GEOMETRIE PLANE TRIANGLES - DROITES PARTICULIERES
Triangle : isocèle : hauteur = médiane = médiatrice rectangle : centre du cercle circonscrit = milieu hyp une droite passe par le milieu d’un côté + est // à un deuxième côté = passe par milieu du 3° côté une droite passe par un sommet + par le centre de gravité = coupe le côté opposé au sommet en son milieu
THS-COURS
ABC est un triangle isocèle en C 1 racerT la médiane issue de A puis la médiane issue de B Ces deux médianes sont sécantes en G * Solution : Rappels : o La médiane issue de A est la droite passant par A et le milieu du côté [BC] o La médiane issue de B est la droite passant par B et le milieu du côté [AC]
Droites remarquables - Cas particuliers
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont même mesure Inversement, si un triangle a deux angles de même mesure, ce triangle est isocèle Propriété : Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice du coté [BC] ( côté opposé au sommet principal A ), la médiane, la hauteur et la bissectrice issue de A sont confondues
Droites remarquables du triangle et trianglesparticuliers
2 1 Triangle isocèle Triangle isocèle On dit qu’un triangle ABC est un triangle isocèle en A si AB = AC A est le sommet principal du triangle, le segment [BC] est la base du triangle et les angles ABC et ACB sont les angles à la base Définition 1 2 ABC triangle isocèle en A Base Sommet principal Angles à la base C B A
G2 Triangles et polygones - Crpe Success
Le triangle isocèle : Un triangle ABC est isocèle en A s’il possède l’une des propriétés suivantes : ses côtés [AB] et [AC] ont la même longueur, ses angles ̂ et ̂ sont égaux ou sa médiane [AM] est perpendiculaire à [BC]
DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE 1/8
DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Corrigés 4/8 Corrigé 11 N appartient à la médiatrice de [ ]AB donc le triangle ABN est isocèle Dans un triangle isocèle, les 4 droites remarquables issues du sommet principal sont confondues La médiatrice (MN) est donc également une hauteur du triangle ABN
Triangles sommets côtés
Triangle rectangle Un triangle est rectangle s’il a un angle droit Fig 2 E EDF = 90° donc DEF est un triangle rectangle en D D F Triangle isocèle Un triangle est isocèle s-il a deux côtés de même longueur Ses angles à la base ont même mesure Fig 3 H G I [HG] = [HI] HIG = HGI GHI est un triangle isocèle en H
CHAPITRE 1 : Propriétés et priorité des opérations
- Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit - Un triangle obtusangle est un triangle ayant un angle obtus 2) La longueur relative de leurs côtés - Un triangle scalène est un triangle dont les côtés sont de longueurs différentes - Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins 2 côtés de même longueur
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? Cas particulier 1 : Le triangle isocEle Isocèle : ( de isos , " égal " et skelos , " jambe " ) qui a deux jambes . La véritable orthographe adoptée par le Dictionnaire de Littré est isoscèle. ( Réf. Dictionnaire des mathématiques élémentaires - Stella Baruk - Seuil )
Définition :
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.Propriété :
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont même mesure. Inversement, si un triangle a deux angles de même mesure, ce triangle est isocèle.Propriété :
Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice du coté [BC] ( côté opposé au sommet
principal A ), la médiane, la hauteur et la bissectrice issue de A sont confondues.Propriété :
Un triangle est isocèle si, parmi les quatre droites relatives à un sommet ( médiatrice*, médiane, bissectrice et hauteur), deux sont confondues. Elles sont alors toutes confondues.Cette droite est axe de symétrie du triangle.
* la médiatrice n"est pas relative à un sommet, mais à un côté.THEME :
DROITES REMARQUABLES
CAS PARTICULIERS
? Cas particulier 2 : Le triangle EquilatEralEquilatéral : dont les côtés ont même longueur . Equilatéral : du latin aequus, égal et latus, côté.Les grecs
utilisaient le mot isopleure. ---Isopleure : du grec isos, égal et pleura, côtés. Ce mot n"est plus utilisé et a été remplacé par
équilatéral.
