MINISTERE DE LEDUCATION
population, en général, porte un grand intérêt à l'étude des langues étrangères En particulier, l'anglais y est considéré comme une importante langue de communication internationale et figure, pour cette raison, parmi les principales matières d'enseignement
Methode des´ el´ ements-finis par l’exemple´
de CAO1 ou Computer Aided Design (CAD) en Anglais Citons Ansys, Abaqus, Robot, LS-dyna, Feap, Code-Aster, Cast3M et bien d’autres Notation et conventions Dans ce document, nous serons parfois amen´e a utiliser quelques conventions de notations` propres `a la m ecanique En particulier nous utiliserons la convention de sommation par rapport´
COURS DE LOGIQUE MATHEMATIQUE - ESEN
En notant P, Q et R les trois affirmations suivantes : P= « Pierre fait des maths » Q= « Pierre fait de la Chimie » R= « Pierre fait de l’Anglais » Représenter les affirmations qui suivent sous forme symbolique, à l’aide des lettres P, Q , R et les connecteurs usuels 1 « Pierre fait des maths et de l’Anglais mais pas de Chimie » 2
Chapitre 6 - cours, examens
Exercices Documents chapitre N 3 II VI 1 Motivations et principe des méthodes numériques d’intégration Documents : Document VI 1 Il existe deux situations où l’on a besoin de formules pour approcher l’intégrale d’une fonction f: I(f) = Z b a f(t)dt – On ne connaît la valeur de f qu’en certains points t 0;t 1;:::;t n, et il n
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LEP-écrire en classe
sport en reste à l’explication des règles d’un sport et à l’analyse de matchs enregistrés, qu’un·e prof d’art visuel ne fasse jamais tenir un pinceau à ses élèves, ou qu’un·e prof d’anglais ne fasse pas parler LEP-écrire en classe indb 9 16 12 20 23:00
Brochure TD 2010-2011 - cours, examens
Rappel : Le taux Marginal de Substitution du bien 2 au bien 1 est la quantité additionnelle de bien 2 dont le consommateur doit disposer pour compenser la perte d’une unité de bien 1, afin de maintenir son utilité constante Graphiquement, le TMS est égal à la pente de la courbe d’indifférence en chaque point (en valeur absolue)
Cours Int´egr´e de Maple - unistrafr
parer a cet inconv´enient en cr´eant par exemple des fichiers jpg N’oubliez pas de sauvegarder r´eguli`erement votre fichier 1 4 Aide Le logiciel Maple peut ˆetre vu comme une grosse calculatrice et offre de nombreuses possibilit´es N’h´esitez pas a consulter l’aide (en anglais : cela ne doit pas vous rebuter) On
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UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-172I-SYLLABUSObjectifgénéralL'objectifprincipaldececoursestdeconnaîtrelesnotionsdebasedelalogiqueetlesnotionsmathématiquesutilespourlaconceptiond'algorithmesetledéveloppementdeprogrammes.OrganisationmoduleCemoduleestrépartien21hdecourset21hdetravauxdirigés.Parailleurs,ilnécessitedelapartd'unétudiantassiduuntravailpersonnelde25hauminimum.PrérequisCommetoutcoursintroductif,aucunprérequisn'estexigé.EvaluationCemoduleestsoumisaurégimemixte.Decefait,lamoyennedel'étudiantseracomptéecommesuit:test&TAF10%,devoirsurveillé20%etExamenfinal70%Ledevoirsurveilléauralieulasemainedu07Novembre2016L'examenfinalsedéroulerapendantlasessiondeJanvier2017Références&ressourcesJevousinviteàpuiserdanslesressourcespédagogiquesdisponiblesgratuitementsurlatoile.Jevoussuggèreenparticulierd'utiliserlemanueldeKennethH.Rosen"Discretemathematicsanditsapp lications»Se venthEdition2012;ain siquelesite www.mhhe.com/rosen oùplusieursexercicesd'applicationsontdisponibles,ainsiquedesexercicesinteractifs;Parailleurs,l'apprentissageestunprocessuspersonnel,jevousencouragenotammentàvousinscrireaucoursde"Introductiontologic»disponible,forfree,surlesiteCourserahttps://www.coursera.org/learn/logic-introduction
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-173II-PLANDUCOURSThéorieNaïvedesensemblesNotionsdebaseRèglesdefonctionnementOpérationsurlesensembles,Algèbred'ensemble,dualitéReprésentationgraphique(DiagrammedeVenn)Argument;InductionmathématiqueLogiquePropositionnelleObjetdelalogiqueFondements(propositions,connecteurs,variablesetformespropositionnelles)Opérationslogiquessurlespr opositions(connecteursta bledevérit é,règlesde formation,loislogiques)Démonstrationdeformules(Logiquedestablesdevé rité,Théoried edémonstration;TabledeBeth)LogiquedesprédicatsIntroductionSyntaxedelalogiquedesprédicatsThéoriedevaliditéencalculdeprédicatsDéductionRésolution
