parallèles. la longueur A"K" : , la bissectrice d"un angle est l"ensemble des points équidistants des deux côtés

(A"J") et (AB) sont perpendiculaires donc A"J" représente la distance du point A à la droite (AB) .

(A"K") et (AC) sont perpendiculaires donc A"K" représente la distance du point A à la droite (AC) .

bissectrice issue de l"angle CABˆ, donc

A"K" = A"J" = x

Le quadrilatère AJ"A"K" a trois angles droits.

Par longueur d"une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l"intérieur du

(A"J") et (AB) sont perpendiculaires donc A"J" représente la distance du point A à la droite (AB) .

(A"K") et (AC) sont perpendiculaires donc A"K" représente la distance du point A à la droite (AC) .

A"K" = x

Donc AJ" = A"K" = x ( côtés opposés du rectangle ) AJ" = x ? Calcul de BJ" :

J" est un point de [AB] , donc

BJ" = AB - AJ" = 8 - x

BJ" = 8 - x

? Calcul de x :

Dans les triangles BA"J" et BAC,

J" Î [AB]

K" Î [AC]

(A"J") ?? ( AC ) ( question précédente ) donc, d"après le théorème de Thalès, nous avons : AC

J"A" BC

BA" BA

BJ"== soit 6 x BC

BA" 8

x - 8==

Calcul de x :

Nous avons :

6 x 8 x - 8= soit ( "produit en croix" )

6 ( 8 - x ) = 8 x

48 - 6x = 8x

48 = 8x + 6x

48 = 14x

x = 7 24
7 2 24 2
14

48=´´==

? "Longueur AA" "de la bissectrice :

Dans le triangle AJ"A" rectangle en A

Nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

AA"² = AJ"² + J"A"²

AA"² =

)²7

24()²7

24(+

AA" ² =

49
1152
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