Généralement utilisé pour parler de triangles équilatéraux, il est cependant possible de parler de
polygone équilatéral, c"est à dire dont tous les côtés ont même longueur.Remarquons qu"un triangle équilatéral est équiangle ( angles de même mesure ), mais un polygone
équilatéral ne l"est pas forcément : par exemple, le losange.Définition :
Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont même longueur.Remarque : Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier. ( 3 " fois » isocèle )
Propriété :
Un triangle équilatéral a trois angles dont la mesure est égale à 60° .Propriété caractéristique :
Inversement ( réciproquement ), un triangle ayant ses angles de même mesure est un triangle équilatéral.Propriété :
Dans un triangle équilatéral, les quatre droites remarquables relatives à un même sommet ( médiatrice*, médiane , hauteur et bissectrice ) sont confondues . Ces trois droites sont les axes de symétrie du triangle. * la médiatrice n"est pas relative à un sommet, mais à un côté.Propriété :
Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité, l"orthocentre et le centre du cercle inscrit sont confondus. ? Cas particulier 3 : Le triangle rectangleDéfinition :
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.Vocabulaire :
Hypoténuse : Le côté opposé au sommet de l"angle droit s"appelle l"hypoténuse . C"est le plus long des trois côtés du triangle. Le triangle ABC est dit " triangle rectangle en A "Propriété :
Dans un triangle rectangle , les angles aigus sont complémentaires ( somme égale à 90° ) Propriété : Propriété dite de la médiane ( dans un triangle rectangle )Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l"hypoténuse a pour longueur la moitié de
la longueur de l"hypoténuse. Propriété caractéristique : ( Réciproque de la propriété de la médiane )Si dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors le
triangle est rectangle . Conséquences de la propriété de la médiane et de sa réciproque :Propriété :
Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour centre le milieu de l"hypoténuse et pour diamètre, l"hypoténuse.Propriété caractéristique :
Si un point C appartient à un cercle de diamètre [AB] , alors le triangle est rectangle en C. Les triangles ABC, ABD, ABE et ABF sont rectangles respectivement en C, en D, en E et en F. Autres énoncés de cette dernière propriété : Le triangle obtenu en joignant un point d"un cercle aux deux extrémités d"un diamètre, est un triangle rectangle. Tout triangle inscrit dans un cercle de diamètre un côté du triangle, est un triangle rectangle. ? Constructions?1 - Savoir construire un triangle rectangle connaissant la mesure d"un côté de l"angle droit et
la mesure de l"hypoténuse : Construire un triangle MNP rectangle en P tel que MN = 8 cm et MP = 5 cm. ?2 - Savoir construire les tangentes à un cercle passant par un point ( extérieur au cercle )Définition :
Une droite
D est tangente au point P à un cercle C de centre O si la droite D et la droite (OP) sont perpendiculaires.Soit C un cercle et M
un point. Traçons le segment [OM].Traçons le cercle de
diamètre [OM]. Le cercle tracé et le cercle C sont sécants en P et P". Comme P ( respectivement P" ) est un point du cercle de diamètre [OM], le triangle OMP est rectangle en P ( respectivement en P" ). Par conséquent, la droite (PM) est perpendiculaire en P à la droite (OP) ( de même pour P" ). Nous venons de tracer les tangentes au cercle C qui passent par MTraçons un
segment [MN] de longueur 8 cmComme le triangle
rectangle MNP est inscrit dans un cercle de diamètre [MN].Traçons la
médiatrice de [MN], puis le cercle de diamètre [MN].A l"aide du compas,
traçons sur le cercle un point P tel queMP = 5 cm.
Le triangle MNP est
rectangle en P. ?3 - Savoir construire les hauteurs d"un triangle ( autre méthode )Cette mèthode peut-être utilisée lorsque les médiatrices du triangles sont construites ( ou , plus
précisément ,lorsque les milieux des côtés du triangle sont connus )