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-175A∩B∩C;A∪(B∩C);Ac∪B∪C;Ac∩Bc∩C;Ac∩(B∪C)∖( ∪ ) ;(∪)∖ ;(!∩ )∖TDN°2-LOGIQUEPROPOSITIONNELLEExerciceIEnnotantP,QetRlestroisaffirmationssuivantes:P="Pierrefaitdesmaths»Q="PierrefaitdelaChimie»R="Pierrefaitdel'Anglais»Représenterlesaffirmationsquisuiventsousformesymbolique,àl'aidedeslettresP,Q,Retlesconnecteursusuels1. "Pierrefaitdesmathsetdel'AnglaismaispasdeChimie»2. "PierrefaitdesMathsetdelaChimiemaispasàlafoisdelachimieetdel'Anglais»3. "IlestfauxquePierrefassedel'AnglaissansfairedeMaths»4. "IlestfauxquePierrenefassepasdesMathsetfassequandmêmedelachimie»5. "IlestfauxquePierrefassedel'AnglaisoudelachimiesansfairedesMaths»6. "PierrenefaitniAnglaisnichimiemaisilfaitdesMaths»ExerciceIILeprofesseurLeblondparlaitavecsonassistantLebrunetl'étudiantLeroux:- Vousremarquerezquel'und'entrenousestblond,quel'autreestbrunetletroisièmeroux,ditceluiquialescheveuxbruns.Etpourtantaucund'entrenousn'aunnomquicorrespondàlacouleurdesescheveux!Amusant,non?UA
21BC
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-177TDN°3-VALIDITED'ARGUMENTETDEMONSTRATIONDEFORMULESExerciceI• DémontrersanstabledevéritéqueP↔(P↔Q)≡Q• SoitVlaconstante"vrai»etFlaconstante"faux»,vérifierégalement(sanstabledevérité)queP→F≡¬PV→P≡PExerciceIITesterlavaliditédel'argumentsuivant:Sij'étudie,alorsjen'échoueraipasenmathématiquesSijenejouepasaubasketball,alorsj'étudieraiMaisj'aiéchouéenmathématiquesDonc,jejoueaubasketball.ExerciceIIIIndiquersilesargumentationssuivantessontcorrectes:1. DeP,P→qjedéduisR2. DeP∨Q,P→R,Q→R,jedéduisR3. DeP→Q,P→¬Q,P∨RjedéduisR4. DeP→Q,P→¬Q,PjedéduisR5. DeP→Q,¬P→¬QjedéduisP↔QExerciceIVFormaliserlesénoncéssuivantsendégageantlesconnecteurslogiques(A) Silemeurtreaeulieulanuitsanstémoin,alorsPierreestl'assassin(B) Silemeurtreaeulieusanstémoinalorsilaeulieulanuit(C) Silemeurtreaeulieulanuit,alorsilaeulieusanstémoin(D) Lemeurtreaeulieulanuitousanstémoin(E) Pierreestl'assassinPeut-ondéduire(E)deshypothèses(A),(B),(C),(D)ExerciceVOnsupposequel'onalesrèglesetfaitssuivants:
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1792. ∀∀∀ ∧,∧,∧,∧,→,,avecT(x):xestuntriangle,C(x,y):yestlecotédex,D(x,y):xestdifférentdey,G(x,y):xestunplusgrandquey,f(x,y):sommedexetdey,g(x):longueurdex.ExerciceIIIOnsupposeque(a,b,c)prennesesvaleursdansununiversdediscoursquiestunepartiedeIR3tellequeb2-4ac>0;quelleestlavaleurdevéritédespropositionssuivantes:1. ∀∀∀∃ !++=02. ∃ ∀∀∀!++=0ExerciceIVOnconsidèrelelangagecomposéde{a,b:constantes,f:symbolefonctionnel,P:symboledeprédicat}• ledomaine={ 1,2}• l'interprétationdéfinie: =1,=21=2,2=1(2,1)=0,(2,2)=0,(1,2)=1,(1,1)=1Etablirlavaleurdevéritédesformulessuivantes:1. ((,)2. ((,)3. (∀∀,)4. ∀∀,→(,)
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1710III-TRAVAILARENDREPARTIEI:RECHERCHEPrésenterunerevuedeserreursderaisonnement,appeléeségalementleserreursdelogique.PARTIEII:DEVOIRDEMAISONNB:Cetravailestàremettrelasemainedu26Novembre2016;QuestionIAucoursdel'enquêtedontilestchargé,uncommissairedepoliceeffectueleraisonnementsuivant:• SiJeann'apasrencontréPierrel'autrenuit,c'estquePierreestlemeurtrierouqueJeanestunmenteur• SiPierren'estpaslemeurtrier,alorsJeann'apasrencontréPierrel'autrenuitetlecrimeaeulieuaprèsminuit• Silecrimeaeulieuaprèsminuit,alorsPierreestlemeurtrierouJeanestunmenteur.IlenconclutquePierreestlemeurtrier.Sonraisonnementest-ilcorrect?Justifierendéterminantlavaliditédesonargument.QuestionIILaformulesuivanteest-elleunetautologie?Justifierenutilisantunraisonnementparl'absurde.⊢(→)∧(→)→→QuestionIIIProuverlethéorèmesuivant(Onn'utiliserapasleraisonnementparl'absurde)⊢(∨)→(¬→¬)→(→)→¬→
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1711IV-SUPPLEMENTS:EXAMENSExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJanvier2016;Durée:2h;NB:Lesquestionssontindépendantesetpeuventêtretraitéesséparémentdansn'importequelordre.Question1(Equivalencelogique)Montrerenutilisantl eslois d'algèbredepropositionsque laformule:¬(∨(∧¬→¬)estéquivalenteàlaformule:¬∧(∨¬).Question2(Argumentation)Soitl'énoncésuivant:"L'utilisateuracontactél'administrateurréseau,m aisiln' apasentré unmotdep assevalide.L'accèsestaccordéàchaquefoisquel'utilisateuracontactél'administrateurréseau,ouilaentréunmotdepassevalide.Doncl'accèsserarefusésil'utilisateurn'apasentréunmotdepassevalide,ouiln'apascontactél'administrateur.»Ceraisonnementest-ilvalide?Justifier.Question3(Démonstrationdeformule)Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:⊢(∨)→(¬→¬)→(→)→¬→Question4(TabledeBeth)Est-cequelaformulesuivanteestunthéorème?Justifierenutilisantl'arbredeBeth.
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1712→∨→ →∨→Question5(Formalisme&Théoriedesensembles)Soientlesaffirmationssuivantes:A:LesbébésnesontpaslogiquesB:OnnepeutpasmépriserunepersonnequidresseuncrocodileC:Lespersonnesillogiquessontméprisables1-ModéliserenlogiquedeprédicatslesaffirmationsA,BetC.2-Quelleconclusionp eut-onti rerdecesaffirmat ions?Ju stifierenutilisantlediagrammedeVenn.Question6(Formalisme)Onconsidèrelaformule:∃>0∧ ∀ (<0),oùxetysontdesentiers.1-Donnerlanégationdecetteformule.Justifier.2-Enoncerenfrançaislaformule,ainsiquesanégation.ExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJuin2016;Durée:2hNB:Lesquestionssontindépendantesetpeuventêtretraitéesdansn'importequelordre.Question1(Opérationssurlesformules)Laform ulesuivanteest-elleunetaut ologie?Just ifierenutilisantlesloisd'a lgèbrede propositions.((∧¬(∨))∧¬)Question2(Argumentation)Dansunemaisonhantée,lesespritssemanifestentsousdeuxformesdifférentes,unchantobscèneetunriresardonique,cependantnouspouvonsinfluencerlecomportementen
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1713jouantdel'orgueouenbrûlantdel'encens.Compte-tenudesdonnéessuivantes:• Lechantnesefaitpasentendre,àmoinsquenousjouionsdel'orguesansquelerirenesefasseentendre.• Sinousbrûlonsdel'encens,leriresefaitentendresietseulementsilechantsefaitentendre.• Encemoment,Lechantsefaitentendreetlerireestsilencieux.etdelaconclusion:Doncencemomentnousjouonsdel'orgueetnebrûlonspasd'encens;Prouverqueceraisonnementestcorrect.Question3(TabledeBeth)Laform ulesuivanteest-elleunetaut ologie?Ju stifierenutilisantunraisonn ementp arl'absurde:⊢(→→)→(∨→)Question4(Démonstrationdeformule)Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:⊢(→)∧(→¬)→¬Question5(Formalisme)ConsidéronslelangageforméparlesconstantesaetfetlesprédicatsGetJ,lessymbolesutilisésontlessenssuivants:• a:=l'équiped'Allemagne.• f:=l'équipedeFrance.• J(x,y):=xajouéunmatchcontrey.• G(x,y):=xagagnécontrey.I-Exprimerenlogiquedeprédicatslesassertionssuivantes:1. L'équipedeFranceagagnéunmatchetenaperduun.2. L'équipedeFranceetl'équiped'Allemagneontfaitmatchnul.3. Uneéquipeagagnétoussesmatchs.4. Aucuneéquipen'aperdutoussesmatchs.
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1714V-ANNEXEAxiomesA1:→→A2:(P→)→(→→→→)A3:→→(∧)A4:∧→A5:∧→A6:→∨A7:→∨A8:(→)→(→→∨→)A9:¬¬→A10:→→→¬→¬A11:→→→→↔A12:↔→→A13:↔→→Règles• ,→⊢• →,¬⊢¬• ¬(∧,⊢¬• ∨,¬⊢• →,→⊢∨→• →,→¬⊢¬
UniversitédeLaManoubaEcoleSupérieured'EconomieNumérique__________________________________________________________________________________________A.U.2016-1715Règled'affirmationRèglederéfutation¬¬∨↙↘ ∨ ∧∧ ↙↘ →↙↘ → ↔↙↘ ↔ ↙↘
quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14